一元二次不等式的解法6種常見考法歸類（原卷版）

2.2.3一元二次不等式的解法6種常見考法歸類1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次項系數(shù)a有a>0和a<0兩種，注意aa<0時，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項系數(shù)大于0的一元二次不等式，但要注意不等號要改變方向，這樣我們只需要研究二次項系數(shù)大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).①這種方法只有在一元二次不等式左邊能夠因式分解(一般用十字相乘法)時才能使用，簡記為“小于零取中間，大于零取兩邊”．②因式分解法就是將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為兩個一元一次不等式組來求解．依據(jù)是：ab>0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0))；ab<0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b<0.))（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k的正負等知識，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只適用于特殊類型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通過配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是熟練掌握二次三項式的配方技巧．3、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??4、簡單分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式．注：當(dāng)分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式時，其分母不為零最容易被忽略，這一點一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式為例，用框圖表示其求解過程：6、一元二次不等式的解法：(1)圖像法：一般地，當(dāng)a＞0時，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡圖；③由圖像得出不等式的解集．對于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p＜q時，若(x－p)(x－q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．7、含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項系數(shù)的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向；(2)討論判別式的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)；(3)當(dāng)Δ>0時，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大?。?4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．8、三個“二次”之間的關(guān)系一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是對應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的范圍．9、簡單的分式不等式的解法對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．注：設(shè)A、B均為含x的多項式（1）（2）（3）（4）10、解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．(2)設(shè)：引進數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系．(3)求：解不等式．(4)答：回答實際問題．特別提醒：確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實際含義”．考點一解不含參數(shù)的一元二次不等式考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法考點三利用不等式的解集求參數(shù)考點四簡單的分式不等式的解法考點五一元二次不等式的恒成立有解問題考點六一元二次不等式的實際應(yīng)用考點一解不含參數(shù)的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（

）A．或B． C．D．或2．（2023秋·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）解下列不等式：（1）；

（2）；

（3）4．（2023秋·高一?？颊n時練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為A． B． C． D．6．【多選】（2023秋·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）下列四個不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法7．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，解不等式．8．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式9．（2023秋·高一?？颊n時練習(xí)）解關(guān)于x的不等式:.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式.11．（2023秋·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，解關(guān)于的不等式：．12．（2023秋·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┮阎?，，求關(guān)于的不等式的解集.考點三利用不等式的解集求參數(shù)13．（2023秋·福建福州·高一福州三中?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．-10 B．-6 C．0 D．214．（2023秋·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．15．【多選】（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為16．（2023秋·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．17．（2023秋·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．18．（2023秋·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求的值.(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式的解集為，則.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]21．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2考點四簡單的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．23．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．24．（2023秋·河南商丘·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集是．25．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，則．26．（2023秋·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式：(1)；(2)；(3).考點五一元二次不等式的恒成立有解問題27．（2023秋·高一單元測試）設(shè).(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.28．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．29．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．30．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．31．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求實數(shù)，的值；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．考點六一元二次不等式的實際應(yīng)用32．（2023秋·高一?？紗卧獪y試）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（）A． B．C． D．33．（2023·全國·高一假期作業(yè)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量（件）與單價（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（

）.A． B．C． D．34．（2023春·河南安陽·高二林州一中?？茧A段練習(xí)）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價480元