福建省廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁福建省廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）2023—2024學(xué)年第一學(xué)期

高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

滿分：150分考試時(shí)間：90分鐘

一、單選題：本題共8小題，每小題6分，共48分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.復(fù)數(shù)滿足，則的值是（）

A.B.C.D.

2.已知向量若，則實(shí)數(shù)x的值是（）

A.B.3C.D.2

3．在一次籃球比賽中，某支球隊(duì)共進(jìn)行了8場(chǎng)比賽，得分分別為，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）

A．38B．39C．40D．41

4.已知表示直線,表示平面,下列正確的是()

A.B.

C.D.

5．在平行四邊形中，若交于點(diǎn)，則()

A.B.

C.D.

6.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5種在線教學(xué)軟件，若某學(xué)校要從中隨機(jī)選取3種作為教師“停課不停學(xué)”的教學(xué)工具，則其中甲、乙、丙至多有2種被選取的概率為（）

A.B.C.D.

7.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱的中點(diǎn)，則異面直線AD1與DN所成角的余弦值為（）

A.B.C.D.

8.已知為三角形內(nèi)部任一點(diǎn)（不包括邊界），且滿足，則的形狀一定為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

二、多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得2.5分，有選錯(cuò)的得0分．

9.已知是平面向量的一組基底，則下列四組向量中，可以作為一組基底的是（）

A.和B.和

C.和D.和

10.下面四個(gè)命題中的真命題為（）

A.若復(fù)數(shù)滿足，則

B.若復(fù)數(shù)滿足，則

C.若復(fù)數(shù)，滿足，則

D.若復(fù)數(shù)，則

11.拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件D,則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有（）

A.A與B是互斥事件但不是對(duì)立事件

B.A與C是互斥事件也是對(duì)立事件

C.A與D是互斥事件

D.C與D不是對(duì)立事件也不是互斥事件

12.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（）

A.在棱上存在點(diǎn)M，使平面

B.異面直線與所成的角為90°

C.二面角的大小為45°

D.平面

D.平面平面

三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分．

在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組，給參賽選手打分，根據(jù)打分情況，得到專業(yè)人士組對(duì)選手A打分的平均數(shù)為48，方差為14，觀眾代表組對(duì)選手A打分的平均數(shù)為56，方差為140，則選手A得分的總方差為.

若某正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3，9，側(cè)棱長(zhǎng)是6，則它的體積為.

15．已知直角梯形，，．，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______

四、解答題：本題共3小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16.某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，每人分別對(duì)兩個(gè)教師進(jìn)行評(píng)分，滿分均為100分，整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：，，，，，.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：

（1）在抽樣的100人中，求對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù)；(22)

（2）從對(duì)乙教師的評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率；

（3）如果該校以學(xué)生對(duì)老師評(píng)分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評(píng)為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn)，則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）

17.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，且.

（1）求角的值；

（2）求的最大值.

18.如圖，矩形中，平面，，為上的點(diǎn)，且平面，，交于點(diǎn).(22)

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱柱的體積.

廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期

高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題答案

1.D解：，.

2.D解：因?yàn)樗?/p>

因?yàn)椋?，解得故選：D

3.B解：8場(chǎng)比賽的得分從小到大排列為：25，29，30，32，37，38，40，42，

因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為，

4.C解選項(xiàng)，若，則或m、n異面；B選項(xiàng)，若，則m、n相交或異面；C選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，若，則或.

5.D解:如圖，∵，∴E為CD的中點(diǎn)，設(shè)，且B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，∴，解得，∴．故選：D．

6.D解：甲、乙、丙至多有2種被選取的對(duì)立事件為：甲、乙、丙都被選取，記此事件為，

依題意所有基本事件為：（甲，乙，丙），（甲，乙，?。?，（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，?。?，（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10種，其中事件所包含的事件數(shù)為1，所以根據(jù)古典概型的概率公式可得，

再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式可得所求事件的概率為.

7.A解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，連接，∵是中點(diǎn)，則，正方體中，則是平行四邊形，∴，∴，∴（或其補(bǔ)角）是異面直線AD1與DN所成角，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，則，，是等腰三角形，∴．

8.D解：設(shè)中點(diǎn)為,則，又,所以，故三角形為等腰三角形

9.解：因?yàn)楹褪瞧矫嫦蛄康囊唤M基底,故和不共線,所以和不共線,和不共線,和不共線,因?yàn)?所以和共線

10.AD解：若復(fù)數(shù)滿足，則，故命題為真命題；復(fù)數(shù)滿足，則，故命題為假命題；若復(fù)數(shù)，滿足，但，故命題為假命題；

若復(fù)數(shù)，則，故命題為真命題.

11.ABD解：拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件B,

“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件D,在A中,A與B不能同時(shí)發(fā)生,但能同時(shí)不發(fā)生,是互斥事件但不是對(duì)立事件,故A正確；在B中,A與C是互斥事件也是對(duì)立事件,故B正確；

在C中,A與D能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故C錯(cuò)誤；在D中,C與D能同時(shí)發(fā)生,不是對(duì)立事件也不是互斥事件,故D正確.

12.解：如圖，對(duì)于，取的中點(diǎn)，連接，∵側(cè)面為正三角形，

，又底面是菱形，，是等邊三角形，

，又，，平面，

平面，故正確.

對(duì)于，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故正確.

對(duì)于，∵平面平面，，平面，，

是二面角的平面角，設(shè)，則，，

在中，，即，故二面角的大小為45°，故正確.

對(duì)于，因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤.

13.104.96解:選手A得分的平均數(shù)為，選手A得分的總方差為

14.解：由題意正四棱臺(tái)如圖，，，

，，，

14題圖15題圖

153解：如圖，以直線，分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，

設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為3，

16.解：（1）由頻率分布直方圖可知，70分以上的頻率為，

70分以下的頻率為，所以對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù)：（2）由頻數(shù)分布表有3人，有3人，

記的3人為A、B、C，的3人為、、，隨機(jī)選出2人：，，，，，，，，，，，，，，，共種；評(píng)分均在的抽取方法：，，，共3種；所以2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率.

（3）由頻率分布直方圖可得的頻率為：，甲教師的平均數(shù)為：，乙教師的平均數(shù)為：，由于乙教師的平均數(shù)大于80分，故乙可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師.

17.解：解：因?yàn)椋?

在中，由正弦定理得，

所以，即.

在中，由余弦定理得，

又因?yàn)?，所?