交通問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)與研究

學(xué)校代碼：學(xué)生學(xué)號(hào)：052094110白城師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）交通問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)與研究Classificationandmathematicalmodelofthetrafficproblemsinthe姓名：劉榮鶴指導(dǎo)教師：李春沅教授學(xué)科專(zhuān)業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)所在單位：數(shù)學(xué)學(xué)院2013年6月1414目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要：1關(guān)鍵詞：1引言1一、交通問(wèn)題中數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)11、數(shù)學(xué)微分模型11.1交通流的基本函數(shù)：11.2間斷交通流31.3應(yīng)用范圍41.4模型優(yōu)缺點(diǎn)42、動(dòng)力學(xué)模型42.1交通流的流體力學(xué)模型42.2交通流的氣體動(dòng)力論模型52.3元胞自動(dòng)機(jī)模型6二、基于元胞自動(dòng)機(jī)理論模型及其模擬研究81、交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型概述81.1一維交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型81.2FI模型92、交通流元胞自動(dòng)機(jī)模擬82.1元胞參數(shù)定義102.2元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則112.4結(jié)果分析122.5結(jié)論1314三、小結(jié)????14四、參考文獻(xiàn)#交通問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)與研究摘要：本課題對(duì)以往交通問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類(lèi)總結(jié)，然后著重分析每種方法比如動(dòng)力學(xué)模型等模型的使用范圍以及相應(yīng)的缺陷，并且在各種方法總結(jié)比較中，挑選動(dòng)力學(xué)模型中元胞自動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行使用，把車(chē)輛在路段上運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律表述為元胞自動(dòng)機(jī)的演變規(guī)則，建立基于元胞自動(dòng)機(jī)理論的交通流模擬模型。標(biāo)定了元胞長(zhǎng)度和最大速度等參數(shù)，繼而提出反映車(chē)輛在路段上自由行駛、跟馳行駛和減速行駛等交通行為的元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則。關(guān)鍵詞：交通流數(shù)學(xué)模型分類(lèi)元胞自動(dòng)機(jī)引言：隨著我國(guó)改革開(kāi)放的不斷深入，城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步繁榮，城市規(guī)模的日益擴(kuò)大，城市交通中的各種機(jī)動(dòng)車(chē)輛和非機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)量迅速增加，從而使城市道路更為擁擠和難以管理，交通堵塞和擁擠嚴(yán)重、城市公共交通發(fā)展較慢，公交工具數(shù)量不足，結(jié)構(gòu)單一，運(yùn)營(yíng)效率和效益低、交通管理設(shè)施、技術(shù)差，從而導(dǎo)致交通問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮。因此，研究城市交通問(wèn)題能幫助我們深入分析城市交通系統(tǒng)中交通需求與交通供給之間的內(nèi)在作用規(guī)律，探究新的解決途徑，為城市交通的良好運(yùn)作與人們安全出行提供必要的理論保證。一、交通問(wèn)題中數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)1、數(shù)學(xué)微分模型微分模型也是研究交通問(wèn)題的一類(lèi)重要方法，它以微積分學(xué)為基礎(chǔ)，把車(chē)輛看成連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)，建立連續(xù)的交通流模型。下面以紅綠燈下的交通流模型為例介紹數(shù)學(xué)微分模型。各種類(lèi)型的汽車(chē)一輛接著一輛沿著公路飛馳而過(guò)，其情景就像湍急的河流中奔騰的流水一樣。在這種情況下，很難分析每輛汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而是把車(chē)輛對(duì)看作連續(xù)的流體，稱(chēng)為交通流。研究每一時(shí)刻通過(guò)公路上每一點(diǎn)的交通流的流量、速度和密度等變量間的關(guān)系。交通流的基本函數(shù)：研究對(duì)象是無(wú)窮長(zhǎng)公路上沿單向流動(dòng)的一條車(chē)流。假定不允許超車(chē)，公路上也沒(méi)

有岔道，即汽車(chē)不會(huì)從其他通道進(jìn)入或駛出。在公路上選定一個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)，記作x=0。以車(chē)流運(yùn)動(dòng)方向作為x軸的正向，于是公路上任一點(diǎn)用坐標(biāo)x表示。對(duì)于每一時(shí)刻t和每一點(diǎn)x，引入3個(gè)基本函數(shù)：流量q(x,t)?時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)點(diǎn)x的車(chē)輛數(shù)；密度p(x,t)?時(shí)刻t點(diǎn)x處單位長(zhǎng)度內(nèi)的車(chē)輛數(shù)；速度u(x,t)?時(shí)刻t通過(guò)點(diǎn)x的車(chē)流速度。將交通流視為一維流體場(chǎng)，這些函數(shù)可以類(lèi)比作流體的流量、密度和速度。這里的速度u=(x,t)不表示固定的哪一輛汽車(chē)的速度。3個(gè)基本函數(shù)之間存在著密切關(guān)系。首先可以知道，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)等于單位長(zhǎng)度內(nèi)的車(chē)輛數(shù)與車(chē)流速度的乘積，即q(x,t)=u(x,t)p(x,t)(1)其次，車(chē)流速度u=(x,t)總是隨著車(chē)流密度p(x,t)的增加而減小的。當(dāng)一輛汽車(chē)前面沒(méi)有車(chē)輛時(shí)，它將以最大速度行駛，可以描述為p=0時(shí)u=um(最大值)；當(dāng)車(chē)隊(duì)首尾相接造成堵塞時(shí)，車(chē)輛無(wú)法前進(jìn)，可記為P=Pm(最大值)時(shí)u=0。如果簡(jiǎn)化假設(shè)u是P的線(xiàn)性函數(shù)，則有：2)=um(1—)2)pm再由q(x,t)=u(x,t)p(x,t)可得:pq=ump(1—)(3)pm表明流量隨車(chē)輛密度的增加先增后減，在p*=pm2處達(dá)到最大值q。流量q與密度p的關(guān)系流量q與密度p的關(guān)系其中(2)，(3)式是在平衡狀態(tài)下p，u和q之間的關(guān)系，即假定所有車(chē)輛的速度相同，公路上各處的車(chē)流密度相同。間斷交通流方程當(dāng)密度函數(shù)P(x,t)出現(xiàn)間斷時(shí)，是具有實(shí)際意義的也是常見(jiàn)的一種情況。一連串的間斷點(diǎn)(x,t)在Oxt平面上構(gòu)成一條孤立的、連續(xù)的間斷線(xiàn)，記作x二x(t)并假定它是可s微的。在任意時(shí)刻t，x—x(t)在x軸上是孤立的，取區(qū)間［a,b］，使a<x(t)<b。在［a,b］ss內(nèi)交通流方程的積分形式(4)仍然成立。將［a,b］分為兩個(gè)區(qū)間「a,x(t))和(x(t),b，ss在每個(gè)區(qū)間內(nèi)P(x,t)是連續(xù)、可微的，于是有：q(a,t)-q(b,t)—_Jxs⑴p(x,t)dx+Jbpq(a,t)-q(b,t)—_axs(t)—Jxs⑴—dx+p(x-(t),t)dx^+Jb—dx-p(x+(t),t)dx^a—tsdtx(t)—tsdts其中x-(t)和x+(t)分別表大于示從小于和x(t)一側(cè)趨向x(t)時(shí)的極限值。在這種趨ssss向下p(x,t)和q(x,t)的極限值記作：p--p(x-(t),t),p+-pC+(t),t)q--qC-(t),t),q+-qC+(t),t)ssp和q在間斷點(diǎn)x處的跳越值記作s[p]—p+-p-,[q]—q+-q-如圖所示：當(dāng)aTx-(t),當(dāng)aTx-(t),bTx+(t)日寸ss(11)式中的Jxs⑴a色dx=0。利用(12)，(13)(t)倉(cāng)式的記號(hào)立即得到［q］-［p吟這就是間斷線(xiàn)x—x(t)應(yīng)滿(mǎn)足的方程sxp(x,t)在p(x,t)在x(t)處間斷s應(yīng)用范圍：該模型適用于研究一維單車(chē)道交通流，即研究對(duì)象是無(wú)窮長(zhǎng)公路上沿單向流動(dòng)的一條車(chē)流，并且前提條件是不允許超車(chē)，公路上沒(méi)有岔道，汽車(chē)不會(huì)從其他通道進(jìn)入或駛出。模型優(yōu)缺點(diǎn)：該模型按照守恒關(guān)系建立微分交通流模型，利用特征線(xiàn)求解，能夠合理的解釋很多交通流中出現(xiàn)的現(xiàn)象。同時(shí)，該模型利用間斷線(xiàn)的研究方法，能夠很好的研究解決紅綠燈信號(hào)以及類(lèi)似于紅綠燈信號(hào)模型出現(xiàn)的情況。2、動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)模型是研究現(xiàn)代交通問(wèn)題的主要方法之一，它主要是以元胞自動(dòng)機(jī)(CA)為動(dòng)態(tài)模型，建立一種適合普遍的交通問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模方法。交通問(wèn)題中的研究對(duì)象如車(chē)輛和人都是不連續(xù)的，車(chē)流運(yùn)動(dòng)也有很大的隨機(jī)性和不確定性，用非線(xiàn)性的離散模型來(lái)刻劃交通現(xiàn)象，這在交通研究的方法上是一個(gè)創(chuàng)新。模擬的基本思想是將路面格子化，每個(gè)格子視為有獨(dú)立思維的小元胞，若干個(gè)小元胞對(duì)應(yīng)一輛或幾輛小汽車(chē)，把車(chē)輛在路面上的運(yùn)動(dòng)看成是格子場(chǎng)的演變，元胞可以像小汽車(chē)一樣通過(guò)觀(guān)察周?chē)h(huán)境的變化來(lái)決定下一步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，凡車(chē)輛應(yīng)遵守的交通規(guī)則都表述為元胞的演變規(guī)則，車(chē)輛行駛的加速、減速、慣性、跟馳等均可以通過(guò)元胞的速度變化規(guī)則來(lái)詳細(xì)刻劃，從而把交通流的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為元胞的演變規(guī)則加以研究。交通流的流體力學(xué)模型交通流的流體力學(xué)模型將交通流視為由大量車(chē)輛組成的可壓縮連續(xù)流體介質(zhì)，力圖以車(chē)輛的平均密度(x,t),平均速度v(x,t),交通流量q(x,t)等宏觀(guān)量來(lái)刻畫(huà)車(chē)輛的平均合作行為。流體力學(xué)模型在推動(dòng)交通流理論的發(fā)展過(guò)程匯總，起著非常重要的作用，其中重要的模型有LWR模型、Payne模型等。LWR模型描述了“交通激波”現(xiàn)象，也就是交通過(guò)程只能給形成的車(chē)輛密度的不連續(xù)性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散過(guò)程。但是，LWR模型假設(shè)了速度、密度之間始終滿(mǎn)則平衡關(guān)系，因此該模型不適用于描述本質(zhì)上處于非平衡態(tài)的交通現(xiàn)象，例如存在車(chē)輛上下、下砸到的交通，時(shí)停時(shí)走的“幽靈式”交通阻塞，交通遲滯等。延續(xù)LWR模型的思想，并考慮交通流速度動(dòng)態(tài)變化，在引用連續(xù)性方程的同時(shí)，引進(jìn)動(dòng)力學(xué)方程，Payne建立了如下兩個(gè)方程構(gòu)成的高階連續(xù)模型一Payne模型：

1)2)P+(up)二01)2)u+uu―txu+uu―txvp+—[v(p)—u]xT式的右邊第一項(xiàng)為期望項(xiàng)，v為期望指數(shù)，反映駕駛員對(duì)前方交通狀態(tài)改變的反應(yīng)過(guò)程；第二項(xiàng)式馳豫項(xiàng)，描述車(chē)輛速度在弛豫時(shí)間T內(nèi)向平衡速度的調(diào)整；最優(yōu)速度函數(shù)V(p)和其他參數(shù)一般通過(guò)對(duì)所考察的道路實(shí)測(cè)和參數(shù)辨識(shí)來(lái)確定。模型優(yōu)缺點(diǎn)：Payne模型允許速度偏離平衡速度密度關(guān)系，較之LWR模型能更準(zhǔn)確地描述實(shí)際車(chē)流，即可描述諸如交通激波形成以及阻塞消散，又能夠分析任意小擾動(dòng)引起的交通失穩(wěn)、交通遲滯、時(shí)停時(shí)走的交通形成現(xiàn)象等等。交通流的氣體動(dòng)力論模型著名的物理學(xué)家Prigogine和著名的交通流專(zhuān)家Herman在研究交通流時(shí)認(rèn)為不能忽略車(chē)輛的個(gè)體行為對(duì)交通流的影響，個(gè)體行為不同會(huì)帶來(lái)不同的集體運(yùn)動(dòng)行為。如果把每一輛車(chē)用一個(gè)粒子來(lái)表示，那么交通流就被視為由許多相互作用的粒子構(gòu)成的氣體。借鑒于氣體運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)物理描述辦法，引入粒子分布函數(shù)，建立類(lèi)似的Boltzmann方程。通過(guò)對(duì)Boltzmann方程逐級(jí)求解，就可以得到宏觀(guān)交通流的連續(xù)模型。最初的Prigogine-Herman模型得到的很多交通性質(zhì)與實(shí)測(cè)結(jié)果不相吻合，因此，在此模型的基礎(chǔ)上，先后提出了許多改進(jìn)模型，其中Helbing模型最為成功。Helbing在考慮了車(chē)輛的加速和相互作用機(jī)制后，將描述車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的粒子分布函數(shù)f所遵守的Boltzmann方程改寫(xiě)為dw(v—w)d(v,w)]2卑二響-呂(/1)+丁+(1-P')X'P(r,t)x[fdw(w—v)d(w,v)—fotdw(v—w)d(v,w)]2w>vww>v其中v，w是兩輛車(chē)輛的速度，v是車(chē)輛的期望速度，D為擴(kuò)散函數(shù)，P'為超車(chē)概0率，x'是與密度P有關(guān)的因子。d是車(chē)輛之間的作用函數(shù)。通過(guò)對(duì)上式方程求矩得到:2+V=—-0P+-[V(P)—V]otoxpoxTe其中，P是交通壓力，定義為:P(x,t)=V(x,t)0(x,,t)0(x,,t)是速度方差，V(p)是車(chē)輛在馳騁時(shí)間t內(nèi)趨近的動(dòng)態(tài)平衡速度。與其他模型相e比,Helbing模型動(dòng)態(tài)平衡速度V(p)與安全距離之間相互點(diǎn)的密度和速度有關(guān)，表示為：e(0+0pT)V=V(p)1—-—)2B(8)e0LtA(p)1-p/pv丿maxamax模型優(yōu)缺點(diǎn)：Helbing模型的數(shù)值模擬表明該模型能夠描述由匝道引起的各種交通狀態(tài)和交通相變，不僅能準(zhǔn)確地解釋“幽靈式的交通阻塞”，而且還能解釋時(shí)停時(shí)走交通引起的堆集形成以及同步交通等非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)現(xiàn)象。模型應(yīng)用：以Helbing模型為基礎(chǔ)研制的交通軟件包MAS-TER具有計(jì)算速度快、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)，可以實(shí)時(shí)仿真幾千里長(zhǎng)的高速公路交通。2.3元胞自動(dòng)機(jī)模型傳統(tǒng)的交通流模型如流體力學(xué)模型、氣體動(dòng)力學(xué)模型、跟馳模型等在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮了重要作用。然而由于交通流在時(shí)間、空間上具有高度的隨機(jī)性、動(dòng)態(tài)性和復(fù)雜性，交通系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的非線(xiàn)性特征。實(shí)證研究表明，交通流存在三相：自由流(freeflow)、大范圍移動(dòng)阻塞(widemovingjams)和同步流(synchronizedflow)，還有一些“異常”現(xiàn)象，如亞穩(wěn)態(tài)(meta-stablestates)、滯回效應(yīng)(hysteresiseffect)、排隊(duì)消散(platoondispersion)等，傳統(tǒng)模型對(duì)此難以解釋。另一方面，真實(shí)交通系統(tǒng)一般路網(wǎng)規(guī)模巨大，道路使用者眾多，傳統(tǒng)的微觀(guān)仿真方法面臨著計(jì)算資源約束，要求有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算迅速的交通流模型。目前基于元胞自動(dòng)機(jī)(CellularAutomata，CA)的交通流模型取得了很大進(jìn)展。CA是研究系統(tǒng)復(fù)雜性的重要工具，在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，Cremer等最早用CA思想對(duì)交通流進(jìn)行了研究。雖然CA模型微觀(guān)上的規(guī)則簡(jiǎn)單、不太真實(shí)，但從統(tǒng)計(jì)物理的角度看，可以再現(xiàn)系統(tǒng)的宏觀(guān)特性，一般其看作“最小化”的系統(tǒng)，用來(lái)揭示系統(tǒng)的本質(zhì)規(guī)律。另外，CA時(shí)間、空間、狀態(tài)變量均離散，元胞狀態(tài)并行局部更新，適合計(jì)算機(jī)模擬，能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模路網(wǎng)的快速計(jì)算。交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型的出現(xiàn)和發(fā)展為交通流理論研究提供了一種新的方向。交通流元胞自動(dòng)機(jī)((CellularAutomata，簡(jiǎn)稱(chēng)CA)是一時(shí)間和空間都離散的動(dòng)力系統(tǒng)。散布在規(guī)則格網(wǎng)中的每一元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循同樣的作用規(guī)則，依據(jù)確定的局部規(guī)則作同步更新。元胞自動(dòng)機(jī)定義元胞自動(dòng)機(jī)的嚴(yán)格定義為：A、規(guī)整的元胞網(wǎng)格覆蓋d維空間的一部分；B、歸屬于網(wǎng)格的每個(gè)格位r的一組布爾變量。①(r,t)={O(r,t),①(r,t),l…①(r,t)}TOC\o"1-5"\h\z12m給出每個(gè)元胞在時(shí)間t二0丄2,…的局部狀態(tài)；C演化規(guī)則R={R,R,…R}按下列方式指定狀態(tài)①(r,t)的時(shí)間演化過(guò)程：12m①(r,t+1)=R［①(r,t)@(r+8,t)@(r+8,t)…①(r+8,t)］，式中r+8指定從屬于元胞rjji2kk的給定鄰居元胞。從定義中可知，演化規(guī)則R對(duì)所有格位都是同一的，且同時(shí)應(yīng)用于他們中的每個(gè)元胞，由此得到同步動(dòng)力學(xué)。同時(shí)，時(shí)間的狀t+1態(tài)只隨時(shí)間t的狀態(tài)而變化，這就要求對(duì)狀態(tài)進(jìn)行長(zhǎng)期記憶，并引入對(duì)時(shí)間t-1,t-2,…t-k等的狀態(tài)的相依性。元胞的鄰居在元胞自動(dòng)機(jī)中，每個(gè)元胞下一時(shí)刻的狀態(tài)都取決于其本身的狀態(tài)和元胞鄰居的狀態(tài)。在網(wǎng)格上，每個(gè)元胞的鄰居的大小是一樣的。最簡(jiǎn)單的情況即一維網(wǎng)格，鄰居由元胞本身加上它的臨近元胞構(gòu)成；在二維網(wǎng)格中，有幾種可能性：除元胞本身外，東、南、西、北四個(gè)近鄰元胞，或是上面的五個(gè)元胞和東北、東南、西南、西北四個(gè)對(duì)角線(xiàn)元胞(Mare鄰居)。推算可知，當(dāng)元胞空間維數(shù)增加時(shí)，一個(gè)元胞的直接鄰居數(shù)目是成指數(shù)增長(zhǎng)，描述了兩種鄰居的例子：鄰居21鄰居1鄰居2鄰居3鄰居1元胞鄰居3鄰居4元胞鄰居5鄰居4L鄰居6鄰居7鄰居8兩種常見(jiàn)的二維元胞自動(dòng)機(jī)鄰居邊界條件可以想見(jiàn)，一個(gè)無(wú)限網(wǎng)格的系統(tǒng)的演化是不可能進(jìn)行模擬處理的。也就是說(shuō)，元胞自動(dòng)機(jī)系統(tǒng)必須是有限的，有邊界的。目前常用的邊界是由擴(kuò)展鄰居的方法獲得的，有四種情況如下：「1b11aI1a周期邊界固定邊界

絕熱邊界映射邊界絕熱邊界映射邊界4)規(guī)則每個(gè)元寶在確定的時(shí)間t有兩種可能的狀態(tài)，即S二0或1(i代表元胞)，則時(shí)間t+1i的狀態(tài)s只決定于時(shí)間t的三元組(S,S,S):S(t+1)二①(S(t),S(t),S)(t))。由此ii—1ii+1ii-1ii+1三元組合可以計(jì)算出元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則R由256種。二、基于元胞自動(dòng)機(jī)理論模型及其模擬研究1、交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型概述隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，私家車(chē)和城市汽車(chē)保有量迅猛增長(zhǎng)，城市交通擁堵現(xiàn)象日益嚴(yán)重，從而引起了人們的極大關(guān)注。如何描述城市交通的規(guī)律，充分利用交通資源，以科學(xué)理論指導(dǎo)交通系統(tǒng)的發(fā)展和改善，己迫在眉睫。在交通工程領(lǐng)域，描述交通特性的方法主要有概率論方法、交通流體動(dòng)力學(xué)、車(chē)輛跟馳理論和元胞自動(dòng)機(jī)模型等。交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型是20世紀(jì)90年代發(fā)展起來(lái)的交通流新動(dòng)力學(xué)方法。交通流元胞自動(dòng)機(jī)由元胞、元胞的狀態(tài)空間、鄰居及局部規(guī)則四部分組成元胞和元胞空間元胞又可稱(chēng)為基元，是元胞自動(dòng)機(jī)的最基本的組成部分，分布在離散的一維或二維空間的格點(diǎn)上；狀態(tài)取值于一個(gè)有限的離散集，交通流元胞自動(dòng)機(jī)的元胞只能有一個(gè)狀態(tài)變量鄰居在給出規(guī)則之前，必須定義一定的鄰居規(guī)則，明確哪些元胞屬于該元胞的鄰居；規(guī)則根據(jù)元胞當(dāng)前狀態(tài)以及鄰居狀況確定下一時(shí)刻該元胞狀態(tài)的函數(shù)，也稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。交通流元胞自動(dòng)機(jī)是由分布在規(guī)則網(wǎng)格中的每一個(gè)元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循確定的規(guī)則做出同步更新，即大量元胞通過(guò)簡(jiǎn)單的局部相互作用而構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)。

不同于一般的動(dòng)力學(xué)模型，交通流元胞自動(dòng)機(jī)不是由嚴(yán)格的物理方程確定，而是通過(guò)構(gòu)造一系列模型的規(guī)則來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這恰恰增強(qiáng)了其表達(dá)復(fù)雜關(guān)系的能力，為其在復(fù)雜的交通流領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。1.1一維交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型最早的一維交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型采用一維格點(diǎn)鏈上的粒子來(lái)模擬公路上的車(chē)輛。所有的車(chē)輛的行進(jìn)方向都相同。在每一個(gè)時(shí)步，若某車(chē)前方是空的，則它可以向前行進(jìn)一步。否則它就在原地不動(dòng)，即使前方的車(chē)輛在此時(shí)步中離開(kāi)。整個(gè)系統(tǒng)采用周期邊界條件以保持車(chē)輛數(shù)守恒。圖3-3為兩次時(shí)步演化圖。184模型兩次時(shí)步演示圖184模型兩次時(shí)步演示圖一維交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型忽略了十字路口，交通燈和交叉口方向上車(chē)輛的影響，強(qiáng)調(diào)了同一路段上同方向車(chē)輛的相互作用。這種模型適合與模擬高速公路或城市交通環(huán)線(xiàn)上的交通流。常用的一維元胞自動(dòng)機(jī)模型為NS和FI模型及其以?xún)煞N模型為基礎(chǔ)的改進(jìn)模型。1.12FI模型FI模型是由日本學(xué)者Fukui和Ishibashi提出的。在FI模型中，演化規(guī)則：如果車(chē)輛與前車(chē)的間距gap大于車(chē)輛的最大速度v，車(chē)輛將以最大速度v前進(jìn);maxmax即gap>v時(shí)，v=v；maxmax如果車(chē)輛與前車(chē)的間距gap小于車(chē)輛的最大速度，則車(chē)輛的前進(jìn)速度等于gap。即gap<v時(shí)，v=gap；maxTOC\o"1-5"\h\z根據(jù)隨機(jī)減速規(guī)則，v(t)表示第i輛車(chē)的行駛速度，當(dāng)車(chē)輛能夠以最大速度v前imax進(jìn)時(shí)，它將以概率p從v減速為v-1。即v=v時(shí)，v=v-1。maxmaxmaxmaxv(t+1)=max{o,v(t)}；iivv(t+1)=max{o,v(t)}；iiimaxv(t)<vimax模型優(yōu)缺點(diǎn)：FI模型與NS模型的區(qū)別在于加速方式和隨機(jī)減速方式不同。在NS模型中，如果車(chē)速v小于最大速度v，車(chē)輛在下一時(shí)刻的速度最多只能達(dá)到v+1;而max在FI模型中，只要車(chē)速v小于最大速度v，則車(chē)輛就可能加速到v（考慮隨機(jī)規(guī)則）；maxmax在NS模型中，所有車(chē)輛都可能隨機(jī)減速，而在FI模型中，只有以最大速度行駛的車(chē)輛才能減速。2、交通流元胞自動(dòng)機(jī)模擬2.1元胞參數(shù)定義2.11元胞長(zhǎng)度在CA模型中，首先定義一個(gè)一維點(diǎn)陣來(lái)代表一條單車(chē)道，即將所研究的單車(chē)道分成n個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的小路段（元胞），該點(diǎn)陣中每個(gè)位置或空閑或容納一輛車(chē)。其中，定義元胞長(zhǎng)度L是阻塞時(shí)的平均車(chē)頭間距。。更新的時(shí)間步長(zhǎng)一般可以認(rèn)為是駕駛員的反應(yīng)時(shí)間，一般取1s。這樣在CA模型中，位移、速度、時(shí)間都取整數(shù)，具有離散性。每個(gè)位置的狀態(tài)有7種，分別是：位置空閑和該位置處車(chē)輛速度分別為0，1，2，3，4，5元胞長(zhǎng)度/秒。這樣定義的元胞長(zhǎng)度的不足是：由于元胞長(zhǎng)度取值偏大，導(dǎo)致車(chē)輛運(yùn)動(dòng)的加速度過(guò)大，這樣，車(chē)輛在加速時(shí)總是以最大加速度加速，而在減速時(shí)，又以最大減速度減速。通過(guò)縮小元胞長(zhǎng)度能夠獲得較小的加速度值?？紤]到城市道路上車(chē)輛阻塞密度一般為120…125pcu/km，將元胞長(zhǎng)度取為平均車(chē)頭間距的1/4（若k=125pcu/km，則平均車(chē)j頭間距為8m），對(duì)城市道路來(lái)說(shuō)一個(gè)元胞長(zhǎng)度即為2m。于是路段上每4個(gè)連續(xù)的元胞容納一輛車(chē)，在某一時(shí)刻t，這4個(gè)連續(xù)的元胞具有相同的狀態(tài)，即所容納車(chē)輛的速度相同。最大速度本模型中的最大速度并不是指車(chē)輛所能達(dá)到的最大設(shè)計(jì)車(chē)速。在城市道路上，出于安全考慮，都規(guī)定了車(chē)輛的最大行駛速度，我國(guó)城市道路的限速是80km/h（）。為了減少過(guò)程中的問(wèn)題，本文僅取最大速度為5m/s。由于每個(gè)元胞長(zhǎng)度為2m，因此在元胞自動(dòng)機(jī)模型中最大速度將為2.5元胞長(zhǎng)度/秒，車(chē)速范圍為0?v。max更新時(shí)間間隔更新時(shí)間間隔取為t1s。邊界條件CA模型采用的邊界條件是封閉的道路系統(tǒng)，換句話(huà)說(shuō)道路系統(tǒng)是一個(gè)閉環(huán)，即一輛車(chē)從路段出口離開(kāi)，馬上從入口進(jìn)入另一路段。這樣可簡(jiǎn)單地將所研究路段上的車(chē)輛數(shù)控制在指定的數(shù)量上，來(lái)研究某一密度下的交通狀況。該模型可以保證所研究路段的車(chē)流模擬穩(wěn)定性，對(duì)單車(chē)型交通流的研究效果較好，但對(duì)于車(chē)輛組成復(fù)雜的道路系統(tǒng)，它會(huì)造成真實(shí)道路系統(tǒng)中車(chē)輛類(lèi)型比例與期望值的較大差異。2.2元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則在規(guī)則中使用的變量符號(hào)定義如下。把一列正在行駛的車(chē)輛從小到大排序，第n輛車(chē)記為本車(chē)，第n-1輛為前車(chē)。再假設(shè)在1s內(nèi)車(chē)輛的速度是勻速的，而且時(shí)間t的取值為整數(shù)秒。記x(t):t時(shí)刻本車(chē)的位置(元胞長(zhǎng)度)；nv(t):t時(shí)刻本車(chē)的速度(元胞長(zhǎng)度/秒)；na(t):t時(shí)刻本車(chē)的加速度(元胞長(zhǎng)度/秒2)；nx(t):t時(shí)刻前車(chē)的位置(元胞長(zhǎng)度)；n-1v(t):t時(shí)刻前車(chē)的速度(元胞長(zhǎng)度/秒)；n-1gap(t):t時(shí)刻，本車(chē)車(chē)頭與前車(chē)車(chē)尾之間的間隔(元胞長(zhǎng)度)，即ngap(t)=x(t)—x(t)—4。nn-1n為方便起見(jiàn)，本車(chē)在t?t+1時(shí)段內(nèi)行駛的距離記為v(t)X1秒二v(t)，速度變化記為nna(t)x1秒二a(t)。nn道路上所有車(chē)輛的狀態(tài)同時(shí)按下述的元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則變化。加速規(guī)則在t時(shí)刻，若v(t)<gap(t)，則車(chē)輛加速行駛。其中：nn如果gap(t)—v(t)<4，則a(t)=gap(t)—v(t)；TOC\o"1-5"\h\znnnnn女口果gap(t)—v(t)>4，貝Ua(t)=4；nnn如果gap(t)=v，則a(t)=0。nmaxn減速規(guī)則在t時(shí)刻，若v(t)>gap(t)，則車(chē)輛減速行駛。其中：nn

如果gap(t)-v(t)>_4，則a(t)=gap(t)-v(t)；nnnnn如果gap(t)-v(t)<-4，則a(t)=-4。nnn修正規(guī)則在t時(shí)刻，已知本車(chē)的加速度是a(t)，設(shè)前車(chē)的加速度是最大減速度(-4cell/s2),n那么在t+1時(shí)刻：如果v(t+1)<gap(t+1)，則本車(chē)的加速度依然取a(t)；nnn如果v(t+1)>gap(t+1)，則本車(chē)的加速度取a(t)-1(但不小于-4)，再重新計(jì)算nnnv(t+1)和gap(t+1)，一直到v(t+1)<gap(t+1)為止。此時(shí)得到的a(t)即為修正后本nnnnn車(chē)在t時(shí)刻的實(shí)際加速度值。(4)隨機(jī)規(guī)則在概率p下，經(jīng)過(guò)修正規(guī)則修正brake的車(chē)輛繼續(xù)減速，其減速增量為Aae［車(chē)在t時(shí)刻的實(shí)際加速度值。(4)隨機(jī)規(guī)則在概率p下，經(jīng)過(guò)修正規(guī)則修正brake的車(chē)輛繼續(xù)減速，其減速增量為Aae［-4,0］，且使修正后的加速度加上Aa不小于最大減速度。(5)前進(jìn)規(guī)則v(t+1)=v(t)+a(t)；nnnx(t+1)=x(t)+v(t+1)nnn按照元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則確定的路段上所有車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的程序框圖如圖所示。開(kāi)始是路段卜最后一輛車(chē)嗎？■v(t)<gap(t)丄I_In按減速規(guī)則求aN按加速規(guī)則求a(t)n保證與前［車(chē)不撞？,速度.v(/+1)=v(/)+an.位移：x(t+1)=x(t)+v(t+1)nn返冋車(chē)輛按元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的程序框結(jié)果分析對(duì)比圖1中沒(méi)有添加紅綠燈車(chē)輛位置一時(shí)空演化圖可以發(fā)現(xiàn)，P=0.1時(shí)車(chē)輛位置分布比較均勻，車(chē)流速度較大，車(chē)輛位置與時(shí)間具有較好的線(xiàn)性關(guān)系，交通流處于稀薄狀態(tài)；而隨著密度的增大到P=0.4時(shí)，交通流逐漸由稀薄流向稠密流轉(zhuǎn)變，車(chē)頭間距越來(lái)越小，車(chē)輛速度迅速減小，道路通行能力隨之下降，這時(shí)車(chē)輛已經(jīng)不太可能自由運(yùn)動(dòng)，有些區(qū)域出現(xiàn)了車(chē)輛停滯的堵塞相，呈現(xiàn)了高速公路實(shí)際交通流中觀(guān)察到的啟動(dòng)-停車(chē)波動(dòng)現(xiàn)象，車(chē)輛位置與時(shí)間關(guān)系為非線(xiàn)性關(guān)系，車(chē)流也進(jìn)入了時(shí)停時(shí)走的狀態(tài)，從而導(dǎo)致了交通流量的下降，與實(shí)際情況基本相符。對(duì)比圖2中添加紅綠燈車(chē)輛位置-時(shí)空演化圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)密度較小時(shí)（p=0.1）,紅綠燈左右側(cè)車(chē)輛分布均勻，有較好的線(xiàn)性關(guān)系，并且較之圖1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)紅綠燈后車(chē)流分布更加趨于線(xiàn)性關(guān)系，車(chē)流無(wú)任何交通阻塞，極大的改善了交通擁擠現(xiàn)象。同時(shí)，當(dāng)車(chē)流密度逐漸增大后，盡管有紅燈20s對(duì)車(chē)速的限制，從時(shí)空?qǐng)D觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，車(chē)輛位置并沒(méi)有因此而明顯改善，并且較之圖1中p=0.4時(shí)空斑圖可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)車(chē)流密度較大時(shí)，即使在中間位置設(shè)置紅綠燈，對(duì)交通改善效果也不是十分明顯。對(duì)比圖3中車(chē)流密度與車(chē)速的演示圖可以發(fā)現(xiàn)，在同等條件下，車(chē)流密度逐漸增大，車(chē)輛速度就逐漸減小，但并不是簡(jiǎn)單的線(xiàn)性變化，從圖中可以發(fā)現(xiàn)明顯的拐點(diǎn)，并且在添加紅綠燈的情形下，這個(gè)拐點(diǎn)會(huì)提早出現(xiàn)（本模型中無(wú)紅綠燈時(shí)在p=0.3時(shí)出現(xiàn)，有紅綠燈時(shí)在p=0.2時(shí)出現(xiàn)），這也就解釋了安裝紅綠燈后會(huì)迫使汽車(chē)提前減速，為減少交通安全事故提供的保障。對(duì)比圖4車(chē)流量--密度關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn)，在正常交通行為前提下，車(chē)流量會(huì)在某一密度下出現(xiàn)峰值（本模型為p=0.2與p=0.3時(shí)出現(xiàn)），也就是車(chē)流量可以達(dá)到一個(gè)最大值，當(dāng)密度繼續(xù)增大后，出現(xiàn)局部阻塞現(xiàn)象，車(chē)流量逐漸減小,直至趨近于0，并且從圖中知道，當(dāng)沒(méi)有添加紅綠燈時(shí)，當(dāng)密度p=0.2時(shí)便出現(xiàn)，當(dāng)密度繼續(xù)增大便發(fā)生交通局部堵塞，交通流急劇下降，嚴(yán)重干擾正常的城市交通行為，而添加紅綠燈后，交通流峰值在p=0.3左右出現(xiàn)，在一定程度上減緩了交通阻塞的出現(xiàn)，為城市正常的交通行為提供了有利條件。2.4結(jié)論本小節(jié)在基于元胞自動(dòng)機(jī)NS模型下，，采用周期邊界條件，模擬在道路上適當(dāng)位置添加紅綠燈的城市道路交通流。模擬結(jié)果顯示，在同等交通承載能力下，選擇適當(dāng)位置添加紅綠燈將對(duì)交通流產(chǎn)生較大影響，能在一定程度上限制交通事故的發(fā)生，提高城市道路交通行為能力。三、小結(jié)交通問(wèn)題在數(shù)學(xué)模型中的分類(lèi)多種多樣，在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用也十分廣泛。不僅有傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)微分非線(xiàn)性模型，經(jīng)典的概率統(tǒng)計(jì)模型、車(chē)輛跟馳模型、流體動(dòng)力學(xué)模型、車(chē)輛排隊(duì)模型，也有現(xiàn)階段不斷在研究上實(shí)現(xiàn)突破的元胞自動(dòng)機(jī)模型。盡管目前對(duì)細(xì)胞自動(dòng)機(jī)模型的研究尚處于理論研究階段，要使該理論走出實(shí)驗(yàn)室和研究部門(mén)進(jìn)入實(shí)踐領(lǐng)域，需要不斷地改進(jìn)它的規(guī)則，標(biāo)定其中的參數(shù)，使之更加接近實(shí)際交通情況，雖然這尚需一段時(shí)間，但是由于該模型具有規(guī)則簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，相信必將具有廣闊的研究前景。四、參考文獻(xiàn)[1]：王仲軍、王超能.元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為與研究.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與研究,2007[2]：賀明鋒、鄧成瑞.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008：呂凱.元胞自動(dòng)機(jī)的研究及模型的建立，2007:金小剛.基于Matlab的元胞自動(dòng)機(jī)的仿真設(shè)計(jì),2002：《數(shù)學(xué)模型》第三版，姜啟源、謝金星、葉俊編：鄭安文.朱曉宏.城市道路交通供給能力研究-應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2002：