【解析】初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)下冊(cè) 9.3 平行四邊形的性質(zhì) 同步訓(xùn)練

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)9.3平行四邊形的性質(zhì)同步訓(xùn)練

一、單選題

1．（2023八下·海州期末）平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)邊平行

C．對(duì)角線互相垂直D．對(duì)邊相等

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)邊平行且相等，

∴平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是C選項(xiàng).

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)邊平行且相等進(jìn)行判斷.

2．（2023八下·河池期末）在中，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，

∵∠A+∠C=200°，

∴∠A=∠C=100°，

∴∠B=180°-∠A=80°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)進(jìn)行解答即可.

3．（2023八上·黃陂開(kāi)學(xué)考）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（）

A．AC=BCB．AO=OCC．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B選項(xiàng)成立；A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)“①平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；②平行四邊形的對(duì)角相等；③平行四邊形的對(duì)角線互相平分”即可判斷求解.

4．（2023八下·上虞期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，已知AE=2，ED=4，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為()

A．16B．18C．20D．22

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：CE平分∠BCD

∴∠ECD=∠BCE

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD//BC

∴∠BCE=∠DEC

∴∠ECD=∠DEC

∴CD=DE=4

AD=AE+ED=2+4=6

平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2（AD+CD）=2×（6+4）=20；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)角平分線和平行四邊形的性質(zhì)，可以得出CD=DE=4，AD=AE+ED=6，進(jìn)而得出平行四邊形的周長(zhǎng)。

5．（2023八下·無(wú)錫期中）如圖，在ABCD中，CE⊥AB，E為垂足.如果∠A=120°，∠BCE的度數(shù)為()

A．20°B．30°C．40°D．60°

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD，∠A=120°

∴∠B=180°-120°=60°

又∵CE⊥AB

∴∠BCE=90°-∠B=30°

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意可得因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行，所以由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得∠A+∠B=180°，由已知易證∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的內(nèi)角和定理知∠BCE=30°.

6．（2023八上·安陽(yáng)月考）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為（）

A．∠1=∠2B．BF=DEC．AE=CFD．∠AED=∠CFB

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABE=∠CDF，

∴AB=CD，

當(dāng)添加∠1=∠2時(shí)，由ASA判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)A正確；

當(dāng)添加BF=DE時(shí)，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)B正確；

當(dāng)添加AE=CF時(shí)，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)C不正確；

當(dāng)∠AED=∠CFB時(shí)，由AAS判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)D正確；

故答案為：C.

【分析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定分別得出選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C不正確，即可得出結(jié)論.

7．（2023八下·重慶期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上一點(diǎn)E，且BE＝4，CE＝3.則AD的長(zhǎng)是（）

A．3B．4C．5D．2.5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】四邊形ABCD是平行四邊形，

，

BE平分，CE平分，

，

，

，

在中，，

則，

，

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)勾股定理可得BC的長(zhǎng)，由此即可得.

8．（2023八下·哈爾濱期中）在平行四邊形ABCD中，，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，則的周長(zhǎng)為（）

A．20cmB．40cmC．15cmD．10cm

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E

∴EC=EA

∴△CDE的周長(zhǎng)為CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+AD

∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，

∴CD+AD=10cm

故答案為：D．

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到EC=EA，然后求得△CDE的周長(zhǎng)為CD+AD，從而結(jié)合平行四邊形的周長(zhǎng)求解．

9．（2023八下·滕州期末）如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，原點(diǎn)O恰好是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．（－3，－2）B．（－2，3）

C．（－2，－3）D．（2，－3）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；平行四邊形的性質(zhì)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】由題可知ABCD關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,

∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,

∵A（2，3），

∴C（－2，－3）

故答案為：C.

【分析】根據(jù)圖像,利用中心對(duì)稱即可解題.

10．（2023八下·西山期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)連接.下列結(jié)論：；平分；；，其中正確的有（）

A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的面積；角平分線的定義

【解析】【解答】解：∵∠BCD＝60°，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CE＝CD＝AD＝BC，

∴E是BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BE，

∴∠BDE＝∠CED＝30°，

∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，

∴SABCD＝CDBD＝ABBD，故①正確；

∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，

∴∠ADB＝30°＝∠BDE，

∴DB平分∠CDE，故②正確；

∵△CDE是等邊三角形，

∴DE＝CD＝AB，故③正確；

∵O是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，

∴OE是△CBD的中位線，

∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，

∵OC是△BCD的中線，

∴S△BOC＝S△COD，

∴S△CDE＝S△BOC，故④正確，

故答案為：D.

【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到SABCD＝ADBD；依據(jù)∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，進(jìn)而得出DB平分∠CDE；依據(jù)Rt△BCD中，斜邊上的中線DE＝斜邊BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，進(jìn)而得到AB＝DE；依據(jù)OE是中位線，即可得到OE∥CD，因?yàn)閮善叫芯€間的距離相等，進(jìn)而得到S△CDE＝S△OCD，再根據(jù)OC是△BCD的中線，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC.

二、填空題

11．（2023八下·越秀期中）在ABCD中，AB：BC=4：3，周長(zhǎng)為28cm，則AD=cm．

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵ABCD中，AB：BC=4：3，周長(zhǎng)是28cm，

∴設(shè)AB=4x，則BC=3x，AB+BC=14cm，

∴7x=14，

解得x=2，

所以AD=BC=6cm；

故答案是6

【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，即可求解．

12．（2023八下·大理期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是，，，若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的D點(diǎn)共有個(gè).

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示，

①AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-3），

②BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，3），

③AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，3），

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，3），（-3，3），（3，-3）.

故答案為：3.

【分析】作出圖形，分AB、BC、AC為對(duì)角線三種情況進(jìn)行求解.

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線AP交CD于點(diǎn)Q.若DQ＝2QC，BC＝3，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為.

【答案】15

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，AQ為∠DAB的平分線，即∠DAQ=∠DQA

∴AD=DQ=3，QC=，

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（3++3）=15.

故答案為：15。

【分析】根據(jù)題意的描述，可知AQ為∠DAB的角平分線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到AD=DQ，分別求出四邊形兩組邊的邊長(zhǎng)，進(jìn)行周長(zhǎng)的求解即可。

14．（2023八上·肇東期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是．

【答案】24

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE．

∵AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，

∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，

∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．

故答案為：24．

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代換可得∠CED＝∠CDE，利用等角對(duì)等邊可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2（AD＋CD）即可求出結(jié)論.

15．（2023八下·咸安期末）如圖，中，和的平分線分別交于E、F兩點(diǎn)，、交與點(diǎn)G，若，，則.

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：四邊形是平行四邊形，

，，

，，

和的平分線分別交于，兩點(diǎn)，

，，

，，

，，

；

在中，，，

，，

，

，和的平分線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，

，

，

.

故答案為：4.

【分析】由在中，和的平分線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，易得，又由已知條件可求得的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求得的值.

16．（2023八下·無(wú)錫期中）如圖，將ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處.若∠1=∠2=42°，則∠B為°.

【答案】117

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠BAB＝42°

∵將ABCD沿對(duì)角線AC折疊

∴∠BAC＝∠BAC＝21°

∴∠B＝180°∠2∠BAC＝117°

故答案為：117°

【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠BAB＝42°，由折疊的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAC＝21°，即可求解.

17．（2023八下·江陰期中）如圖，已知ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在直線x＝2和x＝7上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為.

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥直線x＝7，交直線x＝7于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，直線x＝2與OC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)F，

直線x＝7與AB交于點(diǎn)N，如圖：

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直線x＝2與直線x＝7均垂直于x軸，

∴AM∥CN，

∴四邊形ANCM是平行四邊形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，

∴△OAF≌△BCD（ASA）.

∴BD＝OF＝2，

∴OE＝7+2＝9，

∴OB＝.

∵OE的長(zhǎng)不變，

∴當(dāng)BE最小時(shí)（即B點(diǎn)在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB＝OE＝9.

故答案為：9.

【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥直線x＝7，交直線x＝7于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E.則OB＝.由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A＝BC，又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF＝∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以O(shè)E的長(zhǎng)固定不變，當(dāng)BE最小時(shí)，OB取得最小值，即可得出答案.

18．（2023八下·濟(jì)南期中）如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連結(jié)OE.下列結(jié)論：

①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的結(jié)論有．(填序號(hào))

【答案】①②④

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的面積；角平分線的定義；三角形的中位線定理

【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB=BC，

∴AE=BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①符合題意；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②符合題意，

∵AB=BC，OB=BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③不符合題意；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB，

∴OE=BC，故④符合題意．

故答案為：①②④．

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①符合題意；由于AC⊥AB，得到SABCD=ABAC，故②符合題意，根據(jù)AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③不符合題意；根據(jù)三角形的中位線定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④符合題意．

三、解答題

19．（2023八下·大理期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)為ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，連接AE，CF，∠AEB＝∠CFD.求證：AE＝CF.

【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS）.

∴AE＝CF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等得出AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)二直線平行∠ABE＝∠CDF，由AAS證明證得△ABE≌△CDF，繼而證得結(jié)論.

20．（2023八下·湖北期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是OA、OC的中點(diǎn).

求證：BE＝DF

【答案】證明：∵ABCD是平行四邊形,

∴BO=DO,AO=CO,

∵E、F分別是OA、OC的中點(diǎn),

∴EO=FO,

又∵∠COD=∠BOE,

∴△BOE≌△DOF(SAS),

∴BE=DF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根據(jù)題意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中點(diǎn)可得EO=FO,即可證全等求出BE=DF.

21．（2023八下·瀘縣期末）如圖，E是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于F，若BC＝8，求DF的長(zhǎng)．

【答案】解：∵E是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，

∴AE＝BE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝CB＝8，AD∥CB，

∴∠F＝∠BCE，

在△AEF和△BEC中，，

∴△AEF≌△BEC（AAS），

∴AF＝CB＝8，

∴DF＝AD+AF＝16.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC＝8，AD∥CB，由平行線的性質(zhì)得出∠F＝∠BCE，由AAS證明△AEF≌△BEC，得出AF＝CB＝8，即可求出DF的長(zhǎng).

22．（2023八下·海州期末）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的點(diǎn)，CE＝AF.請(qǐng)你猜想：BE與DF有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明.

【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.

證明：如圖1

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC＝AD，∠1＝∠2，

又∵CE＝AF，

∴△BCE≌△DAF.

∴BE＝DF，∠3＝∠4.

∴BE∥DF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得對(duì)角相等，對(duì)邊相等，然后利用SAS證明△BCE≌△DAF，則得BE=DF，∠3=∠4，然后根據(jù)平行線的判定定理可得BE∥DF.

23．（2023八下·曲阜期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F為對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且∠BAF＝∠DCE．求證：BE＝DF．

【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠CDE，

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（ASA），

∴ED＝BF，

∴BD﹣CF＝BD﹣DE，

∴BE＝DF．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AB∥CD然后證明△ABF≌△CDE，進(jìn)而可得BF＝DE，再利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．

24．（2023八下·孝南月考）如圖，已知E、F是□ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE⊥AC，DF⊥AC.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中全等三角形（不再添加輔助線）．

（2）求證：△ABE≌△CDF；

【答案】（1）解：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠FCD，

又∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法即可得出：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角星等得出∠BAE=∠FCD，根據(jù)垂直的定義得出∠AEB=∠CFD=90°，從而利用AAS判斷出△ABE≌△CDF。

25．（2023八下·新蔡期末）如圖所示，已知點(diǎn)E，F(xiàn)在ABCD的對(duì)角線BD上，且BE=DF.

求證：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）AE∥CF.

【答案】（1）證明：在□ABCD中，AB∥CD且AB=CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB=∠CFD，

∴∠AEF=∠CFE，

∴AE∥CF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定；平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)得到AB∥CD且AB=CD，所以∠ABE=∠CDF，所以兩三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CFD，所以它們的鄰補(bǔ)角相等，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得證.

26．（2023八下·重慶期末）如圖，ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD＝2∠DBC，AE⊥BD于點(diǎn)E.

（1）若∠ADB＝25°，求∠BAE的度數(shù)；

（2）求證：AB＝2OE.

【答案】（1）解：在平行四邊形ABCD中，ADBC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∵∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝25°，

∴∠ABD＝2×25°＝50°，

∵AE⊥BD，

∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°；

（2）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF、OF，

∵AE⊥BD，

∴EF＝BF＝AB，

∴∠ABD＝∠BEF，

∵AO＝CO，

∴OF是△ABC的中位線，

∴OFBC，

∴∠DBC＝∠EOF，

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠BEF＝∠EFO＋∠EOF，

又∵∠ABD＝2∠DBC，

∴∠EFO＝∠EOF，

∴EF＝OE，

∴OE＝AB，

∴AB＝2OE.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得ADBC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DBC＝∠ADB，然后求出∠ABD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可求出∠BAE；

（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF、OF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF＝BF＝AB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABD＝∠BEF，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OFBC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DBC＝∠EOF，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠EFO＝∠EOF，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EF＝OE，從而得證.

27．（2023八下·麗水期末）如圖，在中，平分交于點(diǎn)M.

（1）若，求的長(zhǎng)；

（2）若是的中點(diǎn)，連結(jié)，求證：平分

【答案】（1）解：四邊形是平行四邊形，

，

，

平分，

，

，

；

（2）解：如圖，延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)E，則，

，

，，

是的中點(diǎn)，

，

，

，

平分，

，

，

，

平分.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）；角平分線的定義

【解析】【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到；（2）延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)E，依據(jù)，即可得到，再根據(jù)，即可得出平分.

28．（2023八下·北鎮(zhèn)期末）如圖，在中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O且垂直于.

（1）求證：；

（2）若，，求的長(zhǎng).

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ADBC，OA=OC，

∴∠EAO=∠FCO，

在△AEO和△CFO中，

∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴OE=OF；

（2）解：∵OE=OF，OE=3.5，

∴EF=2OE=7，

又∵EF⊥AD，

∴S□ABCD=AD×EF=63

∴AD=9.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的面積；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和ASA證明△AEO≌△CFO即可解決問(wèn)題；（2）首先根據(jù)OE的長(zhǎng)度和求出EF的長(zhǎng)度，然后利用S□ABCD=AD×EF即可求解.

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)9.3平行四邊形的性質(zhì)同步訓(xùn)練

一、單選題

1．（2023八下·海州期末）平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)邊平行

C．對(duì)角線互相垂直D．對(duì)邊相等

2．（2023八下·河池期末）在中，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

3．（2023八上·黃陂開(kāi)學(xué)考）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（）

A．AC=BCB．AO=OCC．D．

4．（2023八下·上虞期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，已知AE=2，ED=4，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為()

A．16B．18C．20D．22

5．（2023八下·無(wú)錫期中）如圖，在ABCD中，CE⊥AB，E為垂足.如果∠A=120°，∠BCE的度數(shù)為()

A．20°B．30°C．40°D．60°

6．（2023八上·安陽(yáng)月考）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為（）

A．∠1=∠2B．BF=DEC．AE=CFD．∠AED=∠CFB

7．（2023八下·重慶期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上一點(diǎn)E，且BE＝4，CE＝3.則AD的長(zhǎng)是（）

A．3B．4C．5D．2.5

8．（2023八下·哈爾濱期中）在平行四邊形ABCD中，，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，則的周長(zhǎng)為（）

A．20cmB．40cmC．15cmD．10cm

9．（2023八下·滕州期末）如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，原點(diǎn)O恰好是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．（－3，－2）B．（－2，3）

C．（－2，－3）D．（2，－3）

10．（2023八下·西山期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)連接.下列結(jié)論：；平分；；，其中正確的有（）

A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)

二、填空題

11．（2023八下·越秀期中）在ABCD中，AB：BC=4：3，周長(zhǎng)為28cm，則AD=cm．

12．（2023八下·大理期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是，，，若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的D點(diǎn)共有個(gè).

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線AP交CD于點(diǎn)Q.若DQ＝2QC，BC＝3，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為.

14．（2023八上·肇東期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是．

15．（2023八下·咸安期末）如圖，中，和的平分線分別交于E、F兩點(diǎn)，、交與點(diǎn)G，若，，則.

16．（2023八下·無(wú)錫期中）如圖，將ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處.若∠1=∠2=42°，則∠B為°.

17．（2023八下·江陰期中）如圖，已知ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在直線x＝2和x＝7上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為.

18．（2023八下·濟(jì)南期中）如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連結(jié)OE.下列結(jié)論：

①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的結(jié)論有．(填序號(hào))

三、解答題

19．（2023八下·大理期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)為ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，連接AE，CF，∠AEB＝∠CFD.求證：AE＝CF.

20．（2023八下·湖北期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是OA、OC的中點(diǎn).

求證：BE＝DF

21．（2023八下·瀘縣期末）如圖，E是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于F，若BC＝8，求DF的長(zhǎng)．

22．（2023八下·海州期末）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的點(diǎn)，CE＝AF.請(qǐng)你猜想：BE與DF有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明.

23．（2023八下·曲阜期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F為對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且∠BAF＝∠DCE．求證：BE＝DF．

24．（2023八下·孝南月考）如圖，已知E、F是□ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE⊥AC，DF⊥AC.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中全等三角形（不再添加輔助線）．

（2）求證：△ABE≌△CDF；

25．（2023八下·新蔡期末）如圖所示，已知點(diǎn)E，F(xiàn)在ABCD的對(duì)角線BD上，且BE=DF.

求證：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）AE∥CF.

26．（2023八下·重慶期末）如圖，ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD＝2∠DBC，AE⊥BD于點(diǎn)E.

（1）若∠ADB＝25°，求∠BAE的度數(shù)；

（2）求證：AB＝2OE.

27．（2023八下·麗水期末）如圖，在中，平分交于點(diǎn)M.

（1）若，求的長(zhǎng)；

（2）若是的中點(diǎn)，連結(jié)，求證：平分

28．（2023八下·北鎮(zhèn)期末）如圖，在中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O且垂直于.

（1）求證：；

（2）若，，求的長(zhǎng).

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)邊平行且相等，

∴平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是C選項(xiàng).

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)邊平行且相等進(jìn)行判斷.

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，

∵∠A+∠C=200°，

∴∠A=∠C=100°，

∴∠B=180°-∠A=80°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)進(jìn)行解答即可.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B選項(xiàng)成立；A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)“①平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；②平行四邊形的對(duì)角相等；③平行四邊形的對(duì)角線互相平分”即可判斷求解.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：CE平分∠BCD

∴∠ECD=∠BCE

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD//BC

∴∠BCE=∠DEC

∴∠ECD=∠DEC

∴CD=DE=4

AD=AE+ED=2+4=6

平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2（AD+CD）=2×（6+4）=20；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)角平分線和平行四邊形的性質(zhì)，可以得出CD=DE=4，AD=AE+ED=6，進(jìn)而得出平行四邊形的周長(zhǎng)。

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD，∠A=120°

∴∠B=180°-120°=60°

又∵CE⊥AB

∴∠BCE=90°-∠B=30°

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意可得因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行，所以由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得∠A+∠B=180°，由已知易證∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的內(nèi)角和定理知∠BCE=30°.

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABE=∠CDF，

∴AB=CD，

當(dāng)添加∠1=∠2時(shí)，由ASA判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)A正確；

當(dāng)添加BF=DE時(shí)，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)B正確；

當(dāng)添加AE=CF時(shí)，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)C不正確；

當(dāng)∠AED=∠CFB時(shí)，由AAS判定△ABE≌△CDF，

∴選項(xiàng)D正確；

故答案為：C.

【分析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定分別得出選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C不正確，即可得出結(jié)論.

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】四邊形ABCD是平行四邊形，

，

BE平分，CE平分，

，

，

，

在中，，

則，

，

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)勾股定理可得BC的長(zhǎng)，由此即可得.

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E

∴EC=EA

∴△CDE的周長(zhǎng)為CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+AD

∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，

∴CD+AD=10cm

故答案為：D．

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到EC=EA，然后求得△CDE的周長(zhǎng)為CD+AD，從而結(jié)合平行四邊形的周長(zhǎng)求解．

9．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；平行四邊形的性質(zhì)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】由題可知ABCD關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,

∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,

∵A（2，3），

∴C（－2，－3）

故答案為：C.

【分析】根據(jù)圖像,利用中心對(duì)稱即可解題.

10．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的面積；角平分線的定義

【解析】【解答】解：∵∠BCD＝60°，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CE＝CD＝AD＝BC，

∴E是BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BE，

∴∠BDE＝∠CED＝30°，

∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，

∴SABCD＝CDBD＝ABBD，故①正確；

∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，

∴∠ADB＝30°＝∠BDE，

∴DB平分∠CDE，故②正確；

∵△CDE是等邊三角形，

∴DE＝CD＝AB，故③正確；

∵O是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，

∴OE是△CBD的中位線，

∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，

∵OC是△BCD的中線，

∴S△BOC＝S△COD，

∴S△CDE＝S△BOC，故④正確，

故答案為：D.

【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到SABCD＝ADBD；依據(jù)∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，進(jìn)而得出DB平分∠CDE；依據(jù)Rt△BCD中，斜邊上的中線DE＝斜邊BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，進(jìn)而得到AB＝DE；依據(jù)OE是中位線，即可得到OE∥CD，因?yàn)閮善叫芯€間的距離相等，進(jìn)而得到S△CDE＝S△OCD，再根據(jù)OC是△BCD的中線，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC.

11．【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵ABCD中，AB：BC=4：3，周長(zhǎng)是28cm，

∴設(shè)AB=4x，則BC=3x，AB+BC=14cm，

∴7x=14，

解得x=2，

所以AD=BC=6cm；

故答案是6

【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，即可求解．

12．【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示，

①AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-3），

②BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，3），

③AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，3），

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，3），（-3，3），（3，-3）.

故答案為：3.

【分析】作出圖形，分AB、BC、AC為對(duì)角線三種情況進(jìn)行求解.

13．【答案】15

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，AQ為∠DAB的平分線，即∠DAQ=∠DQA

∴AD=DQ=3，QC=，

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（3++3）=15.

故答案為：15。

【分析】根據(jù)題意的描述，可知AQ為∠DAB的角平分線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到AD=DQ，分別求出四邊形兩組邊的邊長(zhǎng)，進(jìn)行周長(zhǎng)的求解即可。

14．【答案】24

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE．

∵AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，

∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，

∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．

故答案為：24．

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代換可得∠CED＝∠CDE，利用等角對(duì)等邊可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2（AD＋CD）即可求出結(jié)論.

15．【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：四邊形是平行四邊形，

，，

，，

和的平分線分別交于，兩點(diǎn)，

，，

，，

，，

；

在中，，，

，，

，

，和的平分線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，

，

，

.

故答案為：4.

【分析】由在中，和的平分線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，易得，又由已知條件可求得的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求得的值.

16．【答案】117

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠BAB＝42°

∵將ABCD沿對(duì)角線AC折疊

∴∠BAC＝∠BAC＝21°

∴∠B＝180°∠2∠BAC＝117°

故答案為：117°

【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠BAB＝42°，由折疊的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAC＝21°，即可求解.

17．【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥直線x＝7，交直線x＝7于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，直線x＝2與OC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)F，

直線x＝7與AB交于點(diǎn)N，如圖：

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直線x＝2與直線x＝7均垂直于x軸，

∴AM∥CN，

∴四邊形ANCM是平行四邊形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，

∴△OAF≌△BCD（ASA）.

∴BD＝OF＝2，

∴OE＝7+2＝9，

∴OB＝.

∵OE的長(zhǎng)不變，

∴當(dāng)BE最小時(shí)（即B點(diǎn)在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB＝OE＝9.

故答案為：9.

【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥直線x＝7，交直線x＝7于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E.則OB＝.由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A＝BC，又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF＝∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以O(shè)E的長(zhǎng)固定不變，當(dāng)BE最小時(shí)，OB取得最小值，即可得出答案.

18．【答案】①②④

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的面積；角平分線的定義；三角形的中位線定理

【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB=BC，

∴AE=BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①符合題意；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②符合題意，

∵AB=BC，OB=BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③不符合題意；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB，

∴OE=BC，故④符合題意．

故答案為：①②④．

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①符合題意；由于AC⊥AB，得到SABCD=ABAC，故②符合題意，根據(jù)AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③不符合題意；根據(jù)三角形的中位線定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④符合題意．

19．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS）.

∴AE＝CF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等得出AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)二直線平行∠ABE＝∠CDF，由AAS證明證得△ABE≌△CDF，繼而證得結(jié)論.

20．【答案】證明：∵ABCD是平行四邊形,

∴BO=DO,AO=CO,

∵E、F分別是OA、OC的中點(diǎn),

∴EO=FO,

又∵∠COD=∠BOE,

∴△BOE≌△DOF(SAS),

∴BE=DF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根據(jù)題意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中點(diǎn)可得EO=FO,即可證全等求出BE=DF.

21．【答案】解：∵E是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，

∴AE＝BE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝CB＝8，AD∥CB，

∴∠F＝∠BCE，

在△AEF和△BEC中，，

∴△AEF≌△BEC（AAS），

∴AF＝CB＝8，

∴DF＝AD+AF＝16.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC＝8，AD∥CB，由平行線的性質(zhì)得出∠F＝∠BCE，由AAS證明△AEF≌△BEC，得出AF＝CB＝8，即可求出DF的長(zhǎng).

22．【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.

證明：如圖1

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC＝AD，∠1＝∠2，

又∵CE＝AF，

∴△BCE≌△DAF.

∴BE＝DF，∠3＝∠4.

∴BE∥DF.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得對(duì)角相等，對(duì)邊相等，然后利用SAS證明△BCE≌△DAF，則得BE=DF，∠3=∠4，然后根據(jù)平行線的判定定理可得BE∥DF.

23．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB