第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\r(x－1)＋log3(4－x)的定義域?yàn)?)A．{x|1<x<4}B．{x|1≤x≤4}C．{x|1<x≤4}D．{x|1≤x<4}2．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()A．v＝0.5tB．v＝0.5(t2－1)C．v＝log0.5tD．v＝log2t3．已知ab＝－5，則aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5)B．0C．－2eq\r(5)D．±2eq\r(5)4．函數(shù)f(x)＝－x5－x＋3的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A．(1，2)B．(2，3)C．(0，1)D．(－1，0)5．已知a＝log0.32，b＝30.3，c＝0.32，則()A．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．c<a<bD．b<c<a6．已知函數(shù)f(x)＝a＋eq\f(2,2x＋1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a＝()A．1B．－1C．2D．－37．函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的圖象為()8．某地有一片長期被污染水域，經(jīng)過治理后生態(tài)環(huán)境得到恢復(fù)，在此水域中生活的魚類數(shù)量可以采用阻滯增長模型x(t)＝eq\f(M,1＋（\f(M,x0)－1）e－rt)進(jìn)行預(yù)測，其中x(t)為t年后的魚類數(shù)量，r為自然增長率，M(單位：萬條)為飽和量，x0(單位：萬條)為初始值．已知2022年底該水域的魚類數(shù)量為20萬條，以此為初始值，若自然增長率為0.14，飽和量為1600萬條，那么預(yù)計(jì)2032年底該水域的魚類數(shù)量約為(參考數(shù)據(jù)e1.4≈4)()A．68萬條B．72萬條C．77萬條D．83萬條二、多項(xiàng)選擇題9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x3－2x＋1的零點(diǎn)，下列選項(xiàng)說法正確的是()A．(1，0)是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)B．f(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)存在零點(diǎn)C．f(x)至少有2個(gè)零點(diǎn)D．f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與x3－2x＋1＝0的解的個(gè)數(shù)不相等10．已知logeq\s\do9(\f(1,2))a<logeq\s\do9(\f(1,2))b，則下列不等式一定成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B．(eq\f(1,4))a<(eq\f(1,3))bC．ln(a－b)>0D．3a－b>111．圖①是某大型游樂場的游客人數(shù)x(萬人)與收支差額y(萬元)(門票銷售額減去投入的成本費(fèi)用)的函數(shù)圖象，銷售初期該游樂場為虧損狀態(tài)，為了實(shí)現(xiàn)扭虧為盈，游樂場采取了兩種措施，圖②和圖③中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說法正確的是()A.圖①中點(diǎn)A的實(shí)際意義表示該游樂場的投入的成本費(fèi)用為1萬元B．圖①中點(diǎn)B的實(shí)際意義表示當(dāng)游客人數(shù)為1.5萬人時(shí)，該游樂場的收支恰好平衡C．圖②游樂場實(shí)行的措施是降低門票的售價(jià)D．圖③游樂場實(shí)行的措施是減少投入的成本費(fèi)用12．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（\f(1,3)）x，x≤a,－x2＋2x＋1，x>a))，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)B．不論a為何值，函數(shù)f(x)既沒有最小值，也沒有最大值C．不論a為何值，函數(shù)f(x)的圖象與x軸都有交點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)三、填空題13．已知函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,5))ax，其中a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－1，5)，則a＝________．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x（x≤0）,log2x，（x>0）))，則f(f(eq\f(1,16)))＝________．15．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝loga(－x2＋2x＋3)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．16．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,－x2－2x＋1，x<0))，函數(shù)f(x)有________個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)y＝f(x)－m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．四、解答題17．計(jì)算下列兩個(gè)小題：(1)eln3＋2lgeq\r(2)＋lg15＋lgeq\f(1,3)；(2)80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(2)×eq\r(3,3))6＋π0.18．己知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0,log2（x＋1），x>0)).(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)y＝f(x)－m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

19．已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)P.(1)求P的坐標(biāo)；(2)若f(x)在[2，4]上的圖象始終在直線y＝－x＋8的下方，求a的取值范圍．

20．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(1)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\f(1,4))，求f(x)在區(qū)間[－1，1]上的值域；(2)求使得不等式f(x2－x)>1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

21．Logistic模型是常用的預(yù)測區(qū)域人口增長的模型之一，其形式為Pt＝eq\f(K,1＋C×e－rt)，其中Pt是間隔年份t時(shí)的人口數(shù)量，K是有關(guān)人口極限規(guī)模的待定參數(shù)，r、C是有關(guān)人口增長率和初始人口數(shù)量的特定參數(shù)，已知某地區(qū)的人口數(shù)據(jù)如下表；時(shí)間2010年2015年2020年…間隔年份t(單位：年)0510…人口數(shù)量Pt(單位：萬)8086.36892.076…該地區(qū)某中學(xué)學(xué)生組成的建模小組對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)Logistic函數(shù)Pt＝eq\f(120,1＋0.5×e－0.05t)能比較好地描述2010年起該地區(qū)的人口數(shù)量Pt(單位：萬)與間隔年份t(單位：年)的關(guān)系．(1)請(qǐng)估計(jì)該地區(qū)2030年的人口數(shù)量(結(jié)果保留3位小數(shù))；(2)請(qǐng)估計(jì)該地區(qū)2020年到2030年的年平均增長率a(結(jié)果保留3位小數(shù)).參考數(shù)據(jù)：e－0.5≈0.607，e－1≈0.368，(eq\f(101.351,92.076))0.1≈1.010.

22．已知函數(shù)f(x)＝log2x.(1)若a>b>0，證明：eq\f(f（a）＋f（b）,2)<f(eq\f(a＋b,2))；(2)若g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝f(x＋2)－1.(ⅰ)求g(x)的解析式；(ⅱ)求方程2g(x)－x＝0的所有根.

參考答案1．D2．D3．B4．A5．A6．B7．A8．C9．BC10．BD11．ABD12．ABD13．114．eq\f(1,81)15．(1，3)16．1(1，2)17．解：(1)eln3＋2lgeq\r(2)＋lg15＋lgeq\f(1,3)＝3＋lg2＋lg15＋lgeq\f(1,3)＝3＋lg(2×15×eq\f(1,3))＝4.(2)80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(2)×eq\r(3,3))6＋π0＝20.75×20.25＋(eq\r(2))6×(eq\r(3,3))6＋1＝2＋8×9＋1＝75.18．解：(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：(2)由圖象得：f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0)，(0，＋∞)；無單調(diào)遞減區(qū)間．(3)若函數(shù)y＝f(x)－m有兩個(gè)零點(diǎn)，則y＝f(x)與y＝m有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象得1<m≤2.19．解：(1)令x＝2，則f(2)＝loga1＋2＝2，所以P的坐標(biāo)為(2，2).(2)對(duì)直線y＝－x＋8，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝6，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增，則f(4)＝loga3＋2<4，得a>eq\r(3).當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在[2，4]上單調(diào)遞減，f(2)＝2<4恒成立．故a的取值范圍為(0，1)∪(eq\r(3)，＋∞).20．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\f(1,4))，所以a2＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝(eq\f(1,2))x，所以f(x)在[－1，1]上為減函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(1)＝eq\f(1,2)，最大值為f(－1)＝2，所以f(x)的值域?yàn)閇eq\f(1,2)，2].(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以f(x2－x)>1即為ax2－x>1，所以ax2－x>a0，當(dāng)a>1時(shí)，所以f(x)在區(qū)間R上單調(diào)遞增，則x2－x>0，解得x<0或x>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，所以f(x)在區(qū)間R上單調(diào)遞減，則得x2－x<0，解得0<x<1，綜上可得當(dāng)a>1時(shí)，x的范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)；當(dāng)0<a<1時(shí)，x的范圍是(0，1).21．解：(1)2030年即間隔年份為20年，該地區(qū)的人口數(shù)量P20＝eq\f(120,1＋0.5×e－0.05×20)＝eq\f(120,1＋0.5×0.368)≈101.351，該地區(qū)2030年的人口數(shù)量大約為101.351萬．(2)由表可知2020年的人口數(shù)量為92.076萬，又由(1)知2030年的人口數(shù)量大約為101.351萬，則有92.076×(1＋a)10＝101.351，即(1＋a)10＝eq\f(101.351,92.076)，解得a＝(eq\f(101.351,92.076))eq\s\up6(\f(1,10))－1≈0.010，所以該地區(qū)2020年到2030年的年平均增長率a大約為0.010.22．解：(1)證明：因?yàn)閍>b>0，所以f(a)＋f(b)＝log2a＋log2b＝log2ab，f(eq\f(a＋b,2))＝log2eq\f(a＋b,2)，由基本不等式，當(dāng)a≠b時(shí)，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，即eq\f(log2a＋log2b,2)＝log2eq\r(ab)<log2eq\f(a＋b,2)，即eq\f(f（a）＋f（b）,2)<f(eq\f(a＋b,2)).(2)(ⅰ)依題意得，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝log2(x＋2)－1，因?yàn)間(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(0)＝0，代入上式成立，即當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝log2(x＋2)－1，設(shè)x<0，則－x>0，所以g(x)＝－g(－x)＝1－log2(2－x)，所以g(x)＝eq\b\lc