18版第7章7節(jié)立體幾何中向量方法

第七節(jié)al平行al的方向向量．l⊥αlaal1，l2lnαα，βa，bl1，l2l1l2ab的夾角〈a，b 0＜〈a，bcosθ＝|cos〈a，b〉cos〈a，b〉＝laαnlα所成的角θsinθ＝|cos〈a，n〉|＝|aAB，CDα-l-βl面角的大小就是向量→與的夾角(圖n1，n2α-l-βα，βn1的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小( 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的

面角的范圍是

(2)× α⊥β，則 [∵α⊥β52直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為( 52130

D.2 BC＝2(0,2,0)(2,0,0)， →的余弦值cosθ＝|BM·AN| ＝→ 6×

107-7-1ABCD-A1B1C1D1中，O的，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系 .【導(dǎo)學(xué)號(hào)：510622477-7-垂 [以A為原點(diǎn)，分別以→，→，→所在直 軸，建立間直角坐標(biāo)系(圖略)1

5．(2017·湖州模擬)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為 P(0,0,1)，由題意，ADPABEPDAEAE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AEAE∴ → AB→→PABPCD如圖7-7-2所示，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA(1)求證：EFPAB；7-7- 以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，

2

＝(1,0,0)→＝(1,0,0).3(1)因?yàn)椋剑?→，所以→∥→，即

EF所以EF∥平面PAB.6分→→所以 AP⊥DC，AD⊥DCAP⊥DC，AD⊥DC.10所以DC⊥平面PAD.DC?[規(guī)律方法]1.利用向量證明平行與垂直，充分利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)[變式訓(xùn)練1] (2017·紹興一模)如圖7-7-3四棱錐P-ABCD的底面為正方形，7-7- 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系分 ∴→ ∵PB?EFHEH?∴PBEFH.6 PD·AF＝0×PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，10→又∵AF∩AH＝A，∴PDAHF.15?角度 求異面直線所成的將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成的角為( 6633

4242 最大，即點(diǎn)D到底面△ABC的距離最大時(shí)，平面ADC⊥平面ABC.OAC則BO，CO，DO兩兩互相垂直O(jiān)→因此cos〈→，→〉＝AD·BC

→ 2× 3ADBC所成的角為3 |ν||ν代 |cos〈ν1，ν2〉|＝|ν1·|ν||ν ?角度 求直線與平面所成的(2015·卷Ⅱ)如圖7-7-4所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，ABFα與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．7-7-(2)AFα所成角的正弦值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：51062248 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.5(2)EM⊥AB，M，EHGF為正方形，MH＝EH2－EM2＝6，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，→的方向?yàn)閤 －6，8).9 n＝(xyz)

即 又

4

→＝1515所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為4 15 1.利用向量法求線面角的方(2)sin2θ＋cos2θ＝1求值(2)E-BC-A7-7- (1)證明：由已知可得AFEFDC.2AF?ABEFABEFEFDC.6(2)DDG⊥EF，由(1)DG⊥以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，→的方向?yàn)?方向，→為單位長(zhǎng)，建立如圖所 的空間直角坐標(biāo)系.8

＝3，A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，AB∥EF，AB∥EFDC.10ABCD∩EFDC＝CD，BE∥AF，BE⊥所以∠CEFC-BE-F的平面角，∠CEF＝60°.從而可得C(－2,0，3)．所以 EC＝(1,0，3)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4，設(shè) )是平面BCE的法向量 則

x＋即 n＝(3,0，－3).12 mABCD的法向量，m＝(0，〉則cos〈 n·m＝－219〉E-BC-A

192 —19[規(guī)律方法]1.求解本題要抓住幾點(diǎn)：(1)充分利用垂線，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲?2)D-AF-EC-BE-F的平面角；(3)從空間圖形能判定二面角E-BC-A為鈍角．2 7-7-(2)點(diǎn)P段EF上，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試θ的最小值． (1)證明：在梯形ABCD中∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.2BFEDBFED∩ABCD＝BD，DE?∴DEABCD，則DE⊥AD.DE∩BD＝D，∴ADBFED.6直角坐標(biāo)系，令EP＝λ(0≤λ≤3)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，∴→ AB＝(－1，3，0)，BP＝(0，λ－ →→

－x＋3y＝0，y＝1n1＝(3，1，3－λ).10∵n2＝(0,1,0)ADE.∴cos .

3＋1＋

λ－∵0≤λ≤3λ＝3時(shí)，cosθ有最大值3∴θ的最小值為π.153FACBC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABCCDA-DC-B，如圖ABDEFE-DF-CBCPAP⊥DE 7-7- (1)如圖，在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得AB?DEF，EF?∴ABDEF.4D則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,23，0)，E(0，3，1)，F(xiàn)(1，3，0)，CDF的法向量為＝(0,0,2).6設(shè)平面EDF的法向量為n→則→即n＝(3，－

→→

DA，n〉＝ ＝77∴二面角E-DF-C的余弦值為 7→P(x，y,0)，則AP·DE＝3∴y＝23BP＝(x－2BP＝(x－2，y,0)，PC＝(－x,2∵→∴(x－2)(2∴3x＋y＝23.12y＝23 ∴→1

2 BCP3，3，0AP⊥DE.15[規(guī)律方法 1.根據(jù)題目的條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的[變式訓(xùn)練3] 如圖7-7-8，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)．7-7- 以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方AB＝a.1

因?yàn)椤?B1E⊥AD1.6AA1DPB1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)，再設(shè)平面B1AE的一個(gè)法向量為n

nB1AEn⊥AB1，n⊥AE，得22x＝12 DPB1AEn，有a－az0＝0 所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí) A 基礎(chǔ)達(dá)(建議用時(shí)：30分鐘則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是( ⊥nPαα7-7-9ABC-2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為 )【導(dǎo)學(xué)號(hào)：510622497-7-5A.5BB．－5C.25D2D．－→ [不妨設(shè)CB＝1，則→→→→→

BC1·AB1 5BC1，AB1〉＝ → 5×3＝5→ABCD-A1B1C1D1aMAC1

1→1，N→B1B的中點(diǎn)，則|MN|為 A. 6

6 B.66

3 [D設(shè)

MAC1上且＝1 (x－a，y，z)＝1∴x＝2 M

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB14ACC1A1所成角的正弦值等于 4426C.242

10D.32 [22，O(0,0,0)，B(3，0,0)，A(0，－1,0)，B1(AB1＝(3，1,2)，則AB1＝(3，1,2)，則BO＝(－3，0,0)ACC1A1→sinθ＝|AB1·BO|＝6→ 4ABCD-A1B1C1D1EBB1A1ED3ABCD所成的銳二面角的余弦值為 323C.323

D.22 [以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系21

A1ED

即

ABCD∴cos〈n1，n2〉＝2 即所成的銳二面角的余弦值為→PABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果－4)， 是平面ABCD的法向量；④→∥→其中正確的序號(hào) [∵→→＝0，→又 ∴→AP是平面ABCD的法向量，確∴→由于 BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴BD與APD1C1與平面A1BC1所成角的正弦值 33建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n)為平面A1BC1的法向 即

z＝2→αsinα＝|cos〈

→〉 8．在一直角坐標(biāo)系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折 [AC，BD故由得→ →|AB|＝|AC＋CD＋DB|∴|AB|＝2∴7-7-A-DE-C 由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)→(1,1,0)，DS＝(0,0,2).2→∴→2→1→ DE·BC＝0，DE·BSDE·BC＝0，DE·BS＝0，4∴ →BC∩BS＝B，∴DESBC.6由(1)知，DE∵EC?SBC，∴DE⊥EC.9分取DE的中點(diǎn)F， 故→→∴向量→與A-DE-C→cos〈→〉＝FA·EC → A-DE-C120°.1510P-ABCD中，PDABCDABCDDC，E，F(xiàn)AB，PB (1)證明：如圖，以DA，DC，DP所在直線分別

∴→ EF⊥DCEF⊥CD.6(2)G(x,0，z)，則 GFPCB

由

z－a＝，得＝2 15B 能力提(建議用時(shí)：15分鐘1(2017·∠A1AD＝60°BAD＝90°ABCD4所成的角的正切值為 44439

13D.393 3得B(2，－1,0)，D1(0,2，3)，＝(－2,3，3)，平面ABCD→| 3913.]2．(2017·浙江柯橋中學(xué)質(zhì)檢)7-7-11所示，在正方體ABCD-3a，M，NA1BAC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝3

MN面BB1C1C的位置關(guān)系 .【導(dǎo)學(xué)號(hào)：510622517-7-MN∥平面BB1C1C [以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示3∵A1M＝AN＝3 又∵是平面BB1C1CMN?平面BB1C1CMN∥平面ABCDGAB7-7-O-EF-C設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且

BHCEF

依題意，OF⊥平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)分別以 AD，BA，OFx軸，y軸，z1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(xiàn)(0,0,2)，G(－1,0,0).2 n1＝(x1，y1，z1)ADF →→

即 4z1＝1