交通問題中的數(shù)學(xué)模型的分類與研究

學(xué)校代碼：學(xué)生學(xué)號：052094110白城師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）交通問題中的數(shù)學(xué)模型的分類與研究Classificationandmathematicalmodelofthetrafficproblemsinthe姓名：劉榮鶴指導(dǎo)教師：李春沅教授學(xué)科專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)所在單位：數(shù)學(xué)學(xué)院2013年6月1414目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要：1關(guān)鍵詞：1引言1一、交通問題中數(shù)學(xué)模型的分類11、數(shù)學(xué)微分模型11.1交通流的基本函數(shù)：11.2間斷交通流31.3應(yīng)用范圍41.4模型優(yōu)缺點(diǎn)42、動力學(xué)模型42.1交通流的流體力學(xué)模型42.2交通流的氣體動力論模型52.3元胞自動機(jī)模型6二、基于元胞自動機(jī)理論模型及其模擬研究81、交通流元胞自動機(jī)模型概述81.1一維交通流元胞自動機(jī)模型81.2FI模型92、交通流元胞自動機(jī)模擬82.1元胞參數(shù)定義102.2元胞自動機(jī)規(guī)則112.4結(jié)果分析122.5結(jié)論1314三、小結(jié)????14四、參考文獻(xiàn)#交通問題中的數(shù)學(xué)模型的分類與研究摘要：本課題對以往交通問題中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類總結(jié)，然后著重分析每種方法比如動力學(xué)模型等模型的使用范圍以及相應(yīng)的缺陷，并且在各種方法總結(jié)比較中，挑選動力學(xué)模型中元胞自動機(jī)模型進(jìn)行使用，把車輛在路段上運(yùn)動的變化規(guī)律表述為元胞自動機(jī)的演變規(guī)則，建立基于元胞自動機(jī)理論的交通流模擬模型。標(biāo)定了元胞長度和最大速度等參數(shù)，繼而提出反映車輛在路段上自由行駛、跟馳行駛和減速行駛等交通行為的元胞自動機(jī)規(guī)則。關(guān)鍵詞：交通流數(shù)學(xué)模型分類元胞自動機(jī)引言：隨著我國改革開放的不斷深入，城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步繁榮，城市規(guī)模的日益擴(kuò)大，城市交通中的各種機(jī)動車輛和非機(jī)動車輛數(shù)量迅速增加，從而使城市道路更為擁擠和難以管理，交通堵塞和擁擠嚴(yán)重、城市公共交通發(fā)展較慢，公交工具數(shù)量不足，結(jié)構(gòu)單一，運(yùn)營效率和效益低、交通管理設(shè)施、技術(shù)差，從而導(dǎo)致交通問題屢見不鮮。因此，研究城市交通問題能幫助我們深入分析城市交通系統(tǒng)中交通需求與交通供給之間的內(nèi)在作用規(guī)律，探究新的解決途徑，為城市交通的良好運(yùn)作與人們安全出行提供必要的理論保證。一、交通問題中數(shù)學(xué)模型的分類1、數(shù)學(xué)微分模型微分模型也是研究交通問題的一類重要方法，它以微積分學(xué)為基礎(chǔ)，把車輛看成連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)，建立連續(xù)的交通流模型。下面以紅綠燈下的交通流模型為例介紹數(shù)學(xué)微分模型。各種類型的汽車一輛接著一輛沿著公路飛馳而過，其情景就像湍急的河流中奔騰的流水一樣。在這種情況下，很難分析每輛汽車的運(yùn)動規(guī)律，而是把車輛對看作連續(xù)的流體，稱為交通流。研究每一時刻通過公路上每一點(diǎn)的交通流的流量、速度和密度等變量間的關(guān)系。交通流的基本函數(shù)：研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流。假定不允許超車，公路上也沒

有岔道，即汽車不會從其他通道進(jìn)入或駛出。在公路上選定一個坐標(biāo)原點(diǎn)，記作x=0。以車流運(yùn)動方向作為x軸的正向，于是公路上任一點(diǎn)用坐標(biāo)x表示。對于每一時刻t和每一點(diǎn)x，引入3個基本函數(shù)：流量q(x,t)?時刻t單位時間內(nèi)通過點(diǎn)x的車輛數(shù)；密度p(x,t)?時刻t點(diǎn)x處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)；速度u(x,t)?時刻t通過點(diǎn)x的車流速度。將交通流視為一維流體場，這些函數(shù)可以類比作流體的流量、密度和速度。這里的速度u=(x,t)不表示固定的哪一輛汽車的速度。3個基本函數(shù)之間存在著密切關(guān)系。首先可以知道，單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)等于單位長度內(nèi)的車輛數(shù)與車流速度的乘積，即q(x,t)=u(x,t)p(x,t)(1)其次，車流速度u=(x,t)總是隨著車流密度p(x,t)的增加而減小的。當(dāng)一輛汽車前面沒有車輛時，它將以最大速度行駛，可以描述為p=0時u=um(最大值)；當(dāng)車隊(duì)首尾相接造成堵塞時，車輛無法前進(jìn)，可記為P=Pm(最大值)時u=0。如果簡化假設(shè)u是P的線性函數(shù)，則有：2)=um(1—)2)pm再由q(x,t)=u(x,t)p(x,t)可得:pq=ump(1—)(3)pm表明流量隨車輛密度的增加先增后減，在p*=pm2處達(dá)到最大值q。流量q與密度p的關(guān)系流量q與密度p的關(guān)系其中(2)，(3)式是在平衡狀態(tài)下p，u和q之間的關(guān)系，即假定所有車輛的速度相同，公路上各處的車流密度相同。間斷交通流方程當(dāng)密度函數(shù)P(x,t)出現(xiàn)間斷時，是具有實(shí)際意義的也是常見的一種情況。一連串的間斷點(diǎn)(x,t)在Oxt平面上構(gòu)成一條孤立的、連續(xù)的間斷線，記作x二x(t)并假定它是可s微的。在任意時刻t，x—x(t)在x軸上是孤立的，取區(qū)間［a,b］，使a<x(t)<b。在［a,b］ss內(nèi)交通流方程的積分形式(4)仍然成立。將［a,b］分為兩個區(qū)間「a,x(t))和(x(t),b，ss在每個區(qū)間內(nèi)P(x,t)是連續(xù)、可微的，于是有：q(a,t)-q(b,t)—_Jxs⑴p(x,t)dx+Jbpq(a,t)-q(b,t)—_axs(t)—Jxs⑴—dx+p(x-(t),t)dx^+Jb—dx-p(x+(t),t)dx^a—tsdtx(t)—tsdts其中x-(t)和x+(t)分別表大于示從小于和x(t)一側(cè)趨向x(t)時的極限值。在這種趨ssss向下p(x,t)和q(x,t)的極限值記作：p--p(x-(t),t),p+-pC+(t),t)q--qC-(t),t),q+-qC+(t),t)ssp和q在間斷點(diǎn)x處的跳越值記作s[p]—p+-p-,[q]—q+-q-如圖所示：當(dāng)aTx-(t),當(dāng)aTx-(t),bTx+(t)日寸ss(11)式中的Jxs⑴a色dx=0。利用(12)，(13)(t)倉式的記號立即得到［q］-［p吟這就是間斷線x—x(t)應(yīng)滿足的方程sxp(x,t)在p(x,t)在x(t)處間斷s應(yīng)用范圍：該模型適用于研究一維單車道交通流，即研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流，并且前提條件是不允許超車，公路上沒有岔道，汽車不會從其他通道進(jìn)入或駛出。模型優(yōu)缺點(diǎn)：該模型按照守恒關(guān)系建立微分交通流模型，利用特征線求解，能夠合理的解釋很多交通流中出現(xiàn)的現(xiàn)象。同時，該模型利用間斷線的研究方法，能夠很好的研究解決紅綠燈信號以及類似于紅綠燈信號模型出現(xiàn)的情況。2、動力學(xué)模型動力學(xué)模型是研究現(xiàn)代交通問題的主要方法之一，它主要是以元胞自動機(jī)(CA)為動態(tài)模型，建立一種適合普遍的交通問題的數(shù)學(xué)建模方法。交通問題中的研究對象如車輛和人都是不連續(xù)的，車流運(yùn)動也有很大的隨機(jī)性和不確定性，用非線性的離散模型來刻劃交通現(xiàn)象，這在交通研究的方法上是一個創(chuàng)新。模擬的基本思想是將路面格子化，每個格子視為有獨(dú)立思維的小元胞，若干個小元胞對應(yīng)一輛或幾輛小汽車，把車輛在路面上的運(yùn)動看成是格子場的演變，元胞可以像小汽車一樣通過觀察周圍環(huán)境的變化來決定下一步的運(yùn)動狀態(tài)，凡車輛應(yīng)遵守的交通規(guī)則都表述為元胞的演變規(guī)則，車輛行駛的加速、減速、慣性、跟馳等均可以通過元胞的速度變化規(guī)則來詳細(xì)刻劃，從而把交通流的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為元胞的演變規(guī)則加以研究。交通流的流體力學(xué)模型交通流的流體力學(xué)模型將交通流視為由大量車輛組成的可壓縮連續(xù)流體介質(zhì)，力圖以車輛的平均密度(x,t),平均速度v(x,t),交通流量q(x,t)等宏觀量來刻畫車輛的平均合作行為。流體力學(xué)模型在推動交通流理論的發(fā)展過程匯總，起著非常重要的作用，其中重要的模型有LWR模型、Payne模型等。LWR模型描述了“交通激波”現(xiàn)象，也就是交通過程只能給形成的車輛密度的不連續(xù)性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散過程。但是，LWR模型假設(shè)了速度、密度之間始終滿則平衡關(guān)系，因此該模型不適用于描述本質(zhì)上處于非平衡態(tài)的交通現(xiàn)象，例如存在車輛上下、下砸到的交通，時停時走的“幽靈式”交通阻塞，交通遲滯等。延續(xù)LWR模型的思想，并考慮交通流速度動態(tài)變化，在引用連續(xù)性方程的同時，引進(jìn)動力學(xué)方程，Payne建立了如下兩個方程構(gòu)成的高階連續(xù)模型一Payne模型：

1)2)P+(up)二01)2)u+uu―txu+uu―txvp+—[v(p)—u]xT式的右邊第一項(xiàng)為期望項(xiàng)，v為期望指數(shù)，反映駕駛員對前方交通狀態(tài)改變的反應(yīng)過程；第二項(xiàng)式馳豫項(xiàng)，描述車輛速度在弛豫時間T內(nèi)向平衡速度的調(diào)整；最優(yōu)速度函數(shù)V(p)和其他參數(shù)一般通過對所考察的道路實(shí)測和參數(shù)辨識來確定。模型優(yōu)缺點(diǎn)：Payne模型允許速度偏離平衡速度密度關(guān)系，較之LWR模型能更準(zhǔn)確地描述實(shí)際車流，即可描述諸如交通激波形成以及阻塞消散，又能夠分析任意小擾動引起的交通失穩(wěn)、交通遲滯、時停時走的交通形成現(xiàn)象等等。交通流的氣體動力論模型著名的物理學(xué)家Prigogine和著名的交通流專家Herman在研究交通流時認(rèn)為不能忽略車輛的個體行為對交通流的影響，個體行為不同會帶來不同的集體運(yùn)動行為。如果把每一輛車用一個粒子來表示，那么交通流就被視為由許多相互作用的粒子構(gòu)成的氣體。借鑒于氣體運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)物理描述辦法，引入粒子分布函數(shù)，建立類似的Boltzmann方程。通過對Boltzmann方程逐級求解，就可以得到宏觀交通流的連續(xù)模型。最初的Prigogine-Herman模型得到的很多交通性質(zhì)與實(shí)測結(jié)果不相吻合，因此，在此模型的基礎(chǔ)上，先后提出了許多改進(jìn)模型，其中Helbing模型最為成功。Helbing在考慮了車輛的加速和相互作用機(jī)制后，將描述車輛運(yùn)動狀態(tài)的粒子分布函數(shù)f所遵守的Boltzmann方程改寫為dw(v—w)d(v,w)]2卑二響-呂(/1)+丁+(1-P')X'P(r,t)x[fdw(w—v)d(w,v)—fotdw(v—w)d(v,w)]2w>vww>v其中v，w是兩輛車輛的速度，v是車輛的期望速度，D為擴(kuò)散函數(shù)，P'為超車概0率，x'是與密度P有關(guān)的因子。d是車輛之間的作用函數(shù)。通過對上式方程求矩得到:2+V=—-0P+-[V(P)—V]otoxpoxTe其中，P是交通壓力，定義為:P(x,t)=V(x,t)0(x,,t)0(x,,t)是速度方差，V(p)是車輛在馳騁時間t內(nèi)趨近的動態(tài)平衡速度。與其他模型相e比,Helbing模型動態(tài)平衡速度V(p)與安全距離之間相互點(diǎn)的密度和速度有關(guān)，表示為：e(0+0pT)V=V(p)1—-—)2B(8)e0LtA(p)1-p/pv丿maxamax模型優(yōu)缺點(diǎn)：Helbing模型的數(shù)值模擬表明該模型能夠描述由匝道引起的各種交通狀態(tài)和交通相變，不僅能準(zhǔn)確地解釋“幽靈式的交通阻塞”，而且還能解釋時停時走交通引起的堆集形成以及同步交通等非線性動態(tài)現(xiàn)象。模型應(yīng)用：以Helbing模型為基礎(chǔ)研制的交通軟件包MAS-TER具有計(jì)算速度快、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)，可以實(shí)時仿真幾千里長的高速公路交通。2.3元胞自動機(jī)模型傳統(tǒng)的交通流模型如流體力學(xué)模型、氣體動力學(xué)模型、跟馳模型等在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮了重要作用。然而由于交通流在時間、空間上具有高度的隨機(jī)性、動態(tài)性和復(fù)雜性，交通系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的非線性特征。實(shí)證研究表明，交通流存在三相：自由流(freeflow)、大范圍移動阻塞(widemovingjams)和同步流(synchronizedflow)，還有一些“異?！爆F(xiàn)象，如亞穩(wěn)態(tài)(meta-stablestates)、滯回效應(yīng)(hysteresiseffect)、排隊(duì)消散(platoondispersion)等，傳統(tǒng)模型對此難以解釋。另一方面，真實(shí)交通系統(tǒng)一般路網(wǎng)規(guī)模巨大，道路使用者眾多，傳統(tǒng)的微觀仿真方法面臨著計(jì)算資源約束，要求有結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算迅速的交通流模型。目前基于元胞自動機(jī)(CellularAutomata，CA)的交通流模型取得了很大進(jìn)展。CA是研究系統(tǒng)復(fù)雜性的重要工具，在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，Cremer等最早用CA思想對交通流進(jìn)行了研究。雖然CA模型微觀上的規(guī)則簡單、不太真實(shí)，但從統(tǒng)計(jì)物理的角度看，可以再現(xiàn)系統(tǒng)的宏觀特性，一般其看作“最小化”的系統(tǒng)，用來揭示系統(tǒng)的本質(zhì)規(guī)律。另外，CA時間、空間、狀態(tài)變量均離散，元胞狀態(tài)并行局部更新，適合計(jì)算機(jī)模擬，能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模路網(wǎng)的快速計(jì)算。交通流元胞自動機(jī)模型的出現(xiàn)和發(fā)展為交通流理論研究提供了一種新的方向。交通流元胞自動機(jī)((CellularAutomata，簡稱CA)是一時間和空間都離散的動力系統(tǒng)。散布在規(guī)則格網(wǎng)中的每一元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循同樣的作用規(guī)則，依據(jù)確定的局部規(guī)則作同步更新。元胞自動機(jī)定義元胞自動機(jī)的嚴(yán)格定義為：A、規(guī)整的元胞網(wǎng)格覆蓋d維空間的一部分；B、歸屬于網(wǎng)格的每個格位r的一組布爾變量。①(r,t)={O(r,t),①(r,t),l…①(r,t)}TOC\o"1-5"\h\z12m給出每個元胞在時間t二0丄2,…的局部狀態(tài)；C演化規(guī)則R={R,R,…R}按下列方式指定狀態(tài)①(r,t)的時間演化過程：12m①(r,t+1)=R［①(r,t)@(r+8,t)@(r+8,t)…①(r+8,t)］，式中r+8指定從屬于元胞rjji2kk的給定鄰居元胞。從定義中可知，演化規(guī)則R對所有格位都是同一的，且同時應(yīng)用于他們中的每個元胞，由此得到同步動力學(xué)。同時，時間的狀t+1態(tài)只隨時間t的狀態(tài)而變化，這就要求對狀態(tài)進(jìn)行長期記憶，并引入對時間t-1,t-2,…t-k等的狀態(tài)的相依性。元胞的鄰居在元胞自動機(jī)中，每個元胞下一時刻的狀態(tài)都取決于其本身的狀態(tài)和元胞鄰居的狀態(tài)。在網(wǎng)格上，每個元胞的鄰居的大小是一樣的。最簡單的情況即一維網(wǎng)格，鄰居由元胞本身加上它的臨近元胞構(gòu)成；在二維網(wǎng)格中，有幾種可能性：除元胞本身外，東、南、西、北四個近鄰元胞，或是上面的五個元胞和東北、東南、西南、西北四個對角線元胞(Mare鄰居)。推算可知，當(dāng)元胞空間維數(shù)增加時，一個元胞的直接鄰居數(shù)目是成指數(shù)增長，描述了兩種鄰居的例子：鄰居21鄰居1鄰居2鄰居3鄰居1元胞鄰居3鄰居4元胞鄰居5鄰居4L鄰居6鄰居7鄰居8兩種常見的二維元胞自動機(jī)鄰居邊界條件可以想見，一個無限網(wǎng)格的系統(tǒng)的演化是不可能進(jìn)行模擬處理的。也就是說，元胞自動機(jī)系統(tǒng)必須是有限的，有邊界的。目前常用的邊界是由擴(kuò)展鄰居的方法獲得的，有四種情況如下：「1b11aI1a周期邊界固定邊界

絕熱邊界映射邊界絕熱邊界映射邊界4)規(guī)則每個元寶在確定的時間t有兩種可能的狀態(tài)，即S二0或1(i代表元胞)，則時間t+1i的狀態(tài)s只決定于時間t的三元組(S,S,S):S(t+1)二①(S(t),S(t),S)(t))。由此ii—1ii+1ii-1ii+1三元組合可以計(jì)算出元胞自動機(jī)規(guī)則R由256種。二、基于元胞自動機(jī)理論模型及其模擬研究1、交通流元胞自動機(jī)模型概述隨著我國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，私家車和城市汽車保有量迅猛增長，城市交通擁堵現(xiàn)象日益嚴(yán)重，從而引起了人們的極大關(guān)注。如何描述城市交通的規(guī)律，充分利用交通資源，以科學(xué)理論指導(dǎo)交通系統(tǒng)的發(fā)展和改善，己迫在眉睫。在交通工程領(lǐng)域，描述交通特性的方法主要有概率論方法、交通流體動力學(xué)、車輛跟馳理論和元胞自動機(jī)模型等。交通流元胞自動機(jī)模型是20世紀(jì)90年代發(fā)展起來的交通流新動力學(xué)方法。交通流元胞自動機(jī)由元胞、元胞的狀態(tài)空間、鄰居及局部規(guī)則四部分組成元胞和元胞空間元胞又可稱為基元，是元胞自動機(jī)的最基本的組成部分，分布在離散的一維或二維空間的格點(diǎn)上；狀態(tài)取值于一個有限的離散集，交通流元胞自動機(jī)的元胞只能有一個狀態(tài)變量鄰居在給出規(guī)則之前，必須定義一定的鄰居規(guī)則，明確哪些元胞屬于該元胞的鄰居；規(guī)則根據(jù)元胞當(dāng)前狀態(tài)以及鄰居狀況確定下一時刻該元胞狀態(tài)的函數(shù)，也稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。交通流元胞自動機(jī)是由分布在規(guī)則網(wǎng)格中的每一個元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循確定的規(guī)則做出同步更新，即大量元胞通過簡單的局部相互作用而構(gòu)成的動力系統(tǒng)。

不同于一般的動力學(xué)模型，交通流元胞自動機(jī)不是由嚴(yán)格的物理方程確定，而是通過構(gòu)造一系列模型的規(guī)則來實(shí)現(xiàn)的，這恰恰增強(qiáng)了其表達(dá)復(fù)雜關(guān)系的能力，為其在復(fù)雜的交通流領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。1.1一維交通流元胞自動機(jī)模型最早的一維交通流元胞自動機(jī)模型采用一維格點(diǎn)鏈上的粒子來模擬公路上的車輛。所有的車輛的行進(jìn)方向都相同。在每一個時步，若某車前方是空的，則它可以向前行進(jìn)一步。否則它就在原地不動，即使前方的車輛在此時步中離開。整個系統(tǒng)采用周期邊界條件以保持車輛數(shù)守恒。圖3-3為兩次時步演化圖。184模型兩次時步演示圖184模型兩次時步演示圖一維交通流元胞自動機(jī)模型忽略了十字路口，交通燈和交叉口方向上車輛的影響，強(qiáng)調(diào)了同一路段上同方向車輛的相互作用。這種模型適合與模擬高速公路或城市交通環(huán)線上的交通流。常用的一維元胞自動機(jī)模型為NS和FI模型及其以兩種模型為基礎(chǔ)的改進(jìn)模型。1.12FI模型FI模型是由日本學(xué)者Fukui和Ishibashi提出的。在FI模型中，演化規(guī)則：如果車輛與前車的間距gap大于車輛的最大速度v，車輛將以最大速度v前進(jìn);maxmax即gap>v時，v=v；maxmax如果車輛與前車的間距gap小于車輛的最大速度，則車輛的前進(jìn)速度等于gap。即gap<v時，v=gap；maxTOC\o"1-5"\h\z根據(jù)隨機(jī)減速規(guī)則，v(t)表示第i輛車的行駛速度，當(dāng)車輛能夠以最大速度v前imax進(jìn)時，它將以概率p從v減速為v-1。即v=v時，v=v-1。maxmaxmaxmaxv(t+1)=max{o,v(t)}；iivv(t+1)=max{o,v(t)}；iiimaxv(t)<vimax模型優(yōu)缺點(diǎn)：FI模型與NS模型的區(qū)別在于加速方式和隨機(jī)減速方式不同。在NS模型中，如果車速v小于最大速度v，車輛在下一時刻的速度最多只能達(dá)到v+1;而max在FI模型中，只要車速v小于最大速度v，則車輛就可能加速到v（考慮隨機(jī)規(guī)則）；maxmax在NS模型中，所有車輛都可能隨機(jī)減速，而在FI模型中，只有以最大速度行駛的車輛才能減速。2、交通流元胞自動機(jī)模擬2.1元胞參數(shù)定義2.11元胞長度在CA模型中，首先定義一個一維點(diǎn)陣來代表一條單車道，即將所研究的單車道分成n個長度為L的小路段（元胞），該點(diǎn)陣中每個位置或空閑或容納一輛車。其中，定義元胞長度L是阻塞時的平均車頭間距。。更新的時間步長一般可以認(rèn)為是駕駛員的反應(yīng)時間，一般取1s。這樣在CA模型中，位移、速度、時間都取整數(shù)，具有離散性。每個位置的狀態(tài)有7種，分別是：位置空閑和該位置處車輛速度分別為0，1，2，3，4，5元胞長度/秒。這樣定義的元胞長度的不足是：由于元胞長度取值偏大，導(dǎo)致車輛運(yùn)動的加速度過大，這樣，車輛在加速時總是以最大加速度加速，而在減速時，又以最大減速度減速。通過縮小元胞長度能夠獲得較小的加速度值。考慮到城市道路上車輛阻塞密度一般為120…125pcu/km，將元胞長度取為平均車頭間距的1/4（若k=125pcu/km，則平均車j頭間距為8m），對城市道路來說一個元胞長度即為2m。于是路段上每4個連續(xù)的元胞容納一輛車，在某一時刻t，這4個連續(xù)的元胞具有相同的狀態(tài)，即所容納車輛的速度相同。最大速度本模型中的最大速度并不是指車輛所能達(dá)到的最大設(shè)計(jì)車速。在城市道路上，出于安全考慮，都規(guī)定了車輛的最大行駛速度，我國城市道路的限速是80km/h（）。為了減少過程中的問題，本文僅取最大速度為5m/s。由于每個元胞長度為2m，因此在元胞自動機(jī)模型中最大速度將為2.5元胞長度/秒，車速范圍為0?v。max更新時間間隔更新時間間隔取為t1s。邊界條件CA模型采用的邊界條件是封閉的道路系統(tǒng)，換句話說道路系統(tǒng)是一個閉環(huán)，即一輛車從路段出口離開，馬上從入口進(jìn)入另一路段。這樣可簡單地將所研究路段上的車輛數(shù)控制在指定的數(shù)量上，來研究某一密度下的交通狀況。該模型可以保證所研究路段的車流模擬穩(wěn)定性，對單車型交通流的研究效果較好，但對于車輛組成復(fù)雜的道路系統(tǒng)，它會造成真實(shí)道路系統(tǒng)中車輛類型比例與期望值的較大差異。2.2元胞自動機(jī)規(guī)則在規(guī)則中使用的變量符號定義如下。把一列正在行駛的車輛從小到大排序，第n輛車記為本車，第n-1輛為前車。再假設(shè)在1s內(nèi)車輛的速度是勻速的，而且時間t的取值為整數(shù)秒。記x(t):t時刻本車的位置(元胞長度)；nv(t):t時刻本車的速度(元胞長度/秒)；na(t):t時刻本車的加速度(元胞長度/秒2)；nx(t):t時刻前車的位置(元胞長度)；n-1v(t):t時刻前車的速度(元胞長度/秒)；n-1gap(t):t時刻，本車車頭與前車車尾之間的間隔(元胞長度)，即ngap(t)=x(t)—x(t)—4。nn-1n為方便起見，本車在t?t+1時段內(nèi)行駛的距離記為v(t)X1秒二v(t)，速度變化記為nna(t)x1秒二a(t)。nn道路上所有車輛的狀態(tài)同時按下述的元胞自動機(jī)規(guī)則變化。加速規(guī)則在t時刻，若v(t)<gap(t)，則車輛加速行駛。其中：nn如果gap(t)—v(t)<4，則a(t)=gap(t)—v(t)；TOC\o"1-5"\h\znnnnn女口果gap(t)—v(t)>4，貝Ua(t)=4；nnn如果gap(t)=v，則a(t)=0。nmaxn減速規(guī)則在t時刻，若v(t)>gap(t)，則車輛減速行駛。其中：nn

如果gap(t)-v(t)>_4，則a(t)=gap(t)-v(t)；nnnnn如果gap(t)-v(t)<-4，則a(t)=-4。nnn修正規(guī)則在t時刻，已知本車的加速度是a(t)，設(shè)前車的加速度是最大減速度(-4cell/s2),n那么在t+1時刻：如果v(t+1)<gap(t+1)，則本車的加速度依然取a(t)；nnn如果v(t+1)>gap(t+1)，則本車的加速度取a(t)-1(但不小于-4)，再重新計(jì)算nnnv(t+1)和gap(t+1)，一直到v(t+1)<gap(t+1)為止。此時得到的a(t)即為修正后本nnnnn車在t時刻的實(shí)際加速度值。(4)隨機(jī)規(guī)則在概率p下，經(jīng)過修正規(guī)則修正brake的車輛繼續(xù)減速，其減速增量為Aae［車在t時刻的實(shí)際加速度值。(4)隨機(jī)規(guī)則在概率p下，經(jīng)過修正規(guī)則修正brake的車輛繼續(xù)減速，其減速增量為Aae［-4,0］，且使修正后的加速度加上Aa不小于最大減速度。(5)前進(jìn)規(guī)則v(t+1)=v(t)+a(t)；nnnx(t+1)=x(t)+v(t+1)nnn按照元胞自動機(jī)規(guī)則確定的路段上所有車輛運(yùn)動狀態(tài)的程序框圖如圖所示。開始是路段卜最后一輛車嗎？■v(t)<gap(t)丄I_In按減速規(guī)則求aN按加速規(guī)則求a(t)n保證與前［車不撞？,速度.v(/+1)=v(/)+an.位移：x(t+1)=x(t)+v(t+1)nn返冋車輛按元胞自動機(jī)規(guī)則運(yùn)動的程序框結(jié)果分析對比圖1中沒有添加紅綠燈車輛位置一時空演化圖可以發(fā)現(xiàn)，P=0.1時車輛位置分布比較均勻，車流速度較大，車輛位置與時間具有較好的線性關(guān)系，交通流處于稀薄狀態(tài)；而隨著密度的增大到P=0.4時，交通流逐漸由稀薄流向稠密流轉(zhuǎn)變，車頭間距越來越小，車輛速度迅速減小，道路通行能力隨之下降，這時車輛已經(jīng)不太可能自由運(yùn)動，有些區(qū)域出現(xiàn)了車輛停滯的堵塞相，呈現(xiàn)了高速公路實(shí)際交通流中觀察到的啟動-停車波動現(xiàn)象，車輛位置與時間關(guān)系為非線性關(guān)系，車流也進(jìn)入了時停時走的狀態(tài)，從而導(dǎo)致了交通流量的下降，與實(shí)際情況基本相符。對比圖2中添加紅綠燈車輛位置-時空演化圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)密度較小時（p=0.1）,紅綠燈左右側(cè)車輛分布均勻，有較好的線性關(guān)系，并且較之圖1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)經(jīng)過紅綠燈后車流分布更加趨于線性關(guān)系，車流無任何交通阻塞，極大的改善了交通擁擠現(xiàn)象。同時，當(dāng)車流密度逐漸增大后，盡管有紅燈20s對車速的限制，從時空圖觀察發(fā)現(xiàn)，車輛位置并沒有因此而明顯改善，并且較之圖1中p=0.4時空斑圖可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)車流密度較大時，即使在中間位置設(shè)置紅綠燈，對交通改善效果也不是十分明顯。對比圖3中車流密度與車速的演示圖可以發(fā)現(xiàn)，在同等條件下，車流密度逐漸增大，車輛速度就逐漸減小，但并不是簡單的線性變化，從圖中可以發(fā)現(xiàn)明顯的拐點(diǎn)，并且在添加紅綠燈的情形下，這個拐點(diǎn)會提早出現(xiàn)（本模型中無紅綠燈時在p=0.3時出現(xiàn)，有紅綠燈時在p=0.2時出現(xiàn)），這也就解釋了安裝紅綠燈后會迫使汽車提前減速，為減少交通安全事故提供的保障。對比圖4車流量--密度關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn)，在正常交通行為前提下，車流量會在某一密度下出現(xiàn)峰值（本模型為p=0.2與p=0.3時出現(xiàn)），也就是車流量可以達(dá)到一個最大值，當(dāng)密度繼續(xù)增大后，出現(xiàn)局部阻塞現(xiàn)象，車流量逐漸減小,直至趨近于0，并且從圖中知道，當(dāng)沒有添加紅綠燈時，當(dāng)密度p=0.2時便出現(xiàn)，當(dāng)密度繼續(xù)增大便發(fā)生交通局部堵塞，交通流急劇下降，嚴(yán)重干擾正常的城市交通行為，而添加紅綠燈后，交通流峰值在p=0.3左右出現(xiàn)，在一定程度上減緩了交通阻塞的出現(xiàn)，為城市正常的交通行為提供了有利條件。2.4結(jié)論本小節(jié)在基于元胞自動機(jī)NS模型下，，采用周期邊界條件，模擬在道路上適當(dāng)位置添加紅綠燈的城市道路交通流。模擬結(jié)果顯示，在同等交通承載能力下，選擇適當(dāng)位置添加紅綠燈將對交通流產(chǎn)生較大影響，能在一定程度上限制交通事故的發(fā)生，提高城市道路交通行為能力。三、小結(jié)交通問題在數(shù)學(xué)模型中的分類多種多樣，在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用也十分廣泛。不僅有傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)微分非線性模型，經(jīng)典的概率統(tǒng)計(jì)模型、車輛跟馳模型、流體動力學(xué)模型、車輛排隊(duì)模型，也有現(xiàn)階段不斷在研究上實(shí)現(xiàn)突破的元胞自動機(jī)模型。盡管目前對細(xì)胞自動機(jī)模型的研究尚處于理論研究階段，要使該理論走出實(shí)驗(yàn)室和研究部門進(jìn)入實(shí)踐領(lǐng)域，需要不斷地改進(jìn)它的規(guī)則，標(biāo)定其中的參數(shù)，使之更加接近實(shí)際交通情況，雖然這尚需一段時間，但是由于該模型具有規(guī)則簡單、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，相信必將具有廣闊的研究前景。四、參考文獻(xiàn)[1]：王仲軍、王超能.元胞自動機(jī)的演化行為與研究.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與研究,2007[2]：賀明鋒、鄧成瑞.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2008：呂凱.元胞自動機(jī)的研究及模型的建立，2007:金小剛.基于Matlab的元胞自動機(jī)的仿真設(shè)計(jì),2002：《數(shù)學(xué)模型》第三版，姜啟源、謝金星、葉俊編：鄭安文.朱曉宏.城市道路交通供給能力研究-應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2002：