信號管理中傅里葉變換說明介紹

傅里葉變換一、傅里葉變換的表述在數(shù)學(xué)上，對任意函數(shù)f(x)，可按某一點進(jìn)行展開，常見的有泰精品文檔放心下載勒展開和傅里葉展開。泰勒展開為各階次冪函數(shù)的線性組合形式，本謝謝閱讀質(zhì)上自變量未改變，仍為x，而傅里葉展開則為三角函數(shù)的線性組合謝謝閱讀形式，同時將自變量由x變成ω，且由于三角函數(shù)處理比較簡單，具感謝閱讀有良好的性質(zhì)，故被廣泛地應(yīng)用在信號分析與處理中，可將時域分析精品文檔放心下載變換到頻域進(jìn)行分析。信號分析與處理中常見的有CFS（連續(xù)時間傅里葉級數(shù)）、CFT精品文檔放心下載（連續(xù)時間傅里葉變換）、DTFT（離散時間傅里葉變換）、DFS（離精品文檔放心下載散傅里葉級數(shù)）、DFT（離散傅里葉變換）。通過對連續(xù)非周期信號xc(t)精品文檔放心下載在時域和頻域進(jìn)行各種處理變換，可推導(dǎo)出以上幾種變換，同時可得感謝閱讀出這些變換之間的關(guān)系。以下將對上述變換進(jìn)行簡述，同時分析它們感謝閱讀之間的關(guān)系。1、CFS（連續(xù)時間傅里葉級數(shù)）在數(shù)學(xué)中，周期函數(shù)f(x)可展開為由此類比，已知連續(xù)周期信號x(t)，周期為T0，則其傅里葉級數(shù)為精品文檔放心下載其中，.-為了簡寫，有其中，為了與復(fù)數(shù)形式聯(lián)系，先由歐拉公式ejz=cosz+jsinz得精品文檔放心下載故有.-令則對于Dn，有n≤0時同理。故CFS圖示如下：.-Figure1理論上，CFS對于周期性信號x(t)在任意處展開都可以做到無誤謝謝閱讀差，只要保證n從-∞取到+∞就可以。在實踐中，只要n取值范圍足感謝閱讀夠大，就可以保證在某一點附近對x(t)展開都有很高的精度。謝謝閱讀2、CFT（連續(xù)時間傅里葉變換）連續(xù)非周期信號x(t)，可以將其看成一連續(xù)周期信號錯誤!未找到精品文檔放心下載引用源。的周期T0→∞。當(dāng)然，從時域上錯誤!未找到引用源。也可以反過來看成x(t)的周期延拓。將x(t)進(jìn)行CFS展開，有謝謝閱讀若令則有.-T0→∞使得Ω0→0，則由此，定義傅里葉變換與其逆變換如下CFT：CFT-1：x(t)是信號的時域表現(xiàn)形式，X(jΩ)是信號的頻域表現(xiàn)形式，二者本質(zhì)感謝閱讀上是統(tǒng)一的，相互間可以轉(zhuǎn)換。CFT即將x(t)分解，并按頻率順序展精品文檔放心下載開，使其成為頻率的函數(shù)。上式中，時域自變量t的單位為秒（s），精品文檔放心下載頻域自變量Ω的單位為弧度/秒（rad/s）。CFS中的Dn與CFT中的X(jΩ)之間有如下關(guān)系精品文檔放心下載即從頻域上分析，Dn是對X(jΩ)的采樣（可將Figure1與Figure2進(jìn)行對比）。精品文檔放心下載CFT圖示如下：Figure23、DTFT（離散時間傅里葉變換）.-首先，先從連續(xù)信號得到離散信號。用沖激信號序列對連續(xù)非周期信號xc(t)進(jìn)行采樣，采樣間隔為Ts，有感謝閱讀此時的xs(t)還不是真正的離散信號，它只是在滿足t=nTs的時間點上有值，在其它時間點上值為零。對xs(t)進(jìn)行進(jìn)一步處理有感謝閱讀規(guī)定則其中，x[n]是最終所得的離散信號。xs(t)自變量為t，其單位為秒s，間隔為TS；x[n]自變量為n，其單位為1，間隔為1。精品文檔放心下載從頻域分析上有.-其中錯誤!未找到引用源。。令錯誤!未找到引用源。，定義感謝閱讀以上式為DTFT定義式。DTFT逆變換為DTFT是在時域上對CFT的采樣（圖示可見Figure3與Figure4），在DTFT中，時域信號x[n]為離散的，而對應(yīng)的頻域表示X(ejω)為連續(xù)的，且有周期ωs=2π。謝謝閱讀X(ejω)與Xs(jΩ)之間的關(guān)系為ω=ΩTsXs(jΩ)中，自變量Ω單位為弧度/秒（rad/s），周期為Ωs=2π/Ts；X(ejω)中，自變量ω單位為弧度（rad），周期為ωs=2π。精品文檔放心下載CFT時域采樣圖示如下：.-Figure3DTFT圖示如下：Figure44、DFS（離散時間傅里葉級數(shù)）在離散時間信號x[n]基礎(chǔ)上，用沖激序列DTFT中的X(ejω)進(jìn)行采樣，采樣間隔為ω=2π/N，則有精品文檔放心下載而S(ω)的逆DTFT變換為.-Xs(ejω)進(jìn)行逆DTFT變換，有xs[n]相當(dāng)于對x[n]進(jìn)行了周期延拓，周期為N=2π/Δω。由上式可得精品文檔放心下載若延拓周期N大于x[n]的時長，則延拓不會發(fā)生混疊，于是謝謝閱讀k為任意整數(shù)令周期信號錯誤!未找到引用源。，k為任意整數(shù)，則有.-ω=2πk/N，令則有錯誤!未找到引用源。是以k為自變量的函數(shù)，有以下性質(zhì)精品文檔放心下載m為任意整數(shù)即錯誤!未找到引用源。的周期為 N。為了避免重復(fù)計算，我們只考精品文檔放心下載慮一個周期N內(nèi)的情況，即同時，.-錯誤!未找到引用源。為時域表示，錯誤!未找到引用源。為頻域表示。謝謝閱讀故定義DFS為其逆變換為錯誤!未找到引用源。的自變量n單位為1，周期為N；錯誤!未感謝閱讀找到引用源。的自變量k單位為1，周期也為N。DFS應(yīng)用于離散時感謝閱讀間周期性信號中，其相當(dāng)于在頻域中對DTFT采樣，而對應(yīng)地在時域精品文檔放心下載中相當(dāng)于對DTFT進(jìn)行周期延拓（圖示見Figure5與Figure6）。DFS精品文檔放心下載DTFT的關(guān)系為DTFT頻域采樣圖示如下：.-Figure5DFS圖示如下：Figure65、DFT（離散傅里葉變換）DFS基礎(chǔ)上，取離散時間周期性信號錯誤!未找到引用源。的基礎(chǔ)上，0,1,2,…N-1這一個周期內(nèi)的N個點，得感謝閱讀其中，RN[n]表示當(dāng)n=0,1,2,…N-1時函數(shù)取值為1，當(dāng)n取其它值時函數(shù)取值為0。定義DFT為感謝閱讀其逆變換為xd[n]的自變量n單位為1，時長為N；Xd[k]的自變量k單位為1，時長也為N。DFT相當(dāng)于對DFS的時域及頻域都取0,1,2,…N-1這一個周期內(nèi)的N個點。感謝閱讀.-6、傅里葉變換之間的關(guān)系傅里葉變換之間的關(guān)系主要有兩點，一是采樣與周期延拓之間的謝謝閱讀對應(yīng)關(guān)系，二是對自變量的替換關(guān)系。（1）采樣與周期延拓之間的對應(yīng)關(guān)系采樣與周期延拓之間是一種對應(yīng)關(guān)系，時域中對信號采樣相當(dāng)于精品文檔放心下載在頻域中對信號進(jìn)行周期延拓，同樣地，頻域中對信號采樣相當(dāng)于在感謝閱讀時域中對信號進(jìn)行周期延拓，二者間是對應(yīng)與平行的關(guān)系，不存在因謝謝閱讀果關(guān)系。傅里葉變換中的CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT可由連續(xù)非周感謝閱讀期信號xc(t)進(jìn)行采樣及周期延拓處理得到各種變換，它們之間的關(guān)系如圖Figure7與Figure8：謝謝閱讀Figure7.-Figure8上兩圖中，藍(lán)色箭頭表示在時域或頻域中采取的主動措施，白色箭頭感謝閱讀表示在頻域或時域中產(chǎn)生的相應(yīng)變換。（2）對自變量的替換關(guān)系在對信號進(jìn)行采樣與周期延拓的同時，對自變量進(jìn)行某種替換，感謝閱讀從而完成傅里葉變換類型的轉(zhuǎn)變。傅里葉變換中對自變量的替換情況如圖Figure9所示。CFS適用謝謝閱讀于連續(xù)周期性信號錯誤!未找到引用源。，其自變量t單位為秒（s），感謝閱讀相應(yīng)的幅頻譜|Dn|中，自變量n單位為1。而CFT適用于連續(xù)非周期感謝閱讀信號xc(t)，其自變量t單位為秒（s），對應(yīng)的頻域信號為Xc(jΩ)，其謝謝閱讀自變量Ω單位為弧度/秒（rad/s）。由CFS變成CFT相當(dāng)于連續(xù)周期謝謝閱讀性信號錯誤!未找到引用源。的周期T0趨于無窮，而在頻域中則為自感謝閱讀.-變量的替換，由n變成Ω，替換關(guān)系為DTFT適用于離散時間信號x[n]，其自變量n單位為1，對應(yīng)的頻域信號為X(ejω)，自變量ω單位為弧度（rad）。由CFT變成DTFT相當(dāng)于對連續(xù)信號xc(t)采樣及離散化，自變量由t替換為n，替換關(guān)感謝閱讀系為t=nTs，而在頻域中則為周期延拓及自變量的替換，由Ω替換為ω，替換關(guān)系為ω=ΩTs。精品文檔放心下載DFS適用于離散周期性信號錯誤!未找到引用源。，其自變量n單位為1，對應(yīng)的頻域信號為錯誤!未找到引用源。，自變量k單位為1。精品文檔放心下載DTFT變成DFS相當(dāng)于在頻域中對X(ejω)進(jìn)行采樣、離散化與自變量替換，由ω替換為k，替換關(guān)系為ω=2πk/N。感謝閱讀DFT的時域與頻域序列長度都為N個點（0,1,2,…N-1），時域自變量n單位為1，頻域自變量k單位為1。精品文檔放心下載由圖Figure7、Figure8和Figure9可以清楚地研究非相鄰變換之間的關(guān)系。感謝閱讀.-Figure9二、與相關(guān)教材內(nèi)容的辨析1、《SignalProcessingandLinearSystems》（B.P.Lathi,Oxford精品文檔放心下載UniversityPress）書中首先將高等數(shù)學(xué)中的向量理論擴(kuò)展到了信號系統(tǒng)中，引出正謝謝閱讀交信號空間的定義，指出任意信號x(t)可用正交信號空間的線性組合精品文檔放心下載表示，進(jìn)而引出三角傅里葉級數(shù)，將這種表示用三角函數(shù)的線性組合謝謝閱讀表示。CFS的來源介紹比我對CFS的自述更加詳細(xì)具體，更有邏輯謝謝閱讀性，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的延伸，CFS定義部分與我的自述大體相同。精品文檔放心下載書中由CFS引出CFT，指出連續(xù)非周期信號xc(t)相當(dāng)于將連續(xù)感謝閱讀周期性信號錯誤!未找到引用源。的周期T0趨于無窮，然后對xc(t)按精品文檔放心下載CFS方法展開，中間過程中引出了CFT。這一部分與我的自述大體相同。只是我在對傅里葉變換的總結(jié)中將xc(t)進(jìn)行無混疊的周期性延拓，反向也得出了錯誤!未找到引用源。。這只是對傅里葉變換的又一種理解，但從本源上考慮，還應(yīng)該是由連續(xù)周期性信號錯誤!未找到引用源。得出連續(xù)非周期信號xc(t)。謝謝閱讀.-書中接下來先介紹的是DFS。書中由CFS類比定義了DFS，定感謝閱讀義為其中，這種定義與我對DFS的自述略有差別。書中完全按照CFS的定義模式定義的，書上在此之后也按照CFS的模式給出了Dr的幅頻譜與相頻譜。而我的自述則采用類似CFT的定義方式，即正變換為從時域變到頻域，逆變換為從頻域變到時域，其次書中使用的字母表示方式與我的自述略有差異，不過本質(zhì)上意義是相同的。謝謝閱讀緊接著，書中由DFS引出了DFT，指出DFT的時域及頻域都為N點有限序列，此處與我對DFT的自述大體相同，但未進(jìn)行深入說明。之后，類似于由CFS引出CFT，書中由DFS中的離散時間周期函數(shù)錯誤!未找到引用源。引出離散時間非周期函數(shù)x[k]（令周期N0謝謝閱讀→∞），然后對x[k]按照DFS的方法展開，在中間推導(dǎo)過程中引出了感謝閱讀DTFT?？傊陔x散時間信號的傅里葉變換中，書上是類比CFS引精品文檔放心下載CFT的模式，由DFS引出DTFT，而DFT也由DFS引出，只是未做重點講解，實質(zhì)上是從時域角度出發(fā)，與連續(xù)時間信號進(jìn)行同等過程的類比。我對離散時間信號傅里葉變換的自述則從頻域角度出發(fā)，感謝閱讀.-與連續(xù)時間信號的時域推導(dǎo)過程進(jìn)行同等過程的類比。二者分析方向感謝閱讀不同，順序不同，但本質(zhì)上是相同的。這也從側(cè)面反映出傅里葉變換感謝閱讀將單純的時域分析引向時域與頻域的雙領(lǐng)域分析，增加了對信號分析精品文檔放心下載與處理的方法與方向，有利于更好地對信號進(jìn)行理解。2、《信號與系統(tǒng)》書中也是首先將高等數(shù)學(xué)中的向量理論擴(kuò)展到了信號系統(tǒng)中，引謝謝閱讀出正交信號空間的定義，指出任意周期為T0的信號x(t)可進(jìn)行正交分精品文檔放心下載解，而正余弦信號集是比較特殊的正交信號集，并用正余弦信號集表精品文檔放心下載示信號，達(dá)到一種分解的目的，從而定義出CFS，并將正余弦信號集謝謝閱讀進(jìn)一步擴(kuò)展為虛指數(shù)信號集，從而將指數(shù)形式的CFS表示出來。在精品文檔放心下載表示方式上與我的自述基本相同。而書中對三角形式的CFS與指數(shù)謝謝閱讀形式的CFS總結(jié)比較清楚，并對各自形式的幅頻譜進(jìn)行了比較，指謝謝閱讀出指數(shù)形式CFS的頻譜為雙邊譜，而三角形式的CFS的頻譜為單邊謝謝閱讀譜。而由CFS導(dǎo)出CFT的敘述則基本與我的自述相同，即連續(xù)非周感謝閱讀期信號xc(t)相當(dāng)于將連續(xù)周期性信號錯誤!未找到引用源。的周期T0感謝閱讀趨于無窮，然后對xc(t)按照CFS方法展開，中間過程中引出了CFT。感謝閱讀書中對DFS的描述，類比于對CFS的描述，采用離散形式的虛謝謝閱讀指數(shù)正交信號集對離散時間周期性信號表示，表示方式與上一本書相謝謝閱讀同。由DFS引出DTFT時類比于由CFS引出CFT的過程，將離散時精品文檔放心下載間周期性信號周期趨于無窮，得出離散時間非周期性信號，按照DFS謝謝閱讀的方式對信號進(jìn)行分解表示，在推導(dǎo)過程中引出DTFT的定義，過程精品文檔放心下載與上一本書基本相同。而DTFT也可對離散時間周期性信號進(jìn)行處感謝閱讀.-理。對DFT并未做重點描述。總之，兩本書對傅里葉變換的描述都是先對連續(xù)時間信號進(jìn)行討謝謝閱讀論，然后離散時間信號中的討論參考連續(xù)時間信號中的討論，層次清感謝閱讀晰，可比性強(qiáng)。我的自述主要側(cè)重于對信號的時域或頻域進(jìn)行各種處謝謝閱讀理，引出傅里葉變換的各種形式，可加深對傅里葉變換各種形式之間感謝閱讀關(guān)系的理解。三、傅里葉變換的應(yīng)用1、應(yīng)用傅里葉變換主要是為了將一般性的信號用較規(guī)則的、性質(zhì)良好的三角函數(shù)進(jìn)行表示，從而可以從頻域的角度進(jìn)行信號分析與處理，擴(kuò)充了信號分析與處理的分析領(lǐng)域，簡化了分析與處