【解析】2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章2.7二次根式（培優(yōu)卷）

第第頁(yè)【解析】2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章2.7二次根式（培優(yōu)卷）登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無憂

2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章2.7二次根式（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．（2023八上·隆昌期中）已知實(shí)數(shù)a滿足條件，那么的值為

A．2023B．2023C．2023D．2023

2．（2023八上·深圳期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)x=，易知>，故x>0，由x2===2，解得x=，即。根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）

A．5+3B．5+C．5-D．5-3

3．下列各實(shí)數(shù)中最大的一個(gè)是（）

A．5×B．C．D．+

4．（2023八上·秦都月考）用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)如圖所示的正方形，它的面積是75，，圖中空白的地方是一個(gè)正方形，那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

5．（2023八上·寬城期末）如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為8m2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為（）

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

6．已知a是1997的算術(shù)平方根的整數(shù)部分，b是1991的算術(shù)平方根的小數(shù)部分，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）

A．B．C．D．

7．（2023八上·薛城期中）下列計(jì)算中，正確的是（）

A．B．

C．D．

8．（2023八上·滕州月考）計(jì)算：（）

A．4B．5C．6D．8

9．（2023八上·平和月考）已知m＝，則以下對(duì)m的值估算正確的（）

A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6

10．（2023八上·新都月考）下列計(jì)算中，正確的是（）

A．B．

C．D．

二、填空題

11．（2023八上·新都月考）完成下列各題，

（1）若，那么的值是．

（2）化簡(jiǎn)：．

12．（2023八上·浦東月考）已知a、b是正整數(shù)，如果有序數(shù)對(duì)(a,b)能使得2的值也是整數(shù)，那么稱（a,b）是2的一個(gè)“理想數(shù)對(duì)”。如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想數(shù)對(duì)”，請(qǐng)你再寫出一個(gè)2的“理想數(shù)對(duì)”：.

13．（2022八上·黃浦月考）計(jì)算：.

14．（2023八上·崇川期末）如圖，在長(zhǎng)方形內(nèi)，兩個(gè)小正方形的面積分別為，，則圖中陰影部分的面積等于.

15．（2023八上·來賓期末）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為，，則它的周長(zhǎng)=.

三、綜合題

16．（2022八上·薛城期中）小明在解決問題：已知，求的值，他是這樣分析與解答的：

，

，

，

，

，，

．

請(qǐng)你認(rèn)真審視小明的解答過程，根據(jù)他的做法解決下列問題：

（1）計(jì)算；

（2）計(jì)算（寫出計(jì)算過程）；

（3）如果，求的值．

17．（2022八上·濟(jì)南期中）已知，．

（1）對(duì)x，y進(jìn)行化簡(jiǎn)；

（2）求的值．

18．（2022八上·西安月考）閱讀材料：像、、兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式例如，與、與、與等都是互為有理化因式在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．

例如；；．

解答下列問題：

（1）與互為有理化因式，將分母有理化得；

（2）計(jì)算：；

（3）已知有理數(shù)a、b滿足，求a、b的值．

19．（2023八上·垣曲期中）大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，因?yàn)?，所以可用、來表示的小?shù)部分.請(qǐng)解答下列問題：

（1）的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

（2）如果的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值.

（3）已知，其中x是整數(shù)，且.則求的平方根的值.

20．（2023八上·上海月考）三角形的周長(zhǎng)為，面積為，已知兩邊的長(zhǎng)分別為和，求：

（1）第三邊的長(zhǎng)；

（2）第三邊上的高．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值及有理數(shù)的絕對(duì)值；算術(shù)平方根；二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵有意義，

∴a-2023≥0，

∴a≥2023，

∴2023-a＜0，

∴，

∴

∴a-2023=20232，

∴a-20232=2023.

故答案為：C.

【分析】由二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)可求出a≥2023，即得2023-a＜0，利用絕對(duì)值的性質(zhì)原等式可化為，兩邊平方即可求出結(jié)論.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】設(shè)x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=

故答案為：D

【分析】將利用平方再開方的方式化簡(jiǎn)，進(jìn)行分母有理化，最后用二次根式運(yùn)算法則即可求出答案。

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：A中5×==＜1；

B中∵π=3.14159＞3.141，

∴＜1；

C中===（-1）＞1；

D中∵＜=0.25，

∴2＜0.5，

∴0.3+2+0.2＜1，即（+）2＜1，

∴+＜1．

故答案為：C

【分析】先利用將根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)、分母有理化、放縮法、平方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，據(jù)此即可答案。

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得，

小正方形的邊長(zhǎng)為：

這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)正方形面積公式求出AB長(zhǎng)，然后根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出BE，根據(jù)紙片的長(zhǎng)和寬的差求出小正方形的邊長(zhǎng)，最后求其周長(zhǎng)即可.

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，

∴大正方形邊長(zhǎng)為：，

∴大正方形面積為（5）2=50，

∴留下的陰影部分面積和為：50-8-18=24（cm2）

故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意求出大正方形邊長(zhǎng)為：，再根據(jù)面積公式求解即可。

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵a是1997的算術(shù)平方根的整數(shù)部分，b是1991的算術(shù)平方根的小數(shù)部分

∴

∴

=

=

=

=

故答案為：C

【分析】先利用‘’夾逼法‘’找出、位于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，從而得到a、b的值，再代入計(jì)算即可。

7．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：A、原式=9﹣12=﹣3，故該選項(xiàng)符合題意；

B、原式=+，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、2與3不是同類二次根式，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、原式＝2a+2+b，故該選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可。

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】原式．

故答案為：C．

【分析】利用二次根式的加減乘除法則計(jì)算求解即可。

9．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：m＝

∵1＜3＜4，

∴1＜＜2，即3＜2+＜4，

則m的范圍為3＜m＜4，

故答案為：B．

【分析】利用二次根式的乘方及加法計(jì)算，再估算大小即可。

10．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】A、2與3不是同類二次根式，不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B、原式＝，所以B選項(xiàng)不符合題意；

C、原式＝912＝3，所以C選項(xiàng)符合題意；

D、原式＝2a＋2＋b，所以D選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A進(jìn)行判斷；

根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；

根據(jù)平方差公式對(duì)C進(jìn)行判斷；

根據(jù)完全平方公式對(duì)D進(jìn)行判斷．

11．【答案】（1）

（2）

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】解：（1）原式，

，

，

∵，

∴，

原式，

，

，

，

；（2），

，

，

，

，

，

，

故答案為：；．

【分析】（1）先對(duì)二次根式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后由得，進(jìn)而代值求解即可；（2）利用完全平方公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

12．【答案】（1，4）（此題答案不唯一，見詳解）

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)a=1，b=4時(shí)，

2

故成立，

所以答案可以是：（1，4）.

此題答案也可以為（4，1）.

【分析】因?yàn)?的值也是整數(shù)，所以要使、開的盡，所以a、b必須是一個(gè)整數(shù)的平方，因?yàn)?的值也是整數(shù)，的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)無分母或者分母為2.

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法

【解析】【解答】

，

故答案為.

【分析】利用二次根式的乘法計(jì)算方法求解即可。

14．【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵兩個(gè)小正方形的面積分別為，，

∴小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形邊長(zhǎng)為3，

∴陰影部分的長(zhǎng)為3-=2，寬為，

∴陰影部分的面積=2×=4，

故答案為：4.

【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大、小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得陰影部分的長(zhǎng)、寬，接下來根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可.

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，

周長(zhǎng)為：2×（）=2×（2+）=2×3=6，

故答案為：6.

【分析】長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，據(jù)此解答即可.

16．【答案】（1）

（2）解：由（1）題的結(jié)論可得：

=

=

=

（3）解：∵，

∴，

∴，

整理可得：，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；分母有理化；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：（1）；

故答案為：；

【分析】（1）根據(jù)小明的解答總結(jié)出規(guī)律即可；

（2）結(jié)合（1）進(jìn)行分母有理化，再合并即可得解；

（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，即可得解。

17．【答案】（1）解：

=；

=．

（2）解：因?yàn)椋?/p>

∴=．

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；分母有理化

【解析】【分析】（1）利用分母有理化化簡(jiǎn)即可；

（2）將x、y的值代入，再計(jì)算即可。

18．【答案】（1）；

（2）解：原式

（3）解：，

，

，

解這個(gè)方程組，得：，

，．

【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：（1）與互為有理化因式，

，

故答案為；；

【分析】（1）根據(jù)互為有理化因式的定義求解即可；分子分母同乘即可求解；

（2）先分母有理化，再合并即可；

（3）先將等式左邊分母有理化可得，據(jù)此求出a、b值即可.

19．【答案】（1）3；-3

（2）解：∵1，故x>0，由x2===2，解得x=，即。根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）

A．5+3B．5+C．5-D．5-3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】設(shè)x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=

故答案為：D

【分析】將利用平方再開方的方式化簡(jiǎn)，進(jìn)行分母有理化，最后用二次根式運(yùn)算法則即可求出答案。

3．下列各實(shí)數(shù)中最大的一個(gè)是（）

A．5×B．C．D．+

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：A中5×==＜1；

B中∵π=3.14159＞3.141，

∴＜1；

C中===（-1）＞1；

D中∵＜=0.25，

∴2＜0.5，

∴0.3+2+0.2＜1，即（+）2＜1，

∴+＜1．

故答案為：C

【分析】先利用將根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)、分母有理化、放縮法、平方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，據(jù)此即可答案。

4．（2023八上·秦都月考）用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)如圖所示的正方形，它的面積是75，，圖中空白的地方是一個(gè)正方形，那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得，

小正方形的邊長(zhǎng)為：

這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)正方形面積公式求出AB長(zhǎng)，然后根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出BE，根據(jù)紙片的長(zhǎng)和寬的差求出小正方形的邊長(zhǎng)，最后求其周長(zhǎng)即可.

5．（2023八上·寬城期末）如圖．從一個(gè)大正方形中裁去面積為8m2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分的面積為（）

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，

∴大正方形邊長(zhǎng)為：，

∴大正方形面積為（5）2=50，

∴留下的陰影部分面積和為：50-8-18=24（cm2）

故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意求出大正方形邊長(zhǎng)為：，再根據(jù)面積公式求解即可。

6．已知a是1997的算術(shù)平方根的整數(shù)部分，b是1991的算術(shù)平方根的小數(shù)部分，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵a是1997的算術(shù)平方根的整數(shù)部分，b是1991的算術(shù)平方根的小數(shù)部分

∴

∴

=

=

=

=

故答案為：C

【分析】先利用‘’夾逼法‘’找出、位于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，從而得到a、b的值，再代入計(jì)算即可。

7．（2023八上·薛城期中）下列計(jì)算中，正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：A、原式=9﹣12=﹣3，故該選項(xiàng)符合題意；

B、原式=+，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、2與3不是同類二次根式，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、原式＝2a+2+b，故該選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可。

8．（2023八上·滕州月考）計(jì)算：（）

A．4B．5C．6D．8

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】原式．

故答案為：C．

【分析】利用二次根式的加減乘除法則計(jì)算求解即可。

9．（2023八上·平和月考）已知m＝，則以下對(duì)m的值估算正確的（）

A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。欢胃降幕旌线\(yùn)算

【解析】【解答】解：m＝

∵1＜3＜4，

∴1＜＜2，即3＜2+＜4，

則m的范圍為3＜m＜4，

故答案為：B．

【分析】利用二次根式的乘方及加法計(jì)算，再估算大小即可。

10．（2023八上·新都月考）下列計(jì)算中，正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】A、2與3不是同類二次根式，不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B、原式＝，所以B選項(xiàng)不符合題意；

C、原式＝912＝3，所以C選項(xiàng)符合題意；

D、原式＝2a＋2＋b，所以D選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A進(jìn)行判斷；

根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)B進(jìn)行判斷；

根據(jù)平方差公式對(duì)C進(jìn)行判斷；

根據(jù)完全平方公式對(duì)D進(jìn)行判斷．

二、填空題

11．（2023八上·新都月考）完成下列各題，

（1）若，那么的值是．

（2）化簡(jiǎn)：．

【答案】（1）

（2）

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】解：（1）原式，

，

，

∵，

∴，

原式，

，

，

，

；（2），

，

，

，

，

，

，

故答案為：；．

【分析】（1）先對(duì)二次根式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后由得，進(jìn)而代值求解即可；（2）利用完全平方公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

12．（2023八上·浦東月考）已知a、b是正整數(shù)，如果有序數(shù)對(duì)(a,b)能使得2的值也是整數(shù)，那么稱（a,b）是2的一個(gè)“理想數(shù)對(duì)”。如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想數(shù)對(duì)”，請(qǐng)你再寫出一個(gè)2的“理想數(shù)對(duì)”：.

【答案】（1，4）（此題答案不唯一，見詳解）

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)a=1，b=4時(shí)，

2

故成立，

所以答案可以是：（1，4）.

此題答案也可以為（4，1）.

【分析】因?yàn)?的值也是整數(shù)，所以要使、開的盡，所以a、b必須是一個(gè)整數(shù)的平方，因?yàn)?的值也是整數(shù)，的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)無分母或者分母為2.

13．（2022八上·黃浦月考）計(jì)算：.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法

【解析】【解答】

，

故答案為.

【分析】利用二次根式的乘法計(jì)算方法求解即可。

14．（2023八上·崇川期末）如圖，在長(zhǎng)方形內(nèi)，兩個(gè)小正方形的面積分別為，，則圖中陰影部分的面積等于.

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵兩個(gè)小正方形的面積分別為，，

∴小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形邊長(zhǎng)為3，

∴陰影部分的長(zhǎng)為3-=2，寬為，

∴陰影部分的面積=2×=4，

故答案為：4.

【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大、小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得陰影部分的長(zhǎng)、寬，接下來根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可.

15．（2023八上·來賓期末）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為，，則它的周長(zhǎng)=.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是，

周長(zhǎng)為：2×（）=2×（2+）=2×3=6，

故答案為：6.

【分析】長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，據(jù)此解答即可.

三、綜合題

16．（2022八上·薛城期中）小明在解決問題：已知，求的值，他是這樣分析與解答的：

，

，

，

，

，，

．

請(qǐng)你認(rèn)真審視小明的解答過程，根據(jù)他的做法解決下列問題：

（1）計(jì)算；

（2）計(jì)算（寫出計(jì)算過程）；

（3）如果，求的值．

【答案】（1）

（2）解：由（1）題的結(jié)論可得：

=

=

=

（3）解：∵，

∴，

∴，

整理可得：，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；分母有理化；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：（1）；

故答案為：；

【分析】（1）根據(jù)小明的解答總結(jié)出規(guī)律即可；

（2）結(jié)合（1）進(jìn)行分母有理化，再合并即可得解；

（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，即可得解。

17．（2022八上·濟(jì)南期中）已知，．

（1）對(duì)x，y進(jìn)行化簡(jiǎn)；

（2）求的值．

【答案】（1）解：

=；

=．

（2）解：因?yàn)椋?/p>

∴=．

【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式求值；分母有理化

【解析】【分析】（1）利用分母有理化化簡(jiǎn)即可；

（2）將x、y的值代入，再計(jì)算即可。

18．（2022八上·西安月考）閱讀材料：像、、兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式例如，與、與、與等都是互為有理化因式在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．

例如；；．

解答下列問題：

（1）與互為有理化因式，將分母有理化得；

（2）計(jì)算：；

（3）已知有理數(shù)a、b滿足，求a、b的值．

【答案】（1）；

（2）解：原式

（3）解：，

，

，

解