概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章

第一章 隨機事件與概率§1.1

概率論的現(xiàn)實背景確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。不可能現(xiàn)象：在一定條件下不可能發(fā)生的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象：在一定條件下事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象?！?.2

隨機事件及其運算1.2.1基本事件空間與事件隨機試驗：不能事先準確地預(yù)見它的結(jié)果，而且在相同條件下可以重復(fù)進行。E隨機試驗：不能事先準確地預(yù)見它的E結(jié)果，而且在相同條件下可以重復(fù)進行用符號E

表示。隨機事件：在條件下事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件用大寫字母A,B

,C,

表示。必然事件：在每次試驗中它總是發(fā)生的E事件，用符號

表示。不可能事件：每次試驗中總不會發(fā)生的事件，用符號

表示?；臼录?對于一個隨機試驗

E來說，知道這個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果．若以

表示E它的一個可能的結(jié)果，就稱 為

E

的一個基本事件（或樣本點）.樣本空間:全體基本事件的集

{

}稱為基本事件空間（或樣本空間）．例1.2.1

某袋中裝有4只白球和2只黑球，考慮依次從中任意摸出兩球所可能出現(xiàn)的情況.若對球進行編號，4只白球分別編為1，2，3，4號，2只黑球編為5，6號.若用數(shù)對來表示第一次摸得號球，第二次摸得號球，則可能出現(xiàn)的結(jié)果.E例1.2.2

擲一個均勻的骰子，用指出件，并表示事件EAi

{i}; i

1,2,...,6

分別表示所擲的點數(shù)，B表示“偶點數(shù)”C， 表示“奇點D數(shù)”，

表示“3點或3點以上”，試寫出樣本

空間，并A1,A2

,...,A6,B,C,DB,C,事D

件中哪些是基本事。1.2.2事件間的關(guān)系與運算1．事件的包含與相等E若事件A事件B

之中，即A

的發(fā)生必然導(dǎo)致B

的發(fā)生，則稱事件A

包含于事件B

，或事件B包含事件A

，也稱是的特款，記為A

B。A

中的每個基本事件都包含在B若

A

B,且B

A

,

則稱事件

A與B

相等(或等價),記為A

B

。EAA與與BB的和2．事件的和、積、差對兩個事件A和B

，稱“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”的事件，即A或B

發(fā)生為事件A與B的和（或并），記為C

A

B或C

A

BEAA與與BB的和對無限個事件A1,A2

,...,可類似定義它們的和事件C為1

2i

A1，A2

,

至少有一個發(fā)生

A

發(fā)生,或A

發(fā)生,

C

Ai

1記為或時發(fā)生”的積，記為.EAA與與BB的和對兩個事件A

和

B

，稱“事件A

與事

B與 都發(fā)生為C

{A發(fā)生，B發(fā)生}件同時發(fā)生”的事件，A即事A件B與C

的A積

（B

或交C

）A，B

即A1,

A2.,

,

An件事件A1“,A2

,

個,A事n稱為事件

i

1

同A

in即，則稱對兩個事件A和B

，稱“事件A

發(fā)生而事件B

不發(fā)生”的事件為事A與件B的差

，記C

為A

BC

{A發(fā)生,B不發(fā)生}.如EAA與與果BB事的件和A與事件B，即如3果．事互件不A相與容事事件件B

與對立事件A

B

事件A與不事可件能B同時發(fā)生，是互不相容如EAA與與果BB事的件和A與事件B（或互斥）的.如果事件

A與事件

B

滿足：(1)A

B

;(2)A

B

，即必發(fā)生其一，但不能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B是互逆的，或者說A是B的對立事件，記為A

B（或B

A

）.結(jié)合律如EAA與與果BB事的件和A與事件B在進行事件的運算時，經(jīng)常需要如下的運算律.交換律

A

B

B

A,

A

B

B

A(A

B)

C

A

(B

C),(A

B)

C

A

(B

C)對偶律如EAA與與果BB事的件和A與事件B分配律(A

B)

C

(A

C)

(B

C),(A

B)

C

(A

C)

(B

C)A

B

A

B,

A

B

A

B如EAA與與果BB事的件和A與事件B表示下列事件:例1.2.3

設(shè)A,B,C是三個事件,試用A,B,C(5)至少有一個事件發(fā)生;(6)恰有兩個事件發(fā)生;(7)不多于兩個事件發(fā)生;(8)A,B至少有一個發(fā)生,而C不發(fā)生.(2)A與B都發(fā)生而C不發(fā)生;(4)恰有一個事件發(fā)生;(1)恰有A發(fā)生;(3)A,B,C都發(fā)生;(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;例1.2.4

化簡下列各事件：(A

B)(A

B)

;AB

AB

BC;(A

B)(A

B)(B

C).(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;例1.2.4

化簡下列各事件：(A

B)(A

B)

;AB

AB

BC;(A

B)(A

B)(B

C).例1.2.5

求事件“甲產(chǎn)品滯銷，且乙產(chǎn)品暢銷”的對立事件．(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;概率的定義與基本性質(zhì)概率的公理化定義頻率的性質(zhì)設(shè)隨機試驗E

的基本事件空間為

，A，B為E的兩個隨機事件，則在n次試驗中的頻率具有下列性質(zhì)：(2)(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;(1)

0

fn

(A)

1fn

(

)

1(3)

若A與B

互不相容，則fn

(A

B)

fn

(A)

fn

(B)(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;定義1.3.1

設(shè)隨機試驗E

的基本事件空間為

，對于E的任一事件A

，賦予一個實數(shù)P(A)，如果它滿足以下三條公理：（1）0

P(A)

1

;（2）

P(

)

1

；（3）對于可列無限個兩兩互不相容的(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;則稱為P(A)事件A的概率．1.3.2概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1.3.1

不可能事件的概率為0，即

P(

)

0

.性質(zhì)1.3.2

（有限可加性）設(shè)是兩兩互不相容的事件，即

Ai

Aj

,

i

j

,

i,

j

1,2,

,

n由概率的可列可加性（1.2.1）式及性質(zhì)1.2.1，有(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;nii

ni

1i

1P

(

A

)

.則P

(

A

)

i

in

ni

1

i

1證

因為

A

A

,niniin

i

1

i

1i

1P(A

)P(A

)

P(P(

A

)

)

，若，(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;性質(zhì)1.3.3

對任何事件A,有

P(A)

1

P(A).性質(zhì)1.3.4

對于兩個事件A

B

則有P(B

A)

P(B)

P(A).性質(zhì)1.3.5

（加法公式）對任意兩個事件A,

B

，有P(A

B)

P(A)

P(B)

P(AB)例1.3.1

設(shè)事件的概率分別為和(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;A,

B1

321，試求下列三種情況下的值：A,B

互不相容；A

B

；8（3）P(

AB)

1

.(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;例1.3.2

已知事件

A,

B

滿足P(AB)

P(AB),

且P(A)

p試求P(B)例1.3.3

某人外出旅游兩天.據(jù)氣象預(yù)報，第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1．試求：第一天下雨而第二天不下雨的概率；第一天不下雨而第二天下雨的概率；至少有一天下雨的概率；兩天都不下雨的概率；至少有一天不下雨的概率.(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;例1.3.4

某公司購進一批電視機，經(jīng)開箱檢驗，外觀有缺陷的占5%，顯像管有缺陷的占6%，其它部分有缺陷的占8%，外觀及顯像管均有缺陷的占0.3%，顯像管及其它部分有缺陷的占0.5%，外觀及其他部分均有缺陷的占0.4%，三者都有缺陷的占0.02%.現(xiàn)從中任取一件，問至少有一種缺陷的是多少？(3)

(

A

B)(

A

B)(B

C).(2)

AB

AB

BC;如(EAA1)與與果(BBA事的

件和BA)與(A事

件B)B;1.4

古典概率與幾何概率1.4.1古典概率古典概型設(shè)隨機試驗E的基本事件空間

{

1,

2,

,

n}，n為有限正整數(shù)，且每個基本事件

i

發(fā)生的可能性相等件A是由m個不同的基本事件組成,即1

2nn（即P(

)

P(

)