結構動力學講義六

第四章

自振頻率和振型的實用計算8/26/20231§4.1能量法求第一頻率-Rayleigh法

此外，根據簡諧振動的特點可知：在體系通過靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動能具有最大值），動位移為零（應變能為零）；當體系達到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動能為零）。對這兩個特定時刻，根據能量守恒定律得：

0＋Umax=Tmax＋0

根據能量守恒和轉化定律，當不考慮阻尼自由振動時，振動體系在任何時刻的動能T和應變能U之和應等于常數。U＋T＝C（常數）8/26/20232求Umax，Tmax

求頻率

如梁上還有中質量mi

Yi是集中質量mi處的位移幅值.8/26/20233設位移幅值函數Y(x)必須注意以下幾點：1、必須滿足運動邊界條件:（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）

盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計。2、所設位移幅值函數應與實際振型形狀大致接近；如正好與第n主振型相似，則可求的ωn的準確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。8/26/202343、相應于第一頻率所設的振型曲線，應當是結構比較容易出現的變形形式。曲率小，拐點少。4、通?？扇〗Y構在某個靜荷載q(x)（如自重）作用下的彈性曲線作為Y(x)的近似表達式。此時應變能可用相應荷載q(x)所作的功來代替，即8/26/202352）假設均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x).例4-1試求等截面簡支梁的第一頻率。1）假設位移形狀函數為拋物線，lyx滿足邊條且與第一振型相近3）假設.正是第一振型的精確解。精確解8/26/20236xh0l例4-2求楔形懸臂梁的自振頻率。設梁截面寬度為，高度h=h0x/l。解：設位移形狀函數滿足：Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設了一振型曲線代替實際振型曲線，就是迫使梁按照這種假設的形狀振動，這就相當于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當所設振型越接近于真實，則相當于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實，即偏高量越小。8/26/20237集中剪質量包法：在麻計算賺無限食自由棍度體婆系的高自振代頻率隆時，煎可以貢用若炸干個高集中滾質量員來代營替連沖續(xù)分料布的抽質量更。關謊于質復量的艇集中茅方法限有多倘種，之最簡壯單的鎖是靜偶力等腔效的比集中虜質量球法。等效祝原則：使聽集中捏后的堆重力翁與原蔑來的識重力利互為扛靜力鹽等效攜，即遣兩者裁的合盛力相以等。作法：將桿君分為挑若干牙段，謙將每非段質號量集眨中于營其質裁心或爐集中漿于兩敗端。該法爺即可廳求基誓頻，脖也可而求較荷高頻附率。言使用脹各類倆結構市。集中資質量指的數擦目越總多結胞果越鈴精確沉，但翅工作眉量也姐就越獲大?！?拔.2集中偏質量捕法7/塌6/躬20居238l例4-邊3l/3l/3(－0.克7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.挺1%）(－3.宜1%）(－0.旗05香%）(－4.晨8%）(－0.燈7%）7/播6/協(xié)20勿239對于論對稱崇剛架絹，可歐分別未用不同冊的集傷中質扭量方蠻案求熄出對稱振智動和恥反對撐稱振越動的奸自振頻率著。2ll最小阻頻率滑對應著反備對稱奔振型P=1P=1llEI4EI7/堤6/浩20挪2310