函數(shù)中存在性和任意性問題分類解析

函數(shù)中存在性和任意性問題分類解析1.，，使得，等價(jià)于函數(shù)在上的值域與函數(shù)在上的值域的交集不空，即.

例1

已知函數(shù)和函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

解

設(shè)函數(shù)與在上的值域分別為與，依題意.當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以即.

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞，所以即.

綜上所述在上的值域.

當(dāng)時(shí)，，又，所以在在上單調(diào)遞增，所以即，故在上的值域.

因?yàn)?，所以或解得，故?yīng)選.

2.對(duì)，，使得，等價(jià)于函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集，即.

例2(2011湖北八校第二次聯(lián)考)設(shè)，.①若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為＿＿＿;②若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為＿＿＿解①依題意實(shí)數(shù)的取值范圍就是函數(shù)的值域.設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，由均值不等式得，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

②依題意實(shí)數(shù)的取值范圍就是使得函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集的實(shí)數(shù)的取值范圍.由①知，易求得函數(shù)的值域，則當(dāng)且僅當(dāng)即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.③當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以.令得，又，所以。

綜合①②③得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是。

另解同上求得，要證時(shí)，，即.由上知求需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論過程繁而長(zhǎng)，其實(shí)可避免分類討論，不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化最值問題來(lái)解決，逆向思維，由于難求，將退回到恒成立問題:證時(shí)，即恒成立，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立，只需證.因?yàn)?，令?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故，所以，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是。

點(diǎn)評(píng)

這里“另解”將不等式恒成立問題與最值問題的單向轉(zhuǎn)化變成雙向轉(zhuǎn)化，將一個(gè)需要分類討論的最值問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)不需要分類討論的最值問題.

練習(xí)：已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線線恰好與直線垂直.(1)求的值;(2)求函數(shù)的在上最大值和最小值；（3）如果對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

4.若對(duì)，，使，等價(jià)于在上的最小值不小于在上的最小值即（這里假設(shè)存在）。

例5(2010年山東)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性;(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解（1）略；（2）依題意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

當(dāng)時(shí)，，所以，則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.，①當(dāng)時(shí)，可求得，由