曲面的面積重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引力市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

曲面面積重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引力§1重積分應(yīng)用10/10/1第1頁(yè)第1頁(yè)求由方程所擬定曲面S面積對(duì)區(qū)域D作分割T,一、曲面和面積10/10/2第2頁(yè)第2頁(yè)曲面面積計(jì)算公式先計(jì)算Ai面積.10/10/3第3頁(yè)第3頁(yè)因此若曲面方程為則該曲面面積S為10/10/4第4頁(yè)第4頁(yè)闡明:

則曲面面積S：假如曲面方程為假如曲面方程為則有公式：10/10/5第5頁(yè)第5頁(yè)例1求圓錐在圓柱體內(nèi)那一部分面積.解所求面積曲面方程為因此10/10/6第6頁(yè)第6頁(yè)例.計(jì)算雙曲拋物面

被柱面所截

解:曲面在xoy面上投影為則出面積A.10/10/7第7頁(yè)第7頁(yè)設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),由力學(xué)知,分別位于其質(zhì)量分別為該質(zhì)點(diǎn)組重心坐標(biāo)為二、重心10/10/8第8頁(yè)第8頁(yè)設(shè)空間物體V,有連續(xù)密度函數(shù)采用“分割,近似代替,求和,取極限”可導(dǎo)出其重心坐標(biāo)公式.求V重心坐標(biāo).將V

分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)重心坐標(biāo).比如,此質(zhì)點(diǎn)組重心坐標(biāo)就近似該物體質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量為在第i塊上任取一點(diǎn)10/10/9第9頁(yè)第9頁(yè)令各小區(qū)域最大直徑即得其中m為物體V質(zhì)量，同理可得

10/10/10第10頁(yè)第10頁(yè)則其中V表示區(qū)域V體積10/10/11第11頁(yè)第11頁(yè)若物體為占有xoy面上區(qū)域D平面薄片,(SD為D面積)則則它重心坐標(biāo)為其面密度為

10/10/12第12頁(yè)第12頁(yè)例.求位于兩圓

和之間均勻薄片重心.解:

利用對(duì)稱(chēng)性可知而10/10/13第13頁(yè)第13頁(yè)質(zhì)點(diǎn)A對(duì)于軸l轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J

慣量可用積分計(jì)算.質(zhì)點(diǎn)組轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)和A與轉(zhuǎn)動(dòng)軸l距離r平方乘積,即

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體轉(zhuǎn)動(dòng)等于A質(zhì)量m

10/10/14第14頁(yè)第14頁(yè)設(shè)在該物體位于(x,y,z)處取一微元，因此該物體對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其體積記為dV，質(zhì)量為

到z軸距離為從而為空間物體V密度函數(shù)，求V對(duì)

z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.10/10/15第15頁(yè)第15頁(yè)類(lèi)似可得:對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量普通說(shuō)來(lái)，若V中點(diǎn)(x,y,z)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸l距離為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10/10/16第16頁(yè)第16頁(yè)對(duì)坐標(biāo)平面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為對(duì)xy平面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)yz平面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)xz平面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10/10/17第17頁(yè)第17頁(yè)假如物體D是平面薄片,

面密度為

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示式是二重積分.普通說(shuō)來(lái)，若D中點(diǎn)(x,y)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸l距離為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10/10/18第18頁(yè)第18頁(yè)例4求密度均勻圓環(huán)D對(duì)于垂直于圓環(huán)面中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解設(shè)圓環(huán)D為密度為ρ，則D中任一點(diǎn)(x,y)與轉(zhuǎn)軸距離為于是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10/10/19第19頁(yè)第19頁(yè)例.求半徑為a均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)薄片密度為ρ，則10/10/20第20頁(yè)第20頁(yè)例6.設(shè)某球體密度與球心距離成正比，

求它對(duì)于切平面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)球體為密度為

k為百分比常數(shù).切平面方程為z=R,則球體對(duì)于該切平面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10/10/21第21頁(yè)第21頁(yè)求密度為物體V對(duì)物體外質(zhì)量為1單位質(zhì)點(diǎn)A引力在該物體位于(x,y,z)處取一微元，其體積記為dV，質(zhì)量為

對(duì)質(zhì)點(diǎn)A引力為設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為四、引力10/10/22第22頁(yè)第22頁(yè)該引力在坐標(biāo)軸上投影為其中k為引力常數(shù)，于是所求力在坐標(biāo)軸上投影分別為10/10/23第23頁(yè)第23頁(yè)因此10/10/24第24頁(yè)