上海匯民高級中學高二數(shù)學文期末試題含解析

上海匯民高級中學高二數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，，.若，分別是棱，上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.設(shè)為雙曲線的左焦點，在軸上點的右側(cè)有一點，以為直徑的圓與雙曲線左、右兩支在軸上方的交點分別為，則的值為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.下列敘述錯誤的是（

）A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”。B.若命題，則。C.若為真命題，則均為真命題。D.“＞2”是“＞0”的充分不必要條件。參考答案：C4.已知動點在橢圓上,若點坐標為,,且則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由可知點M的軌跡為以點A為圓心，1為半徑的圓，

過點P作該圓的切線PM，則|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2-1，

∴要使得的值最小，則要的值最小，而的最小值為a-c=2，

此時＝，故選B．考點：橢圓的定義．5.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，則k=（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：D【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】先由等差數(shù)列前n項和公式求得Sk+2，Sk，將Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程求解．【解答】解：根據(jù)題意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故選D6.甲、乙兩人下棋，和棋概率為，乙獲勝概率為，甲獲勝概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題．【分析】由于甲獲勝與兩個人和棋或乙獲勝成立；甲獲勝概率等于1減去和棋概率再減去乙獲勝概率即可．【解答】解：甲獲勝概率是1﹣故選C【點評】求一個事件的概率關(guān)鍵是判斷出此事件的類型，然后選擇合適的公式．7.已知直線過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,與C交于A,B兩點,|AB|=12,P為C的準線上一點,則的面積為(

)A、18

B、24

C、36

D、48參考答案：C略8.已知集合，，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：B9.程序框圖如圖21－1所示，則該程序運行后輸出的B等于()圖21－1A．7

B．15C．31

D．63參考答案：D10.下列求導運算正確的是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用導數(shù)運算公式，對每個選項進行一一判斷.【詳解】對A，因為，故A錯；對B，，故B正確；對C，，故C錯；對D，，故D錯.所以本題選B.【點睛】熟記導數(shù)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的求導，即，不能漏了前面的負號.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD–A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，，3D打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.參考答案：118．8【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.【詳解】由題意得，，四棱錐O?EFG的高3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．【點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．12.等比數(shù)列{an}的公比q＞1，+=3，a1a4=，則a3+a4+a5+a6+a7+a8=．參考答案：63【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由等比數(shù)列的定義和性質(zhì)求出a3=1，公比q=2，再由等比數(shù)列的前n項和公式計算可得．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的公比q＞1，+=3，a1a4=，∴a2?a3=a1?a4=，∴+==3=2（a2+a3），∴a2+a3=．解得a2=，a3=1，故公比q=2．∴a3+a4+a5+a6+a7+a8==63，故答案為：6313.曲線在點處的切線的方程為

參考答案：y=14.已知=1﹣i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，則a=．參考答案：1【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算性質(zhì)，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案為：1．15.函數(shù)y=的定義域是．參考答案：[1，+∞）【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由log2（4x﹣3）≥0，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：由log2（4x﹣3）≥0，∴4x﹣3≥1，解得x≥1．∴函數(shù)y=的定義域是[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根式函數(shù)的定義域，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，則f(x)有()A．最大值為0

B．最小值為0

C．最大值為－4

D．最小值為－4參考答案：C略17.在展開式中，如果第項和第項的二項式系數(shù)相等，則

，

.參考答案：4；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）當時，，求證：．參考答案：(1)見解析；(2)證明見解析【分析】（1）由f（x）含有參數(shù)a，單調(diào)性和a的取值有關(guān)，通過分類討論說明導函數(shù)的正負，進而得到結(jié)論；（2）法一：將已知變形，對a分類討論研究的正負，當與時，通過單調(diào)性可直接說明，當時，可得g（x）的最大值為,利用導數(shù)解得結(jié)論．法二：分析時，且使得已知不成立；當時，利用分離變量法求解證明.【詳解】（1），①當時，由得，得，所以在上單調(diào)遞增；②當時，由得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減；（2）法一：由得（*），設(shè)，則，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，，可知且時，，，可知（*）式不成立；②當時，，所以在上單調(diào)遞減，，可知（*）式成立；③當時，由得，所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，所以，由（*）式得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，而，h（1）=1-2=-1<0，所以存在t，使得h（t）=0，由得；綜上所述，可知．法二：由得（*），①當時，得，且時，，可知（*）式不成立；②當時，由（*）式得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，（**），當時，，得，所以在上遞增，同理可知在上遞減，所以，結(jié)合（**）式得，所以，綜上所述，可知．【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及到了導數(shù)的應(yīng)用、分類討論、構(gòu)造函數(shù)等方法技巧，屬于較難題．19.某校從高二年級學生中隨機抽取100名學生，將他們某次考試的數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到頻率分布直方圖（如圖所示），（1）求分數(shù)在[70，80）中的人數(shù)；（2）若用分層抽樣的方法從分數(shù)在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5人，該5人中成績在[40，50）的有幾人？（3）在（2）中抽取的5人中，隨機選取2人，求分數(shù)在[40，50）和[50，60）各1人的概率．參考答案：（1）30；（2）2；（3）【分析】（1）由頻率分布直方圖先求出分數(shù)在[70，80）內(nèi)的概率，由此能求出分數(shù)在[70，80）中的人數(shù)．（2）分數(shù)在[40，50）的學生有10人，分數(shù)在[50，60）的學生有15人，由此能求出用分層抽樣的方法從分數(shù)在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5人，抽取的5人中分數(shù)在[40，50）的人數(shù)．（3）用分層抽樣的方法從分數(shù)在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5人，抽取的5人中分數(shù)在[40，50）的有2人分數(shù)在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率計算公式能求出分數(shù)在[40，50）和[50，60）各1人的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖知小長方形面積為對應(yīng)區(qū)間概率，所有小長方形面積和為1，因此分數(shù)在[70，80）內(nèi)的概率為：1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分數(shù)在[70，80）中的人數(shù)為：0.3×100=30人．（2）分數(shù)在[40，50）的學生有：0.010×10×100=10人，分數(shù)在[50，60）的學生有：0.015×10×100=15人，用分層抽樣的方法從分數(shù)在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5人，抽取的5人中分數(shù)在[40，50）的人有：（3）分數(shù)在[40，50）的學生有10人，分數(shù)在[50，60）的學生有15人，用分層抽樣的方法從分數(shù)在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5人，抽取的5人中分數(shù)在[40，50）的有2人，設(shè)為，分數(shù)在[50，60）的有3人，設(shè)為，，5人中隨機抽取2人共有n=10種可能，它們是：，，，，，，，，，分別在不同區(qū)間上有m=6種可能．，，，，，所以分數(shù)在[40，50）和[50，60）各1人的概率P==．【點睛】本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．20.已知函數(shù)在x=2處取得極小值．（1）求f（x）；（2）若對x∈[﹣4，3]恒成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點】6K：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出導函數(shù)利用f′（2）=0，得a；在x=2處取得極小值﹣，得b．然后求出f（x）的解析式即可；（2）求出函數(shù)的最值，要使f（x）≤m2+m+在[﹣4，3]上恒成立，只需m2+m+≥，求解即可．【解答】解：（1）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0，得a=﹣4；再由f（2）=﹣，得b=4，所以f（x）=x3﹣4x+4；（2）因為f（﹣4）=﹣，f（﹣2）=，f（2）=﹣，f（3）=1，所以函數(shù)f（x）在[﹣4，3]上的最大值為，要使f（x）≤m2+m+在[﹣4，3]上恒成立，只需m2+m+≥，解得m≥2或m≤﹣3．所以實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的求解，考查分析問題解決問題的能力．21.（1）設(shè)a>0,b>0,

求證:

a+b;（2）設(shè)x,y都是正實數(shù),且x+y=1，求證：(1+)(1+)≥9.參考答案：22.(本題滿分14分)如圖所示，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？

參考答案：解：設(shè)用t小時，甲船能追上乙船，且在C處相遇.

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，∠ABC=1200，

根據(jù)余弦定理得，