2022-2023學(xué)年吉林省長春市重點大學(xué)附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年吉林省長春市重點大學(xué)附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列向量中不是單位向量的是(

)A.a=(1,0) B.a2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i1+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.用斜二測畫法得到的一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是(

)

A. B.

C. D.4.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個正四棱臺形米斗(忽略其厚度)，其上、下底面正方形邊長分別為30cm、20cm，側(cè)棱長為511cm，若將該米斗盛滿大米(沿著上底面刮平后不溢出A.6.6千克 B.6.8千克 C.7.6千克 D.7.8千克5.已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=ABA.34CB B.?14C6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2023taA.2023 B.2024 C.4046 D.40477.如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E為CD中點，M，N分別為AD，BC的中點，將△ADE沿AE折起，使點D到A.1 B.2 C.3 D.48.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA=sinB，且3(

A.△ABC是等邊三角形

B.若AC=213，則A、B，C，D四點共圓

C.四邊形A二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.設(shè)有兩條不同的直線m、n和兩個不同的平面α、β，下列命題中錯誤的命題是(

)A.若m/?/α，n/?/α，則m/?/n

B.若m?α，n?α，m//β，10.已知向量a，b，滿足|a|=|b|A.a?b=?2 B.a與b的夾角為π3

C.|a11.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是A.若asinB=bsinA，則△ABC為等腰三角形

B.若acosB12.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)是底面正方形ABA.α截正方體的截面可能是正五邊形

B.當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點時，α分正方體兩部分的體積V1，V2(V1<V2)之比是25：47

C.當(dāng)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點時，A1B1上存在點P

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知a=(1,2sinθ)，b=(sin14.若復(fù)數(shù)a+3i1+2i15.如圖，一倒立的圓錐和一個底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，H=3R，圓錐內(nèi)液體體積為V1，圓柱內(nèi)液體體積為V2，則16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是線段AA1，A1D1的中點，E是線段CC1上的動點，過M，N，E的平面α截正方體ABCD?A

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知點A(m,2)，B(1,1)，C(2,4)．

(1)若18.(本小題12.0分)

如圖，邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點P．19.(本小題12.0分)

如圖在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD的邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，設(shè)E、F分別為PC、BD的中點

20.(本小題12.0分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3csinB=a?bcosC21.(本小題12.0分)

如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO上的一點O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱．

(1)若O′是PO的中點，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；22.(本小題12.0分)

某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地ABC，其中斜邊BC的長度為400米，為迎接“五一”觀光游，欲在邊界BC上選擇一點P，修建觀賞小徑PM，PN，其中M，N分別在邊界AB，AC上，小徑PM，PN與邊界BC的夾角都是60°，區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)種植郁金香，區(qū)域AMPN內(nèi)種植月季花．

(1)判斷觀賞小徑P

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：對于A，由于a=(1,0)，故|a|=1，故a=(1,0)為單位向量；

對于B，a=(1,1)，則|a|=122.【答案】D

【解析】解：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i1+2i=i(1?2i)(13.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了平面圖形的斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)斜二測畫法知，平行于x軸的線段長度不變，平行于y的線段變?yōu)樵瓉淼?2．

【解答】

解：根據(jù)斜二測畫法知，

平行于x軸的線段長度不變，平行于y的線段變?yōu)樵瓉淼?2，

∵O′C′=1，O′A′=2，4.【答案】C

【解析】解：設(shè)該正棱臺為ABCD?A1B1C1D1，其中上底面為正方形ABCD，取截面AA1C1C，如下圖所示：

易知四邊形AA1C1C為等腰梯形，且AC=302+302=302,A1C1=202+202=202，AA1=CC1=511，

分別過點A1、C1在平面AA1C1C內(nèi)作5.【答案】A

【解析】解：因為△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC,∠ACB=π6，

所以O(shè)為BC的中點，A為直角，∠B=π3，

則向量CA在向量CB上的投影為|6.【答案】D

【解析】解：由在△ABC中，2023tanA+2023tanB=1tanC，

得2023×(cosAsinA+cosBsinB)=co7.【答案】D

【解析】解：在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E為CD中點，M，N分別為AD，BC的中點，將△ADE沿AE折起，使點D到D1，M到M1，在翻折過程中，當(dāng)D1與C重合時，|M1N|的最小值為1；所以①正確；連接MN交AE于F連接M1F，

可以證明平面FM1N//平面CD1E，所以M1N//平面8.【答案】D

【解析】解：對于A：∵3(acosC+ccosA)=2bsinB，

∴3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinB?sinB，即3sin(A+C)=3sinB=2sinB?sinB，

又sinB≠0，則sinB=32，

∴B=π3或2π3，

又sinA=sinB，則a=b，

∴B=∠CAB=∠9.【答案】AB【解析】解：對于A，若m/?/α，n/?/α，則m，n可能平行、異面或相交，A錯誤；

對于B，若m?α，n?α，m//β，n/?/β，m，n不一定為相交直線，

只有當(dāng)m，n為相交直線時，才可得到α/?/β，故B錯誤；

對于C，當(dāng)m/?/n，m?α?xí)r，可能是n?α，推不出一定是n/10.【答案】BC【解析】解：選項A：由|a|=|b|=2，|a+b|=23，

可得(a+b)2=|a|2+|b|2+2a?b=12，則4+4+2a?b=12，

則a?b=2，故A錯誤；

選項B：由A選項分析可知：cos<a，b>=a?b|a||b|=22×2=12，

又<a11.【答案】AC【解析】解：∵asinB=bsinA，

∴asinA=bsinB，∴a2=b2，

∴△ABC為等腰三角形，故A正確，

∵acosA=bc12.【答案】BC【解析】解：A.若α截正方體的截面為五邊形，則五邊形必有兩條邊位于正方體相對的平行平面上，此時該五邊形必有兩條邊相互平行，但正五邊形沒有哪兩條邊平行，故截面不可能是五邊形，選項A錯誤．

B.如圖，延長EF分別交DA，DC于點G，I，連接D1G，D1I分別交A1A，CC1于點H，J，

∴截面為五邊形D1HEFJ，記正方體棱長為6，CI=AG=3，CJ=AH=2，

截面D1HEFJ下側(cè)的體積為V=13×12×9×9×6?13×12×3×3×2?13×12×3×3×2=81?3?3=75，

另側(cè)體積為：V正方體?V=216?75=141，∴V1：V2=75：141=25：47，故選項B正確．

C.截面α為圖中等腰梯形EFB1D1，此時取A1B1中點P，知AP//B1F，

∵AP?平面α，B1F?平面α∴AP/13.【答案】3【解析】解：因為a=(1,2sinθ)，b=(sin(θ?π3),1)，θ∈R,a⊥b，

14.【答案】3

【解析】解：∵復(fù)數(shù)a+3i1+2i=(a+3i)(1?2i)(115.【答案】1

【解析】解：因為圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且H=3R，

則圓錐的水面圓的直徑為2H=23R，

由V1=13π(316.【答案】33

【解析】解：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得截面與平面BCC1B1的交線與MN平行，

又因為E為線段CC1的中點，

所以取BC的中點F，即交線為EF，延長MN與DD1的延長線交于點O1，

又因為△O1D1N∽△MA1N，即O1D1=A1M=1，

連接O1E與D1C1交于點O2，連接NO2，O2E，

又因為△O1D1O2∽△EC1O2，即O1D1=EC1=1，

所以O(shè)1是D1C1的中點，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得截面與平面ABCD的交線與NO2平行，

所以取AB的中點O3，再連接MO3，即截面為平面MNO2EFO3，

因為六邊形MNO2EFO3為正六邊形且邊長為2，

所以面積S=6×24×(2)2=33，

①當(dāng)點E與C1重合時根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得截面與平面BCC1B1的交線與MN平行，

即交線為C1B，連接MB，NC1，即等腰梯形MNC1B的面積為12×(217.【答案】解：(1)CA=(m?2,?2),CB=(?1,?3)，【解析】(1)可得出CA=(m?2,?2),CB=(18.【答案】解：(1)證明：因為在正方形ABCD中AD⊥AE，CD⊥CF，

折疊后即有PD⊥PE，PD⊥PF，

又PE?PF=P，PE，PF?平面PEF，

所以PD⊥平面PEF，而EF?平面PEF，

故PD⊥EF；

(2)由題意知PE=PF=2，PE⊥PF，故S△PEF=12×PE×PF=2，

故VP【解析】(1)先證明PD⊥平面PEF，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案；19.【答案】(Ⅰ)證明：ABCD為平行四邊形，

連結(jié)AC∩BD=F，F(xiàn)為AC中點，E為PC中點，

∴在△CPA中EF/?/PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，

∴EF/?/平面PAD；

(Ⅱ)證明：因為面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD為正方形，

∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，

又PA=PD=22AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠【解析】(Ⅰ)利用線面平行的判定定理：連接AC，只需證明EF/?/PA，利用中位線定理即可得證；

(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理：只需證明PA⊥面PDC，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明PA⊥PD，PA⊥DC，易證三角形PAD為等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性質(zhì)及正方形ABCD的性質(zhì)可證CD⊥面PAD，得CD⊥P20.【答案】解：(1)由題意，在△ABC中，√3csinB=a?bcosC，∵asinA=bsinB=csinC，A+B+C=π，

∴3sinCsinB=sinA?sinBcosC，即【解析】(1)利用三角形內(nèi)角和，正弦定理即可求出角B；(2)利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出ac的取值范圍，即可得到21.【答案】解：(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，

由三角形中位線定理可得，r=a4，圓柱的母線長為OO′=a2，

又圓錐的母線長為l=a2+a24=52a，

所以圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積為圓錐的表面積加上圓柱的側(cè)面積，

則S=π×(a2)2【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解與應(yīng)用，圓錐的體積公式以及表面積公式，圓柱的體積公式以及表面積公式的應(yīng)用，基本不等式求解最值的應(yīng)用，考查了