10導(dǎo)體內(nèi)有大量自由電子在電場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)使電荷重新分布

第十章

靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)導(dǎo)體內(nèi)有大量自由電子，自由電子在電場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)使電荷重新分布，稱為導(dǎo)體的靜電感應(yīng)。電介質(zhì)（絕緣體）內(nèi)幾乎沒(méi)有自由電荷，但在外電場(chǎng)作用下會(huì)產(chǎn)生極化電荷（束縛電荷），稱為電介質(zhì)的極化。感應(yīng)電荷和極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為附加電場(chǎng)。當(dāng)電場(chǎng)中引入導(dǎo)體或電介質(zhì)后，空間的電場(chǎng)分布發(fā)生變化：

E

=

E0

+

E'

E0

:

E'

:外電場(chǎng)（原來(lái)的電場(chǎng)）；附加電場(chǎng)。主要內(nèi)容：導(dǎo)體的靜電平衡條件；電介質(zhì)的極化、有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理；電容和電容器；電場(chǎng)的能量。§10-1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體1、導(dǎo)體的靜電平衡條件：導(dǎo)體不帶電或不受外電場(chǎng)作用時(shí)，因電子的無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體內(nèi)任一體積內(nèi)無(wú)凈電荷—電中性。在外電場(chǎng)E0作用下，電子逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)；導(dǎo)體表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷，導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生附加電場(chǎng)E'

；外電場(chǎng)與附加場(chǎng)等值而反向時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)停止，導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)。導(dǎo)體內(nèi)：E=

E0

?

E'

=

0導(dǎo)體的靜電平衡導(dǎo)體的靜電平衡條件：導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零；導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體表面為等勢(shì)面；導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)處處與導(dǎo)體表面正交。QS2、導(dǎo)體上電荷的分布：(1)

實(shí)心導(dǎo)體：導(dǎo)體內(nèi)任取高斯面。

E

=0

，\

q內(nèi)=0?(2)

空腔導(dǎo)體（腔內(nèi)無(wú)電荷）：導(dǎo)體內(nèi)任取高斯面，則：

q內(nèi)=0內(nèi)表面上也不可能有等量異號(hào)電荷，否則：b

E

dl

?

0a與導(dǎo)體是等勢(shì)體的結(jié)論不符。QSS(3)

空腔導(dǎo)體（腔內(nèi)有電荷）：導(dǎo)體內(nèi)、外表面間任取高斯面。+qQ+q

E

=0

，\

q內(nèi)=0空腔內(nèi)表面感應(yīng)出電量-q，而外表面電量為Q+q。結(jié)論：導(dǎo)體靜電平衡時(shí)，電荷只分布在表面上。導(dǎo)體表面電荷面密度與表面曲率半徑的關(guān)系：1ρσ（近似）3、導(dǎo)體表面外附近的場(chǎng)強(qiáng)：在導(dǎo)體表面取柱狀高斯面，則其側(cè)面和導(dǎo)體內(nèi)底面的電通量為零。εε0

0EΔS

=

1

q

=

1

σΔS內(nèi)E

=

σε0即：ρ

E

σ1

,

所以：導(dǎo)體表面曲率半徑小的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度大。尖端放電：針尖狀導(dǎo)體處電場(chǎng)很強(qiáng)，可使周圍的空氣電離，同時(shí)產(chǎn)生“電風(fēng)”—尖端放電。4、靜電屏蔽：利用空腔導(dǎo)體可消除腔內(nèi)、腔外電場(chǎng)的相互影響。\

E

=

0內(nèi)(1)

對(duì)腔外電場(chǎng)的屏蔽：由靜電平衡條件，導(dǎo)體內(nèi)和導(dǎo)體內(nèi)表面均無(wú)電荷。

但外電場(chǎng)變化時(shí)，將使腔內(nèi)電場(chǎng)發(fā)生變化，可通過(guò)

“接地”解決。

E內(nèi)=0(2)

對(duì)腔內(nèi)電場(chǎng)的屏蔽：

腔內(nèi)電荷q在腔內(nèi)表面感應(yīng)出電荷?q，同時(shí)外表面感應(yīng)出電荷q。若將導(dǎo)體空腔接地，則腔外空間的電場(chǎng)、電勢(shì)不受腔內(nèi)電場(chǎng)的影響。靜電屏蔽例10-1例10-1：半徑R1，帶電Q1的金屬球A，外面有一內(nèi)、外半徑分別為R2

、R3

，帶電Q的同心球殼B

。求：(1)電場(chǎng)和電勢(shì)的分布；(2)球與球殼間的電勢(shì)差。(1)

電場(chǎng)分布：

Q

+

Q=

0Q(

r

<

R

)

E

=

04πε

r

20=

1

EIII

EIV

(

R1

<

r

<

R2

)(

R2

<

r

<

R3

)(

r

>

R3

)4πε

r

20=

1

EII1IBR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IVER1R2

R3or電場(chǎng)分布不連續(xù)。電勢(shì)分布：（場(chǎng)勢(shì)法）BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IVR3R2UI

dr

+

EIV

dr=

EIIR1￥Q3R4πε0

r1R4πε0

r1Q

+

Q￥2

dr

+

R2=

1r

<

R1

：R1<

r

<

R2

：3RR2

dr

+

EIVU

II

=

EIIr￥R2

4πε0

R34πε0

R1Q

1

1

Q

+

Q)

+

1

-2

dr

=

(

1

R2

4πε0

R34πε0

rQ

1

1

Q

+

Q)

+

1

-dr

=

1

(BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IV￥￥1R32

drR3

4πε0

rdr

=

U

III

=

EIV

Q

+

Q

0

34πε

R=

Q1

+

QR2<

r

<

R3

：r

>

R3

：U

IV

￥14πε0

rQ

+

Q=

EIV

dr

=rUR1R2

R3or可見：電場(chǎng)強(qiáng)度為零處，電勢(shì)不一定為零。電勢(shì)連續(xù)4πε

rU03=

Q1

+

QQ4πε0

rU1

=

1

4πε

r0Q12U

=

-R1<

r

<

R2

：R1

Q1

PA

r?Q1R2

PrBBR3Q1+QrP電勢(shì)分布：（電勢(shì)疊加法）金屬球A單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)：金屬球殼B的內(nèi)表面單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)：金屬球殼B的外表面單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)：BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IVr

<

R1

：R1<

r

<

R2

：R2

4πε0

R34πε0

R1Q1

1

1 Q1

+

Q(

-

)

+UI

=II4πε0

r

R2

4πε0

R3Q1

(

1

-

1

)

+

Q1

+

QU

=R2<

r

<

R3

：00III4πε0

R3

4πε0

R34πε

r4πε

rQ1Q1

+

Q1

+

Q

=

Q1

+

Q-U

=r

>

R3

：4πε

r4πε

r4πε0

r 4πε0

r00Q1IVQ1

+

Q1

+

Q

=

Q1

+

Q-U

=(2)球與球殼間的電勢(shì)差。BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IV4πε0

R1

R2Q1

1

1(

-

)=U

AB

=

UI

-U

III1

U

AB

=

EIIR

Q

1

14πε0

R1

R2-

)dr

=

1

(或由場(chǎng)勢(shì)法：R2例10-例210-2：面積均為S的兩塊大金屬平板A、B平行放置，A帶電Q，B不帶電，求：靜電平衡時(shí)A、B板上電荷分布及周圍電場(chǎng)分布。（忽略邊緣效應(yīng)）σ1

σ2

σ3

σ4A

BIIIIIISP由電荷守恒：作高斯面S，得：40300對(duì)P點(diǎn)：

σ1+

-

=

0+

σ2

σ

σSQσ1

+

σ2

=σ3

+

σ4

=

0σ2

+

σ3

=

02ε

2ε

2ε1

2ε0σ

-

σ4

=

0

（向右）

Q

2ε0

S=EII

=

EIII2S3σ

=

-

Q

2SQσ1

=

σ2

=

σ4

=2ε

S0IE

=

Q

（向左）§10-2電容和電容器1、孤立導(dǎo)體的電容：一導(dǎo)體周圍無(wú)其他導(dǎo)體、電介質(zhì)、帶電體時(shí)，則該導(dǎo)體稱為孤立導(dǎo)體。孤立導(dǎo)體的電容定義為：C

=

Q如：半徑為R，帶電量為Q的球形導(dǎo)體的電容為：U0C

=

Q

=

4πε

R孤立導(dǎo)體的電容與Q、U無(wú)關(guān)，只決定于導(dǎo)體本身性質(zhì)（形狀、大小等）和周圍情況。單位：法拉U

1V1F

=

1C2、電容器的電容：帶等量異號(hào)電荷的兩個(gè)導(dǎo)體（極板）組成的系統(tǒng)稱為電容器。電容器的電容：C

=

QUA

-UB當(dāng)兩極板之一移到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，C=Q/U即為孤立導(dǎo)體的電容。C取決于電容器的結(jié)構(gòu)及周圍電介質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)。(1)

平行板電容器：ABS+Q?Qd

E當(dāng)兩極板間的距離遠(yuǎn)小于極板的線度時(shí)，極板間電場(chǎng)可近似看作勻強(qiáng)電場(chǎng)。ε

S0A

BU

-U

=

E

d

=

Q

d所以：dBAQ

=

ε0

SU

-UC

=平(2)

球形電容器：球形電容器的兩極板由球形導(dǎo)體A和同心球殼B組成。Q

dr

Q

1

1B0

ARr

20BRA-

R

)=

4πε

(

RUA

-

UB

=

4πε所以：CBAQ

=

4πε0

RA

RBU

-U (

RB

-

RA

)=球BRAARB?Q+Q=

Q(

RB

-

RA

)4πε0

RA

RB若d=RB

-RA

<<RA、RB，則：dd4πε

R2

ε

SC

?

0

=

0 RRln

B

2πε0

r 2πε0

l

RAλ

dr

Q(3)

圓柱形電容器：當(dāng)l>>RB?RA

時(shí)：RBA=UA

-

UB

=

所以：A

BRln

B

CU

-U=

Q

=

2πε0

l柱RA若d=RB

-RA

<<RA、RB，則：dd=

ε0

SC

?

2πε0

l

RARARB-Q

+QlB

Aln

RB

=

ln(

1

+

d

)

?

d

RA

RA

RA

3、電容器的串聯(lián)和并聯(lián)：得：U

C1

C2q1

q2U1

U2Cn...

qnUnq

CU(1)

串聯(lián)：

q1

=

q2

=

=

qn

=

qU1

+

U2

+

+

Un

=

U1

=

U

=

1

+

1

+

+

1C

q

C1

C2

Cnn1

211

1:

:

:

C

CU1

:

U2

:

:

Un

=

C兩個(gè)電容器串聯(lián)時(shí)：U21C1C1

+

C2U

,

U

=,

U

=C1C2

C2C1

+

C2

C1

+

C2C

=電容器串聯(lián)時(shí)，等值電容變小，但耐壓增大。得：(2)

并聯(lián)：U1

=

U2

=

=

Un

=

Uq1

+

q2

+

+

qn

=

qn1

2UC

=

q

=

C

+

C

+

+

Cn2:

:

Cq1

:

q2

:

:

qn

=

C1

:

C兩個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)：2q,

q

=

qC1

C2C1

+

C2

C1

+

C2C

=

C1

+

C2

, q1

=U

C1

C2

...

Cnq1

q2

qnq

CU電容器并聯(lián)時(shí)，等值電容變大，耐壓與耐壓值 最小的電容器相等。C1C2U1U2UA

B例10-3例10-3：A、B兩電容器參數(shù)分別為200pF/500V，300pF/900V，將它們串聯(lián)。求：(1)等值電容C;(2)加上1000V電壓時(shí)，是否會(huì)被擊穿？(3)此電容器組的最大耐壓值。(1)等值電容：C1C2=

120

pFC1

+

C2C

=(2)

UC21C

+

C21

2

1C12U

=

400VC

+

C=

U

=

600V

,

U

=擊穿！(3)取U1

=U1max

=500

V

，此時(shí)：C22

1maxU

=

C1

U

=

333VUmax=

U1max

+

U2=

833V\§10-3靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)1、電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響：，空氣平行板電容器的電容為C0極板充電至Q，極板間電勢(shì)差為U0

。C0+Q?Qd

E0U0CUd+Q?Q

E插入介質(zhì)板（充滿）后，保持極板上電量不變，極板間電勢(shì)差為U

。UU0r0>

1則：

U

<

U

,

即：

ε

=εr

：相對(duì)介電常數(shù)（相對(duì)電容率），為無(wú)量綱純數(shù)。C0+Q?Qd

E0U0CUd+Q?Q

EU0rU

>

1ε

=可見：當(dāng)空氣（真空）電容器極板間充滿電介質(zhì)后，極板間電場(chǎng)強(qiáng)度減小、電勢(shì)差下降、電容增大。E

=

Ud

=

U0

d

=

E0

εr

εrr

00rQ ε

QU

U=

=

ε

CC

=2、電介質(zhì)的極化：(1)

無(wú)極分子的位移極化：無(wú)極分子：無(wú)外電場(chǎng)時(shí)，分子正、負(fù)電荷中心重合。在外電場(chǎng)作用下，分子正、負(fù)電荷中心產(chǎn)生位移，形成取向外電場(chǎng)方向的分子電矩，使介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷（束縛電荷）。極化電荷產(chǎn)生的附加場(chǎng)方向與外電場(chǎng)方向相反。E

=

E0

+

E'

, E

=

E0

-

E'

<

E0

E0=0E0E0(2)

有極分子的取向極化：有極分子：無(wú)外電場(chǎng)時(shí)，分子正、負(fù)電荷中心不重合。在外電場(chǎng)作用下，分子電矩受外電場(chǎng)力矩作用而取向外電場(chǎng)方向，使介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷（束縛電荷）。附加電場(chǎng)方向仍與外電場(chǎng)方向相反。E

=

E0

+

E'

, E

=

E0

-

E'

<

E0

E0E0取向極化只發(fā)生在有極分子電介質(zhì)中，而位移極化則發(fā)生在任何電介質(zhì)中。通常，取向極化效應(yīng)>>位移極化效應(yīng)，在有極分子電介質(zhì)中，可不計(jì)位移極化。但在高頻電場(chǎng)作用下，位移極化效應(yīng)可大于取向極化效應(yīng)。兩種極化產(chǎn)生的宏觀效果完全相同，在實(shí)際問(wèn)題中，常不加以區(qū)別。電介質(zhì)的極化3、有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理：+Q?Q'+Q'?Q

ES以平行板電容器為例：取圖示高斯面S，則：ε10(

Q

-

Q'

)

S

E dS

=0

rr00σε ε

εE=

E

=

E

-

E'

=σS

Q ε

ε

=

ε

ε0

r

0

r\

E dS

=

ES

=即：

ε0

εrE dS

=

QQ：自由電荷

Q'：束縛電荷

ε0

εrE dS

=

Q

定義：電位移矢量

D

=

ε0

εr

Em

2單位：C有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理：

D dS

=

QQ：自由電荷引入電位移矢量的好處是無(wú)須知道束縛電荷的分布也可以求電場(chǎng)；電位移矢量是一個(gè)輔助矢量，電場(chǎng)的基本性質(zhì)任由電場(chǎng)強(qiáng)度矢量描述。例1例0-510-5：一平行板電容器：S

=100cm2, d=1.0cm，充電到極板間電壓U0=100V，將電源斷開后插入厚b=0.5cm，

εr=7的電介質(zhì)板，求：(1)電容器內(nèi)空隙間和電介質(zhì)板中的場(chǎng)強(qiáng)；(2)插入介質(zhì)板后，極板間的電勢(shì)差；(3)插入介質(zhì)板后的電容?？諝馄叫邪咫娙萜鳎篸0C

=

ε0

S

=

8.85

pFQ

=

C

U

=

8.85

·

10

-10

C0

0

0(1)空隙間：取高斯面A1Q0A1

D dS

=

DS

=

Q0

D

=

S

mε

ε

S000E

=

D

=

Q0

=

1.0

·104

V?Q0S

+Q0

dAb1

E0

D

E

D電介質(zhì)板內(nèi)：取高斯面A2S0AD dS

=

DS

=

Q

D

=

Q0

mε0

εr

ε0

εr

S

εr=

0.14

·104

VD

Q0

=

E0=E

=2（與空隙內(nèi)相同！）(2)

極板間電勢(shì)差：U

=

E0

(

d

-

b

)

+

Eb

=

57V插入電介質(zhì)板后，電勢(shì)差下降。b+Q0?Q0E0S

dE

A2D

D(3)插入電介質(zhì)板后的電容：

按定義：UQ0=

15.5

pFC

=

看作兩個(gè)電容器的串聯(lián)：介質(zhì)板位置不影響電容的大小。ε0

S ε0

εr

SC1C2

ε0

εr

S=

15.5

pF=ε0

S

+

ε0

εr

Sd-

b

bd

-

b

bC1

+

C2

εrd

+

b(

1

-

εr

)C

=

=Sbd討論：

若電介質(zhì)充滿電容器內(nèi)部：U

=

Ed

=

14V20U

=

E

d

=

50VU

若插入厚度為d/2的金屬板：QC

=

0

=

62

pFUC

=

Q0

=

17.7

pF或：C

=

εr

C

=

62

pF§10-4電場(chǎng)的能量電荷之間存在電場(chǎng)力的相互作用。因此，使物體帶電的過(guò)程（電場(chǎng)的建立過(guò)程）是外力克服電場(chǎng)力作功的過(guò)程。由能量守恒與轉(zhuǎn)化定律：外力克服電場(chǎng)力所作的功=帶電系統(tǒng)的靜電能。（如：電容器的充電過(guò)程）反過(guò)來(lái)，帶電系統(tǒng)的靜電能也可以轉(zhuǎn)化為其它形式的能量。（如：閃光燈內(nèi)電容器的放電過(guò)程將電能轉(zhuǎn)化為光的能量）1、電容器的儲(chǔ)能公式：電容器的充電過(guò)程中，電源克服電場(chǎng)力作功將其它形式的能量（如：化學(xué)能）轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能量。t

時(shí)刻，極板上電量為q，極板間電勢(shì)差為u，電量dq由負(fù)極板移至正極板過(guò)程中電源作功為：dA

=

udq

=

q

dqC充電至Q時(shí)，電容器內(nèi)電場(chǎng)的能量為：CU

212C1

QQU

=Q

2

12C

=

2W

=

qdq

=0稱為電容器的儲(chǔ)能公式。ε+q?quE

例10-6例10-6：電容器C =8μF,充電到1

0U

=120V，移去電源，將C1與C2

=4μF并聯(lián)。求：(1)電容器組的電壓；(2)接通開關(guān)前后系統(tǒng)的能量。C11=

80V=

Q1\

U

=

UC1SC2(1) C1與C2并聯(lián)后：C1充電后的電量：Q0

=

C1U0

=

960

μC021C11Q

=

640

μCC

+

CQ

=(2)

開關(guān)接通前C1的能量：C

U1221

00-2=

5.76

·10

JW

=開關(guān)接通后系統(tǒng)的能量：122211-2=

3.84

·10

J(

C

+

C

)UW

=系統(tǒng)損失能量：-2ΔW

=

W0

-W1

=

1.92

·

10

J損失的能量部分被導(dǎo)線電阻所消耗，部分以電磁波的形式被輻射出去。2、電場(chǎng)的能量和能量密度：ε

ε

E (

Sd

)122d2

d1 1

ε

ε

S ε

ε

S220

r20