湖北省溫德克英聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期8月開學綜合性難度選拔考試數(shù)學試題（含答案）

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2023年8月湖北溫德克英聯(lián)盟高二上學期開學綜合性難度選拔考試

數(shù)學試卷

本試卷共6頁，22題。全卷滿分120分考試用時120分鐘

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注意事項:

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題

1．若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A．B．C．2D．

2．設(shè)，向量,且，則（）

A．0B．1C．2D．3

3．為了研究某種病毒與血型之間的關(guān)系，決定從被感染的人群中抽取樣本進行調(diào)查，這些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個樣本量為的樣本，已知樣本中O型血的人數(shù)比AB型血的人數(shù)多20，則（）

A．100B．120C．200D．240

4．．表示平面，為直線，下列命題中為真命題的是

A．B．

C．D．

5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，點D在邊AB上，，則的外接圓的面積是（）

A．B．C．D．

6．如圖，棱長為2正方體，為底面的中心，點在側(cè)面內(nèi)運動且，則點到底面的距離與它到點的距離之和最小是()

A．B．C．D．

7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當時，恒成立，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

8．定義：若，則稱是函數(shù)的倍伸縮仿周期函數(shù).設(shè)，且是的2倍伸縮仿周期函數(shù).若對于任意的，都有，則實數(shù)m的最大值為（）

A．12B．C．D．

二、多選題

9．近年，隨著人工智能，AIoT，云計算等技術(shù)的推動，全球數(shù)據(jù)量正在無限制地擴展和增加.國際數(shù)據(jù)公司IDC統(tǒng)計了2023~2023年全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量及其增速，所得結(jié)果如圖所示，根據(jù)該統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（）

A．2023~2023年，全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量在持續(xù)增加

B．2023~2023年，全球數(shù)據(jù)量的年平均增長率持續(xù)下降

C．2023~2023年，全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量的平均數(shù)為33.7

D．2023年，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量超過15

10．下列各式的值為是（）

A．B．

C．D．

11．三棱錐各頂點均在表面積為的球體表面上，，，則（）

A．若，則

B．若，則

C．線段長度的最小值為

D．三棱錐體積的最大值為

12．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，，有以下四個命題中正確的是（）

A．滿足條件的不可能是直角三角形

B．面積的最大值為

C．當A=2C時，的周長為

D．當A=2C時，若O為的內(nèi)心，則的面積為

第II卷（非選擇題）

三、填空題

13．已知為復數(shù)，且，則的最大值為.

14．已知的外接圓圓心為O，，，若（為實數(shù)）有最小值，則參數(shù)的取值范圍是.

15．已知為銳角三角形，滿足，外接圓的圓心為，半徑為1，則的取值范圍是.

16．如圖，某化學實驗室的一個模型是一個正八面體（由兩個相同的正四棱錐組成，且各棱長都相等）若該正八面體的表面積為，則該正八面體外接球的體積為；若在該正八面體內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為.

四、解答題

17．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；

(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.

18．已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在的最大值為2，求實數(shù)的值.

19．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，的面積為

已知①，②，③，從這三個條件中任選一個，回答下列問題，

(1)求角

(2)若，求的面積的最大值.

20．如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，

（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；

（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.

21．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，平分交于點，且，.

（1）求；

（2）求的面積.

22．如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．

(1)求四棱錐的體積的最大值；

(2)若棱的中點為，求的長；

(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．

參考答案

1．A

2．A

3．B

4．C

5．B

6．A

7．B

8．B

9．ACD

10．AB

11．ACD

12．BCD

13．

14．

15．

16．

17．(1)32.25，第80百分位數(shù)為37.5

(2)10

18．(1).

(2).

(3)或

19．(1)

(2)

20．（1）證明見解析；（2）.

（1）連接交于，

因為，，，

所以，故

又因為為菱形對角線交點，即是線段的中點，所以

又四邊形為菱形，故

而，所以平面

方法二：因為，

所以點在平面內(nèi)的射影在為的平分線，

又四邊形為菱形，故為的平分線，則直線

故平面平面，而平面平面，

又四邊形為菱形，故

所以平面

（2）延長交于點，平面即為平面，平面即平面

由（1）得平面平面，平面平面，

所以過做，則平面，故即為直線與平面所成角（若研究直線與平面所成角的正弦值則線段等比例擴大2倍結(jié)果不變）

因為四棱臺中，所以，

由菱形有，且∠ABC=，所以，

作，因為，則，，所以，

則，，，

故.

法二：延長交于點，

平面即為平面，平面即平面，

設(shè)直線與平面所成角為

過作，垂足為，因為，所以

建系，以為軸，作軸，

設(shè)平面的法向量為，則

，

所以，

所以

21．（1）；（2）.

（1）因為，

所以，

因為，，

所以，，

故，解得，

（2）如圖，繪出，

因為平分，所以，

因為，所以可設(shè)，，

故在中，有，即；

在中，有，即，

兩式聯(lián)立，可得，

因為，所以，

即，化簡得，

聯(lián)立，解得，

將代入中，可得，

故，，

在中，，

化簡得，解得或（舍去）；

在中，，

化簡得，解得或（舍去），

故.

22．(1)

(2)

(3)

（1）取AM的中點G，連接PG，

因為PA=PM，則PG⊥AM，

當平面⊥平面時，P點到平面ABCM的距離最大，

四棱錐的體積取得最大值，

此時PG⊥平面，且，

底面為梯形，面積為，

則四棱錐的體積最大值為

（2）取AP中點Q，連接NQ，MQ，

則因為N為PB中點，所以NQ為△PAB的中位線，

所以NQ∥AB且，

因為M為CD的中點，四邊形ABCD為矩形，

所以CM∥AB且，

所以CM∥NQ且CM=NQ，

故四邊形CNQM為平行四邊形，

所以.

（3）連接DG，

因為DA=DM，所以DG⊥AM，

所以∠PGD為的平面角，即，

過點D作DZ⊥平面ABCD，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，