【解析】（人教版）2023-2022學年度第二學期八年級數(shù)學17.2勾股定理的逆定理 期末復習測試卷

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（人教版）2023-2022學年度第二學期八年級數(shù)學17.2勾股定理的逆定理期末復習測試卷

一、單選題

1．（2022八下·德陽期中）已知三角形的三邊長為a、b、c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+（c-13）2=0，則△ABC是（）

A．以a為斜邊的直角三角形B．以b為斜邊的直角三角形

C．以c為斜邊的直角三角形D．不是直角三角形

【答案】C

【知識點】勾股定理的逆定理；非負數(shù)之和為0

【解析】【解答】解：由題意得：a-5=0，b-12=0，c=13，

解得a=5，b=12，c=13，

∵52+122=169=132，

∴該三角形是以c為斜邊的直角三角形.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)非負數(shù)之和等于零，則每個非負數(shù)等于零，分別列式求出a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進行判斷即可.

2．（2022八下·巴州期中）已知在等腰三角形ABC中，D為BC的中點AD=12，BD=5，AB=13，點P為AD邊上的動點，點E為AB邊上的動點，則PE+PB的最小值是（）

A．10B．12C．D．

【答案】D

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，

∴AB2=AD2+BD2，

∴∠ADB=90°，

∵D為BC的中點，BD=CD，

∴AD垂直平分BC，

∴點B，點C關于直線AD對稱，

過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，

∵S△ABC=ABCE=BCAD，

∴13CE=10×12，

∴CE=，

∴PE+PB的最小值為.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，易得AD垂直平分BC，則點B、C關于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，根據(jù)△ABC的面積公式可得CE，據(jù)此解答.

3．（2022八下·港南期中）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A．5，12，13B．8，12，15C．8，15，17D．9，40，41

【答案】B

【知識點】勾股數(shù)

【解析】【解答】解：A、52+122=132，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；

B、82+122≠152，不是勾股數(shù)，此選項符合題意；

C、82+152=172，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；

D、92+402=412，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；

故答案為：B.

【分析】勾股數(shù)就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，據(jù)此判斷.

4．（2022八下·賓陽期中）《九章算術》是我國古代最重要的數(shù)學著作之，在《勾股》章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，間折者高幾何？”翻譯成數(shù)學問題；如圖，在中，，，，若設，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：，，，

設，則，則

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理可得AC2+BC2=AB2，設AC=x，則AB=10-x，然后代入即可得到方程.

5．（2022·馬鞍山模擬）如圖，在中，，，．將沿著點A到點C的方向平移到的位罝，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）

A．B．6C．D．

【答案】A

【知識點】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：令BC和DE的交點為O，

∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，

∴，

∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，

∵將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，

∴S△DEF＝S△ABC＝，DF＝AC＝3，

∵∠A=∠ODC=∠EDF，∠ACB=∠DCO=∠DFE，

∴△ABC~△DOC~△DEF，

∵圖中陰影部分面積為4，

∴，即，

解得：，

即平移的距離是CF＝DF﹣DC＝，

故答案為：A．

【分析】先用勾股定理判斷出三角形為直角三角形，再根據(jù)平移判斷出陰影部分與是相似的，根據(jù)相似三角形面積比是相似線段比的平方求出DC長，用AC-DC就可知道平移的距離

6．（2022八下·龍港期中）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME)的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去如圖3所示，若的值是整數(shù)，且1≤n≤30，則符合條件的n有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【知識點】勾股定理的應用；探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】由題意得

；

；

；

∵1≤n≤30，

∴OA3·OAn的值是整數(shù)，

∴·OAn的值可以是，，

是整數(shù)的有3個.

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根據(jù)OA3·OAn是整數(shù)及1≤n≤30，由此可求出n的值的個數(shù).

7．（2022八下·江津期中）以下列各組線段為邊長，不能構成直角三角形的是（）

A．6，8，10B．2，3，4C．1，5，D．2，2，

【答案】B

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、62+82=102，能構成直角三角形，故A不符合題意；

B、22+32≠42，不能構成直角三角形，故B符合題意；

C、12+52=（）2，能構成直角三角形，故C不符合題意；

D、22+22=，能構成直角三角形，故D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項進行判斷，即可得出答案.

8．（2022·臨清模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】∵AB＝，BC＝，AC＝，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴∠ACB＝90°．

∴sin∠ABC＝．

故答案為：B．

【分析】先利用勾股定理求出AB、BC、AC的長，再利用勾股定理的逆定理可求出∠ACB＝90°，根據(jù)sin∠ABC＝即可求解.

9．（2022·全椒模擬）正方形的邊長為8，點、分別在邊、上，將正方形沿折疊，使點落在處，點落在處，交于．下列結論不正確的是（）

A．當為中點時，則

B．當時，則

C．連接，則

D．當（點不與、重合）在上移動時，周長隨著位置變化而變化

【答案】D

【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理的應用；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）

【解析】，【解答】∵為中點，正方形的邊長為8，

∴，，．

∵將正方形沿折疊，

∴設，則．

∵在中，，

∴，解得，

∴，，

∴，

選項A不符合題意；

當時，假設，，，

則．

∵，

∴，解得，

∴，，

B不符合題意；

如圖，過點E作EM⊥BC，垂足為M，連接A'A交EM，EF于點N，Q，

∴EM∥CD，EM=CD=AD，

∴∠AEN=∠D=90°，

由翻折可知：EF垂直平分AA′，

∴∠AQE=90°，

∴∠EAN+∠ANE=∠QEN+∠ANE=90°，

∴∠EAN=∠QEN，

在△AA'D和△EFM中，

∴，

則可得，

C不符合題意；

如圖，過點作，垂足為，連接，，

則．

∵將正方形沿折疊，

∴，，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，．

∵，

∴．

在與中，

，

∴，

∴，

∴周長．

D是不正確的，符合題意．

故答案為：D．

【分析】A、當為中點，設，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解，可得A正確；B、當時，假設，，，根據(jù)，可求得a，再求出，可得B正確；C、過點E作EM⊥BC，垂足為M，連接A'A交EM，EF于點N，Q，證明，可得C正確；D、過點作，垂足為，連接，，證明，可得，，再證，可得，由此證得的周長，可得出D不正確。

10．（2022八下·龍游月考）三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是（）

A．B．24C．或24D．或24

【答案】C

【知識點】因式分解法解一元二次方程；三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵x2-16x+60=0，

∴（x-6）（x-10）=0，

∴x1=6，x2=10，

∴當?shù)谌呴L為6時，三角形為等腰三角形，則底邊上的高=，

此時三角形的面積=×8×=；

當?shù)谌呴L為10時，82+62=102，即三角形為直角三角形，此時三角形的面積=×8×6=24，

∴該三角形的面積是或24.

故答案為：C.

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，當?shù)谌呴L為6時，利用等腰三角形的性質和勾股定理可計算出底邊上的高=，則根據(jù)三角形面積公式可計算出此時三角形的面積；當?shù)谌呴L為10時，利用勾股定理的逆定理可判斷三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

二、填空題

11．（2022八下·無棣期中）有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正上都有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為尺．

【答案】13

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：設水深為尺，則蘆葦長為尺，

根據(jù)勾股定理得：，

解得：，

蘆葦?shù)拈L度（尺，

答：蘆葦長13尺．

故答案為：13．

【分析】設水深為尺，則蘆葦長為尺，利用勾股定理可得，求出x的值即可。

12．（2022·來安模擬）如圖，在矩形ABCD中，，，按照以下步驟操作：

第一步：將此矩形沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處，則BF的長為；

第二步：將此矩形展開后再次折疊，使CD的對應邊經(jīng)過點E，且新的折痕，則線段DM的長為．

【答案】3；

【知識點】勾股定理的應用；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：第一步：由題意得：，

，

∴在Rt△ABF中，

即，

解得；

第二步：由折疊的性質可知，，，

，

，，

，

，

又

，

由第一步知，，，

，

設，則，

∵，

∴，

解得，

∴．

故答案為：3，．

【分析】第一步：根據(jù)折疊的性質可得，，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可得即，解得；第二步：由折疊的性質可知，，

證明，，由第一步知，，，，設，則，，，解得，則．

13．（2022八下·無棣期中）如圖，有一圓柱形玻璃杯，高為8cm，底面周長為12cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁上，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm．

【答案】10

【知識點】平面展開﹣最短路徑問題

【解析】【解答】解：如圖：將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，

連接A′C，則A′C即為最短距離，

由題意可得出：A′D＝6cm，CD＝8cm，

A′C＝（cm）．

故答案為：10．

【分析】將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′C，則A′C即為最短距離，再利用勾股定理求出A′C的長即可。

14．（2022八下·安慶期中）如圖，這是某種牛奶的長方體包裝盒，長、寬、高分別為5cm、4cm、12cm，插吸管處的出口到相鄰兩邊的距離都是1cm，為了設計配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管長度要在3cm至5cm間（包括3cm與5cm，不計吸管粗細及出口的大小），則設計的吸管總長度L的范圍是．

【答案】16cm≤L≤17cm

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：①當吸管放進杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為17cm；

②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，

底面距定點最遠距離為5cm，高為12cm，

由勾股定理可得杯里面管長為=13cm，

∵外露的吸管長度要在3cm至5cm間

∴設計的吸管總長度L的范圍是16cm≤L≤17cm．

故答案為16cm≤L≤17cm．

【分析】根據(jù)當吸管放進杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為17cm；再根據(jù)露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理可得最短長度。

15．（2022八下·寶雞期中）已知△ABC中，邊長a，b，c滿足a2＝b2＝c2，那么∠B＝.

【答案】60°

【知識點】勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：∵a2＝b2＝c2，

∴b2=3a2，c2=4a2，

∴a2+b2=4a2，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，

∵c2=4a2，

∴c=2a或-2a(舍去)，

在Rt△ABC中，

∴cosB===，

∴∠B=60°.

故答案為：60°.

【分析】先統(tǒng)一量，把b2和c2分別用a2表示，然后利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，∠C為直角，最后根據(jù)三角函數(shù)定義計算即可.

三、解答題

16．（2022八下·灌陽期中）一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC＝15米，AD＝13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？

【答案】解：電線桿和地面垂直，理由如下：

連接BD

在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，

∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，

∴AB⊥BD，

在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

∴電線桿和地面垂直.

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】連接BD，根據(jù)題意結合勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，據(jù)此判斷.

17．（2022八下·無棣期中）如圖，已知小正方形的邊長都是1，請根據(jù)所學知識分別用兩種解法求四邊形ABCD的面積．

【答案】解：方法一：如圖，構造矩形GEFB，

∴S△GAB＝GAGB＝×1×8＝4，

S矩形AECD＝AEEC＝3×2＝6，

S△BCF＝CFBF＝×6×4＝12，

S矩形GEFB＝GEEF＝4×8＝32，

∴S四邊形ABCD＝S矩形GEFB﹣S△GAB﹣S矩形AECD﹣S△BCF＝32﹣4﹣6﹣12＝10；

方法二：連接AC，得Rt△ADC，

由圖形及勾股定理得：

AC2＝32+22＝13，BC2＝62+42＝52，AB2＝82+12＝65，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ACB為直角三角形且∠ACB＝90°，

∴S△ACB＝ACBC＝，

S△ADC＝ADCD＝×2×3＝3．

∴S四邊形ABCD＝S△ACB﹣S△ADC＝13﹣3＝10．

【知識點】勾股定理的逆定理；幾何圖形的面積計算-割補法

【解析】【分析】利用割補法求出四邊形的面積即可。

18．（2022八下·杭州月考）如圖，在一次課外活動中，同學們要測量某公園人工湖兩側A，B兩個涼亭之間的距離，已知CD⊥BD，現(xiàn)測得AC=，BC=，CD=，請計算A，B兩個涼亭之間的距離.

【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝，CD=，

∴AD2＝AC2CD2，AD=．

在Rt△CDB中，∵CD=，BC=，

∴BD2＝BC2CD2，BD=

∴AB＝BD-AD=

答：A，B兩個涼亭之間的距離為．

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分別求出AD、BD長，再由AB＝BD-AD，代入數(shù)據(jù)計算即可得出兩個涼亭之間的距離．

19．（2022八下·東臺開學考）如圖所示的一塊空地進行草坪綠化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，綠化草坪價格150元/米2。求這塊地草坪綠化的價錢．

【答案】解：如圖，連接AC，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴AC==5m，

∵AB＝13m，BC＝12m，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴S綠化草坪=S△ACB-S△ADC==24m2，

∴這塊地草坪綠化的價錢=24×150=3600元.

【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理得出AB=5，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，再根據(jù)S綠化草坪=S△ACB-S△AD算出草坪的面積，再乘以150元/米2進行計算，即可得出答案.

20．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度數(shù)。

【答案】解：連結BD.

點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，

BD=2EF=12，EF∥BD，

∠ADB=∠AFE=55°

BD2+CD2=225，BC2=225，BD2+CD2=BC2

∠BDC=90°

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°。

【知識點】勾股定理的逆定理；三角形的中位線定理

【解析】【分析】連接BD，利用已知可證得BD是△ABD的中位線，利用三角形的中位線定理可證得EF∥BD，同時可求出BD的長；利用平行線的性質可求出∠ADB的度數(shù)，再利用勾股定理的逆定理證明∠BDC=90°，然后根據(jù)∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入計算可求出結果.

21．（2023八上·襄汾期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破．已知點C與公路上的停靠站A的距離為500米，與公路上另一停靠站B的距離為1200米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑400米范圍內(nèi)不得進入．問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．

【答案】解：公路AB段沒有危險，不需要暫時封鎖．

理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．

∵CA⊥CB，

∴∠ACB=90°，

因為BC=1200米，AC=500米，

所以，根據(jù)勾股定理有AB==1300米，

因為S△ABC=ABCD=BCAC，

所以CD===米，

由于400米＜米，故沒有危險，

因此AB段公路不需要暫時封鎖．

【知識點】三角形的面積；勾股定理的應用

【解析】【分析】過C作CD⊥AB于D，先利用勾股定理求出AB的長，再利用三角形的面積公式可得S△ABC=ABCD=BCAC，再將數(shù)據(jù)代入計算求出CD的長，再比較大小即可。

22．（2023八上·浦東期末）某中學初二年級游同學在學習了勾股定理后對《九章算術》勾股章產(chǎn)生了學習興趣．今天，他學到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長三尺，BC的長度為8尺，求：繩索AC的長度．

【答案】解：設，則，

在中，，

∴，

解得：，

答：繩索長是尺．

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【分析】設，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可。

23．（2023八上·大慶期末）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的長．

【答案】解：四邊形是平行四邊形

AB⊥AC，

在中，

在中，

【知識點】勾股定理的應用；平行四邊形的性質

【解析】【分析】在中，利用勾股定理求出AC，根據(jù)平行四邊形的性質得出OA=，在中，利用勾股定理求出OB，即可得BD。

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（人教版）2023-2022學年度第二學期八年級數(shù)學17.2勾股定理的逆定理期末復習測試卷

一、單選題

1．（2022八下·德陽期中）已知三角形的三邊長為a、b、c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+（c-13）2=0，則△ABC是（）

A．以a為斜邊的直角三角形B．以b為斜邊的直角三角形

C．以c為斜邊的直角三角形D．不是直角三角形

2．（2022八下·巴州期中）已知在等腰三角形ABC中，D為BC的中點AD=12，BD=5，AB=13，點P為AD邊上的動點，點E為AB邊上的動點，則PE+PB的最小值是（）

A．10B．12C．D．

3．（2022八下·港南期中）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A．5，12，13B．8，12，15C．8，15，17D．9，40，41

4．（2022八下·賓陽期中）《九章算術》是我國古代最重要的數(shù)學著作之，在《勾股》章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，間折者高幾何？”翻譯成數(shù)學問題；如圖，在中，，，，若設，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

5．（2022·馬鞍山模擬）如圖，在中，，，．將沿著點A到點C的方向平移到的位罝，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）

A．B．6C．D．

6．（2022八下·龍港期中）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME)的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去如圖3所示，若的值是整數(shù)，且1≤n≤30，則符合條件的n有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．（2022八下·江津期中）以下列各組線段為邊長，不能構成直角三角形的是（）

A．6，8，10B．2，3，4C．1，5，D．2，2，

8．（2022·臨清模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值等于（）

A．B．C．D．

9．（2022·全椒模擬）正方形的邊長為8，點、分別在邊、上，將正方形沿折疊，使點落在處，點落在處，交于．下列結論不正確的是（）

A．當為中點時，則

B．當時，則

C．連接，則

D．當（點不與、重合）在上移動時，周長隨著位置變化而變化

10．（2022八下·龍游月考）三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是（）

A．B．24C．或24D．或24

二、填空題

11．（2022八下·無棣期中）有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正上都有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為尺．

12．（2022·來安模擬）如圖，在矩形ABCD中，，，按照以下步驟操作：

第一步：將此矩形沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處，則BF的長為；

第二步：將此矩形展開后再次折疊，使CD的對應邊經(jīng)過點E，且新的折痕，則線段DM的長為．

13．（2022八下·無棣期中）如圖，有一圓柱形玻璃杯，高為8cm，底面周長為12cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁上，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm．

14．（2022八下·安慶期中）如圖，這是某種牛奶的長方體包裝盒，長、寬、高分別為5cm、4cm、12cm，插吸管處的出口到相鄰兩邊的距離都是1cm，為了設計配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管長度要在3cm至5cm間（包括3cm與5cm，不計吸管粗細及出口的大小），則設計的吸管總長度L的范圍是．

15．（2022八下·寶雞期中）已知△ABC中，邊長a，b，c滿足a2＝b2＝c2，那么∠B＝.

三、解答題

16．（2022八下·灌陽期中）一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC＝15米，AD＝13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？

17．（2022八下·無棣期中）如圖，已知小正方形的邊長都是1，請根據(jù)所學知識分別用兩種解法求四邊形ABCD的面積．

18．（2022八下·杭州月考）如圖，在一次課外活動中，同學們要測量某公園人工湖兩側A，B兩個涼亭之間的距離，已知CD⊥BD，現(xiàn)測得AC=，BC=，CD=，請計算A，B兩個涼亭之間的距離.

19．（2022八下·東臺開學考）如圖所示的一塊空地進行草坪綠化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，綠化草坪價格150元/米2。求這塊地草坪綠化的價錢．

20．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度數(shù)。

21．（2023八上·襄汾期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破．已知點C與公路上的停靠站A的距離為500米，與公路上另一停靠站B的距離為1200米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑400米范圍內(nèi)不得進入．問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．

22．（2023八上·浦東期末）某中學初二年級游同學在學習了勾股定理后對《九章算術》勾股章產(chǎn)生了學習興趣．今天，他學到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長三尺，BC的長度為8尺，求：繩索AC的長度．

23．（2023八上·大慶期末）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的長．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】勾股定理的逆定理；非負數(shù)之和為0

【解析】【解答】解：由題意得：a-5=0，b-12=0，c=13，

解得a=5，b=12，c=13，

∵52+122=169=132，

∴該三角形是以c為斜邊的直角三角形.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)非負數(shù)之和等于零，則每個非負數(shù)等于零，分別列式求出a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進行判斷即可.

2．【答案】D

【知識點】線段的性質：兩點之間線段最短；三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，

∴AB2=AD2+BD2，

∴∠ADB=90°，

∵D為BC的中點，BD=CD，

∴AD垂直平分BC，

∴點B，點C關于直線AD對稱，

過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，

∵S△ABC=ABCE=BCAD，

∴13CE=10×12，

∴CE=，

∴PE+PB的最小值為.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，易得AD垂直平分BC，則點B、C關于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，根據(jù)△ABC的面積公式可得CE，據(jù)此解答.

3．【答案】B

【知識點】勾股數(shù)

【解析】【解答】解：A、52+122=132，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；

B、82+122≠152，不是勾股數(shù)，此選項符合題意；

C、82+152=172，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；

D、92+402=412，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；

故答案為：B.

【分析】勾股數(shù)就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，據(jù)此判斷.

4．【答案】D

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：，，，

設，則，則

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理可得AC2+BC2=AB2，設AC=x，則AB=10-x，然后代入即可得到方程.

5．【答案】A

【知識點】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：令BC和DE的交點為O，

∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，

∴，

∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，

∵將△ABC沿著點A到點C的方向平移到△DEF的位置，

∴S△DEF＝S△ABC＝，DF＝AC＝3，

∵∠A=∠ODC=∠EDF，∠ACB=∠DCO=∠DFE，

∴△ABC~△DOC~△DEF，

∵圖中陰影部分面積為4，

∴，即，

解得：，

即平移的距離是CF＝DF﹣DC＝，

故答案為：A．

【分析】先用勾股定理判斷出三角形為直角三角形，再根據(jù)平移判斷出陰影部分與是相似的，根據(jù)相似三角形面積比是相似線段比的平方求出DC長，用AC-DC就可知道平移的距離

6．【答案】C

【知識點】勾股定理的應用；探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】由題意得

；

；

；

∵1≤n≤30，

∴OA3·OAn的值是整數(shù)，

∴·OAn的值可以是，，

是整數(shù)的有3個.

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根據(jù)OA3·OAn是整數(shù)及1≤n≤30，由此可求出n的值的個數(shù).

7．【答案】B

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、62+82=102，能構成直角三角形，故A不符合題意；

B、22+32≠42，不能構成直角三角形，故B符合題意；

C、12+52=（）2，能構成直角三角形，故C不符合題意；

D、22+22=，能構成直角三角形，故D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐項進行判斷，即可得出答案.

8．【答案】B

【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】∵AB＝，BC＝，AC＝，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴∠ACB＝90°．

∴sin∠ABC＝．

故答案為：B．

【分析】先利用勾股定理求出AB、BC、AC的長，再利用勾股定理的逆定理可求出∠ACB＝90°，根據(jù)sin∠ABC＝即可求解.

9．【答案】D

【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理的應用；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）

【解析】，【解答】∵為中點，正方形的邊長為8，

∴，，．

∵將正方形沿折疊，

∴設，則．

∵在中，，

∴，解得，

∴，，

∴，

選項A不符合題意；

當時，假設，，，

則．

∵，

∴，解得，

∴，，

B不符合題意；

如圖，過點E作EM⊥BC，垂足為M，連接A'A交EM，EF于點N，Q，

∴EM∥CD，EM=CD=AD，

∴∠AEN=∠D=90°，

由翻折可知：EF垂直平分AA′，

∴∠AQE=90°，

∴∠EAN+∠ANE=∠QEN+∠ANE=90°，

∴∠EAN=∠QEN，

在△AA'D和△EFM中，

∴，

則可得，

C不符合題意；

如圖，過點作，垂足為，連接，，

則．

∵將正方形沿折疊，

∴，，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，．

∵，

∴．

在與中，

，

∴，

∴，

∴周長．

D是不正確的，符合題意．

故答案為：D．

【分析】A、當為中點，設，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解，可得A正確；B、當時，假設，，，根據(jù)，可求得a，再求出，可得B正確；C、過點E作EM⊥BC，垂足為M，連接A'A交EM，EF于點N，Q，證明，可得C正確；D、過點作，垂足為，連接，，證明，可得，，再證，可得，由此證得的周長，可得出D不正確。

10．【答案】C

【知識點】因式分解法解一元二次方程；三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵x2-16x+60=0，

∴（x-6）（x-10）=0，

∴x1=6，x2=10，

∴當?shù)谌呴L為6時，三角形為等腰三角形，則底邊上的高=，

此時三角形的面積=×8×=；

當?shù)谌呴L為10時，82+62=102，即三角形為直角三角形，此時三角形的面積=×8×6=24，

∴該三角形的面積是或24.

故答案為：C.

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，當?shù)谌呴L為6時，利用等腰三角形的性質和勾股定理可計算出底邊上的高=，則根據(jù)三角形面積公式可計算出此時三角形的面積；當?shù)谌呴L為10時，利用勾股定理的逆定理可判斷三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

11．【答案】13

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：設水深為尺，則蘆葦長為尺，

根據(jù)勾股定理得：，

解得：，

蘆葦?shù)拈L度（尺，

答：蘆葦長13尺．

故答案為：13．

【分析】設水深為尺，則蘆葦長為尺，利用勾股定理可得，求出x的值即可。

12．【答案】3；

【知識點】勾股定理的應用；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：第一步：由題意得：，

，

∴在Rt△ABF中，

即，

解得；

第二步：由折疊的性質可知，，，

，

，，

，

，

又

，

由第一步知，，，

，

設，則，

∵，

∴，

解得，

∴．

故答案為：3，．

【分析】第一步：根據(jù)折疊的性質可得，，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可得即，解得；第二步：由折疊的性質可知，，

證明，，由第一步知，，，，設，則，，，解得，則．

13．【答案】10

【知識點】平面展開﹣最短路徑問題

【解析】【解答】解：如圖：將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，

連接A′C，則A′C即為最短距離，

由題意可得出：A′D＝6cm，CD＝8cm，

A′C＝（cm）．

故答案為：10．

【分析】將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′C，則A′C即為最短距離，再利用勾股定理求出A′C的長即可。

14．【答案】16cm≤L≤17cm

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【解答】解：①當吸管放進杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為17cm；

②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，

底面距定點最遠距離為5cm，高為12cm，

由勾股定理可得杯里面管長為=13cm，

∵外露的吸管長度要在3cm至5cm間

∴設計的吸管總長度L的范圍是16cm≤L≤17cm．

故答案為16cm≤L≤17cm．

【分析】根據(jù)當吸管放進杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為17cm；再根據(jù)露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理可得最短長度。

15．【答案】60°

【知識點】勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：∵a2＝b2＝c2，

∴b2=3a2，c2=4a2，

∴a2+b2=4a2，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，

∵c2=4a2，

∴c=2a或-2a(舍去)，

在Rt△ABC中，

∴cosB===，

∴∠B=60°.

故答案為：60°.

【分析】先統(tǒng)一量，把b2和c2分別用a2表示，然后利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，∠C為直角，最后根據(jù)三角函數(shù)定義計算即可.

16．【答案】解：電線桿和地面垂直，理由如下：

連接BD

在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，

∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，

∴AB⊥BD，

在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

∴電線桿和地面垂直.

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】連接BD，根據(jù)題意結合勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，據(jù)此判斷.

17．【答案】解：方法一：如圖，構造矩形GEFB，

∴S△GAB＝GAGB＝