矩陣的初等變換

矩陣的初等變換第1頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系三、初等變換與初等矩陣四、初等變換的應(yīng)用第2頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換消元法第3頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①②③④①②③÷2①②③④第4頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④第5頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④第6頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④－2×③③④①②③④①②③④第7頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月取x3

為自由未知數(shù)，則令x3=c

，則恒等式無(wú)意義可去掉①②③④第8頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上述消元過(guò)程中共使用了三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程，記作；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍，記作.

上面三種變換都可逆，其逆變換是：iji×ki＋kj第9頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過(guò)程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．對(duì)方程組的變換，可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣的變換。第10頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義1：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)換兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．初等變換初等行變換初等列變換第11頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月增廣矩陣結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換系數(shù)矩陣加上常數(shù)項(xiàng)后稱為增廣矩陣第12頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①②③④①②③④①②③÷2第13頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④第14頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④第15頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④－2×③③④①②③④①②③④第16頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①②③④第17頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B5

對(duì)應(yīng)方程組為令x3=c

，則第18頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“=”．例如：矩陣加法 ＋數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 ×矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式 |?|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“～”．例如：初等行變換初等列變換第19頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限次初等行變換有限次初等列變換行等價(jià)，記作列等價(jià)，記作二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系第20頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作第21頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2

若非零矩陣滿足①可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；②每個(gè)臺(tái)階只有一行；③階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.則稱此矩陣為行階梯形矩陣進(jìn)一步，若還滿足④非零行的第一個(gè)非零元為1;⑤這些非零元所在的列的其它元素都為零.則稱為行最簡(jiǎn)形矩陣第22頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B5行最簡(jiǎn)形矩陣

特征：F左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣第23頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系第24頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等變換結(jié)論有限次初等行變換第25頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義3：由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．三、初等變換與初等矩陣第26頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)對(duì)調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

Em(i,j)．

記作

E5(3,5)第27頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E5(3(k))記作

Em(i(k))．第28頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

Em(ij(k))．記作

E5(35(k))以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．分行、列兩種理解！第29頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1

設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左行右列.第30頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月驗(yàn)證第31頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對(duì)調(diào)，即.把矩陣A的第i列與第j列對(duì)調(diào)，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.第33頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第34頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．第35頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．第36頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．第37頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論初等矩陣的逆矩陣：第38頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2

方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2

…,Pl

．證充分性A=P1

P2

…,Pl

因初等矩陣可逆，有限個(gè)初等矩陣的乘積仍可逆，故A可逆必要性A可逆→A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換成為行最簡(jiǎn)形矩陣B→根據(jù)性質(zhì)1，存在初等矩陣Q1,Q2,…,Ql,使得B

可逆B

為單位矩陣其中注意此時(shí)，B為行最簡(jiǎn)形矩陣，具有n個(gè)非零行第39頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如第40頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推論

方陣

A可逆的充要條件是.定理1

設(shè)有矩陣Am×n

與Bm×n，那么（1）的充要條件是存在m階可逆矩陣P，使

PA=B

；（2）的充要條件是存在n階可逆矩陣Q，使AQ=B；（3）的充要條件是存在m階可逆矩陣P

及n階可逆矩陣

Q，使得PAQ=B.初等行變換初等行變換初等行變換……證

(1)第41頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、初等變換的應(yīng)用第42頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解例1第43頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月初等行變換所以第45頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2解第46頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月行變換列變換第49頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

求解線性方程組解將方程組寫(xiě)成矩陣形式A

x=b

，則增廣矩陣為第50頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)锳

E，故A

可逆，于是線性方程組有解，且解為r~注意：本題在第二章例16（P.45）用克拉默法則與逆矩陣求解過(guò)。比較而言，此種方法較為簡(jiǎn)便快捷，尤其針對(duì)變量多、方程多時(shí)，更具優(yōu)越性?；蛘撸谩俺醯刃凶儞Q不改變方程組的解”原理，得第51頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2矩陣的秩第52頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣秩的概念定義4：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的不同k

階子式共有個(gè)．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式3階子式第53頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式第54頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三階子式（行列式）子塊/分塊矩陣a22=5的余子式a22=5的代數(shù)余子式第55頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣A的一個(gè)3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個(gè)3階子式也等于零．那么，如果有一個(gè)2階子式不等于零呢？第56頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義5：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．但是，A

的4個(gè)3階子式全部等于零！所以，R(A)=2第57頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣A中任何一個(gè)r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來(lái)表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實(shí)上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩r

就是A

中非零子式的最高階數(shù)．第58頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個(gè)s

階子式不等于零，則R(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則R(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個(gè)，即|A|． 當(dāng)|A|≠0時(shí)，R(A)=n;

可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣． 當(dāng)|A|=0時(shí)，R(A)<n;

不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．第59頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣A的一個(gè)2階子式矩陣AT

的一個(gè)2階子式所以，AT

的子式與A

的子式對(duì)應(yīng)相等，從而R(AT)=R(A)．證明R(AT)=R(A)第60頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．二、矩陣秩的計(jì)算第61頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5（續(xù)）：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的3階子式，因此R(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？第62頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5（續(xù)）：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B還有其它3階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．第63頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個(gè))，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的．后面解決第64頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？第65頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2：若A~B，則R(A)=R(B)

．證明思路：證明A

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)．

B

也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)锳，則R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．經(jīng)過(guò)一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過(guò)有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變．設(shè)A

經(jīng)過(guò)初等列變換變?yōu)锽，則AT

經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)锽T

，從而R(AT)=R(BT)． 又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．第66頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第1步：

A

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)．證明：設(shè)

R(A)=r，且A

的某個(gè)r

階子式D≠0．當(dāng)或時(shí)， 在B

中總能找到與D

相對(duì)應(yīng)的r

階子式D1． 由于D1=D或D1=－D或D1=kD，因此D1≠0，從而

R(B)≥r當(dāng)時(shí)，只需考慮這一特殊情形．第67頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明（續(xù)）：分兩種情形討論：(1)D

中不包含A的第一行 這時(shí)D

也是B

的r

階非零子式，故R(B)≥r

．(2)D

中包含A的第一行 這時(shí)B

中與D

相對(duì)應(yīng)的r階子式D1為第68頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若p=2，則D2=0，D=D1≠0，從而R(B)≥r；若p≠2，則D1－kD2=D

≠0， 因?yàn)檫@個(gè)等式對(duì)任意非零常數(shù)k

都成立， 所以D1、D2

不同時(shí)等于零， 于是B

中存在r

階非零子式D1或D2，從而R(B)≥r， 即R(A)≤R(B)．第2步：根據(jù)第1步的證明，反過(guò)來(lái)B

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)锳，則R(B)≤R(A)．第69頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩。例6（續(xù)）：求矩陣A

的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式。于是，經(jīng)過(guò)一次初等變換，R(A)=R(B).故經(jīng)過(guò)有限次初等變換，也有R(A)=R(B)成立.第70頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：第一步，先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣。行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3．第二步，求A的最高階非零子式。選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列第71頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月R(A0)=3，計(jì)算A0的前3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．第72頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分析：對(duì)B

作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)B

的行階梯形矩陣為，則就是A

的行階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出R(A)及R(B)．例7：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3第73頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(A)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當(dāng)B=b

為非零列向量時(shí)，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，則R(A)＋R(B)≤n．矩陣的秩的性質(zhì)第74頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當(dāng)B=b

為非零列向量時(shí)，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

證因?yàn)锳的最高階非零子式一定是(A,B)的非零子式，所以R(A)≤R(A,B)，同理R(B)≤R(A,B).兩者結(jié)合起來(lái)，有Max{R(A),R(B)}≤=R(A,B)設(shè)R(A)=r，R(B)=t.把AT和BT分別作初等行變換化成行階梯型矩陣和.因?yàn)榫仃嚭退霓D(zhuǎn)置矩陣的秩相等，故和分別含r個(gè)和t個(gè)非零行，從而中的非零行不大于r+t.又因?yàn)榈?5頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第76頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B)即得設(shè)A和B是m×n矩陣，對(duì)矩陣作初等行變換證于是第77頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．證明：因?yàn)?/p>

(A＋E)＋

(E－A)=2E，由性質(zhì)“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)

=n又因?yàn)镽(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n(E-A)~(A-E)第78頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．因?yàn)镽(C)=R(PC)，而，所以解：因?yàn)?/p>

R(A)=n，

所以A

的行最簡(jiǎn)形矩陣為設(shè)m

階可逆矩陣P

，滿足于是故R(B)=R(C)第79頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月附注：當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣．特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣． 因此，本例的結(jié)論當(dāng)A為方陣時(shí)，就是性質(zhì)④．本題中，當(dāng)C=O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．反證法第80頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3線性方程組的解第81頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般形式矩陣方程的形式方程組可簡(jiǎn)化為AX=b增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式第82頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性方程組的解的判定設(shè)有n

個(gè)未知數(shù)m

個(gè)方程的線性方程組

線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無(wú)解，就稱它是不相容的．問(wèn)題1：方程組是否有解？問(wèn)題2：若方程組有解，則解是否唯一？問(wèn)題3：若方程組有解且不唯一，則如何確定所有的解？

m、n

不一定相等！第83頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3：n

元線性方程組Ax=b無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．分析：只需證明條件的充分性，即R(A)<R(A,b)無(wú)解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n無(wú)窮多解．那么無(wú)解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；無(wú)窮多解R(A)=R(A,b)<n．由矩陣的秩判斷方程組的解第84頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一，往證R(A)<R(A,b)無(wú)解．若R(A)<R(A,b)，則dr+1=1．于是第r+1行對(duì)應(yīng)矛盾方程0=1，故原線性方程組無(wú)解．證明：設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)B=(A,b)的行最簡(jiǎn)形矩陣為第85頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二，往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，則dr+1=0且r=n，

從而bij

都不出現(xiàn)。故原線性方程組有唯一解．對(duì)應(yīng)的線性方程組為n00第86頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三，往證R(A)=R(A,b)<n無(wú)窮多解．若R(A)=R(A,b)<n，即r<n，

則dr+1=0.對(duì)應(yīng)的線性方程組為第87頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令xr+1,…,xn

作自由變量，則再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解第88頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10：求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無(wú)窮多解．第89頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則令x3=c,原方程組的通解可表示為第90頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例11：求解非齊次線性方程組解：因?yàn)?/p>

R(A)=2，R(A,b)=3，故原線性方程組無(wú)解．第91頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例12：求解齊次線性方程組提問(wèn)：為什么只對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣？答：因?yàn)辇R次線性方程組AX=0的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可從R(A)判斷齊次線性方程組的解的情況．第92頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月~第93頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令x3=c1,x4=c2通解第94頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例13：設(shè)有線性方程組問(wèn)l

取何值時(shí)，此方程組有(1)唯一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解．第95頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解法1：對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣．第96頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月附注：對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：如果作了這樣的變換，則需對(duì)l+1=0（或l+3=0）的情況另作討論．第97頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù)l

取何值時(shí)，r2、r3

是非零行．在r2、r3

中，有5處地方出現(xiàn)了l

，要使這5個(gè)元素等于零，l=0，3，－3，1．實(shí)際上沒(méi)有必要對(duì)這4個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手．第98頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是當(dāng)l≠0且l≠－3時(shí)，R(A)=R(B)=3，有唯一解．當(dāng)l=0時(shí)，R(A)=1，R(B)=2，無(wú)解．當(dāng)l=－3時(shí)，R(A)=R(B)=2，有無(wú)限多解．第99頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解法2：因?yàn)橄禂?shù)矩陣A

是方陣，所以方程組有唯一解的充分必要條件是|A|≠0．于是當(dāng)l≠0且l≠－3時(shí)，方程組有唯一解．第100頁(yè)，課件共105頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月R(A)=1，R(B)=2，方程組無(wú)解．R(A)=R(B)=2，方程組有無(wú)限多個(gè)解，其通解為當(dāng)l=0時(shí)，當(dāng)l=－