空間向量的正交分解及其坐標表示（省一等獎）

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示[目標導航]課標要求1.理解空間向量基本定理,并能用基本定理解決一些幾何問題.2.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念,理解空間向量的正交分解的概念.3.學會空間直角坐標系的建立方法,能在適當?shù)淖鴺讼抵斜硎究臻g向量的坐標.素養(yǎng)達成通過對空間向量的概念、運算和共線向量和共面向量定理及推論的學習應(yīng)用,逐步提升學生的直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).新知導學課堂探究新知導學·素養(yǎng)養(yǎng)成1.空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=

.其中{a,b,c}叫做空間的一個

,a,b,c都叫做

.xa+yb+zc基底基向量思考:(1)向量a,b,c作為空間的一個基底需滿足什么條件?(2)若a與b共線,a與c不共線,b與c不共線,a,b,c能作為空間的一個基底嗎?答案:(1)a,b,c不共面.(2)不能.2.空間向量的正交分解及其坐標表示(1)單位正交基底有公共起點的三個

的單位向量e1,e2,e3稱為單位正交基底.(2)空間直角坐標系以e1,e2,e3(其中e1,e2,e3兩兩垂直)的公共起點O為原點,分別以e1,e2,e3的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.兩兩垂直(x,y,z)名師點津(1)單位正交基底是兩兩互相垂直且長度為1的向量;(2)只有在單位正交基底下的分解才是空間向量的坐標,其他基底下的分解不是向量的坐標.空間任一向量的坐標是唯一的;(3)向量的坐標與點的坐標的表示方法不同,如向量

a=(x,y,z),點A(x,y,z).題型一課堂探究·素養(yǎng)提升空間向量基本定理的理解[例1]若{a,b,c}是空間一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為該空間的一個基底.一題多變:若本例條件不變,試判斷{a+b,a-b,c}能否作為空間的一個基底.解:假設(shè)a+b,a-b,c共面,則存在實數(shù)x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y)b,從而由共面向量知c與a,b共面,這與a,b,c不共面矛盾.所以a+b,a-b,c不共面,即可以作為空間的一個基底.方法技巧判斷給出的三個向量能否構(gòu)成基底,關(guān)鍵是要判斷這三個向量是否共面.首先應(yīng)考慮三個向量中是否有零向量,其次判斷三個非零向量是否共面.如果從正面難以判斷,可假設(shè)三個向量共面,利用向量共面的充要條件建立方程組,若方程組有解,則三個向量共面;若方程組無解,則三個向量不共面.即時訓練1-1:設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間的基底的向量組有

(填序號).

答案:②③④(A)O,A,B,C四點不共線(B)O,A,B,C四點共面,但不共線(C)O,A,B,C四點中任意三點不共線(D)O,A,B,C四點不共面題型二空間向量基本定理的應(yīng)用方法技巧(1)若基底確定,要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,以及向量的數(shù)乘運算;(2)若沒給定基底時,首先要選擇基底,選擇時,要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.題型三空間向量的坐標表示方法技巧用坐標表示空間向量的方法步驟為(1)觀察圖形特征,尋找兩兩垂直的三條直線;(2)根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系;(3)用基底表示向量;(4)確定向量的坐標.即時訓練3-1:設(shè){i,j,k}是空間向量的一個單位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,則向量a,b的坐標分別為

.

解析:a,b的坐標即為i,j,k前面的系數(shù),故a的坐標為(2,-4,5),b的坐標為(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)經(jīng)驗分享區(qū)課堂達標D1.已知{a,b,c}是空間向量的一個基底,則可以與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成基底的向量是(

)(A)a (B)b(C)a+2b (D)a+2cA3.已知a=(1,-2,3),b=(-1,1,-4),c=(1,-3,m),則“m=1”是“a,b,c構(gòu)成空間的一個基底”的(

)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)