土木工程力學(xué)-作者-王長(zhǎng)連-第十章-軸向拉壓桿應(yīng)力

第十章軸向拉壓桿應(yīng)力和強(qiáng)度條件第一節(jié)軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力與應(yīng)力集中第二節(jié)軸向拉壓桿的變形及位移第三節(jié)土木工程中常用材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能

第四節(jié)軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件及應(yīng)用

第一節(jié)軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力與應(yīng)力集中一、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力軸向拉壓的等截面直桿（簡(jiǎn)稱等直桿）軸力在橫截面上是均勻分布的，且方向都沿桿軸方向。

用橡膠棒制作一根等截面直桿，并在其表面均勻地畫上一些與桿軸平行的縱線和與之垂直的橫線（圖10-1a）。當(dāng)在桿上施加軸向拉力后（圖10-1b），可以看到所有縱線都伸長(zhǎng)了，且伸長(zhǎng)量相等；所有橫線仍保持與桿軸線垂直，但間距增大了。我們可以用這個(gè)模型解釋觀察到的等直桿軸向拉伸變形現(xiàn)象：等直桿在軸向拉力作用下，所有縱向纖維都伸長(zhǎng)了相同的量；所有橫截面仍保持為平面且與桿軸垂直（此即所謂的平截面假設(shè)），只不過相對(duì)離開了一定的距離。由此可以認(rèn)為：軸向受拉桿件橫截面上任一點(diǎn)都受到且只受到平行于桿軸方向（即與桿橫截面正交方向，稱為橫截面法向或正向）的拉力作用，各點(diǎn)拉力大小相等。即桿橫截面實(shí)際上是受到連續(xù)均勻分布的正向拉力作用，這些分布拉力的合力就是軸力。軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

分布內(nèi)力的大小，用單位截面積上的內(nèi)力值來(lái)度量，稱為應(yīng)力，它反映內(nèi)力分布的密集程度（分布集度）。由于內(nèi)力是矢量，因而應(yīng)力也是矢量，其方向就是分布內(nèi)力的方向。如圖10-1d所示，設(shè)軸向受拉桿橫截面上某點(diǎn)K周圍的一個(gè)微小面積?A上分布內(nèi)力是?FN

，則?A上的平均應(yīng)力（即內(nèi)力的平均分布集度）為?FN/?A。圖中?FN與截面垂直，因而應(yīng)力?FN/?A也與截面垂直，這種應(yīng)力稱為法向或正向應(yīng)力，簡(jiǎn)稱正應(yīng)力，用希臘字母表示。?A上的正應(yīng)力用б表示，于是 （10-2）應(yīng)力的常用單位有牛頓/米2（N/m2，1N/m2稱為1帕斯卡，簡(jiǎn)稱1帕，代號(hào)Pa）。幾種單位間的換算關(guān)系為：

1千帕（kPa）＝103帕（Pa）

1兆帕（MPa）＝103千帕（kPa）＝106帕（Pa）

1吉帕（GPa）＝103兆帕（MPa）＝106千帕（kPa）＝109帕（Pa）由于軸向拉壓桿橫截面上只有均勻分布的拉或壓力，故橫截面上各點(diǎn)只有正應(yīng)力且大小相等。設(shè)桿件橫截面上軸力為，截面積為A，則橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為

（10-3）軸力為拉力時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，σ取正號(hào)；為壓力時(shí)，正應(yīng)力為壓應(yīng)力，σ取負(fù)號(hào)。即正應(yīng)力取正號(hào)時(shí)為拉應(yīng)力，取負(fù)號(hào)時(shí)為壓應(yīng)力。式（10-3）就是軸力對(duì)應(yīng)的截面應(yīng)力計(jì)算公式。其適用條件是桿件橫截面不變或變化緩慢，外力沿桿軸線。

例10-1

計(jì)算圖10-2所示軸向受力桿橫截面上的應(yīng)力，已知AD段橫截面為圓形，直徑d=30mm。DE段橫截面為方形，邊長(zhǎng)a=30mm。解：作出桿的軸力圖如圖10-2b所示。由圖知，AB、BC段均受拉，CE段受壓。但值得注意的是：CE段軸力雖然是常數(shù)，但CD段與DE段橫截面形狀和面積都不一樣，故應(yīng)將CE段分成CD與DE兩段分別計(jì)算。AB段軸力為常數(shù)kN，橫截面面積亦為常數(shù)：

故由式（10-3）知，各橫截面上正應(yīng)力相同，記為σAB：

BC段同理，軸力為FN2=70kN，橫截面積為A1=706.86mm2

，故

CD段軸力為FN3=-80kN，橫截面積為A1=706.86mm2，故，

DE段軸力為FN3=-80kN橫截面積為A2=a2=900mm2，故最大拉應(yīng)力位于AB段，最大壓應(yīng)力位于CD段，

例10-1全桿絕對(duì)最大正應(yīng)力是AB段的拉應(yīng)力全桿絕對(duì)最小正應(yīng)力是DE段的壓應(yīng)力二、應(yīng)力集中

等直桿不論是受軸向拉力還是受軸向壓力作用，其橫截面上都只產(chǎn)生均勻分布的正應(yīng)力。當(dāng)然前者是拉應(yīng)力，后者是壓應(yīng)力。但是，若等直桿橫截面有局部削弱（如開槽，鉆孔等），即使外力仍沿桿軸線作用，被削弱橫截面上的正應(yīng)力也不再均勻分布，如圖10-3所示。實(shí)測(cè)表明，在被削弱橫截面上，靠近“削弱”位置的正應(yīng)力出現(xiàn)了局部急劇增大的現(xiàn)象。這種因桿件橫截面尺寸突然變化而引起桿件局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，叫做應(yīng)力集中。桿件應(yīng)力集中部位的縱向纖維拉或壓變形程度要比沒有應(yīng)力集中處更大，更易破壞，因而更危險(xiǎn)。日常生活中，零售布料的工作人員先用剪刀在布匹上剪一小口再撕布，就很易把布撕開，就是利用了應(yīng)力集中的現(xiàn)象。標(biāo)準(zhǔn)軸向拉伸鋼試件兩端的夾持段比中部的工作段要粗，因此常將這一粗一細(xì)兩段的連接部位加工成平緩過渡形狀，以避免出現(xiàn)應(yīng)力集中。桿件上應(yīng)力集中部位附近一定范圍內(nèi)的桿件橫截面上正應(yīng)力呈非均勻分布。按理，這些部位橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算不能用式（10-3），而需要更高級(jí)的力學(xué)理論來(lái)分析計(jì)算。因此，我們?cè)谟?jì)算時(shí)都應(yīng)避開這些部位。不過，建筑力學(xué)并不需要精確分析計(jì)算這些部位，所以也就常常不仔細(xì)區(qū)分。在離應(yīng)力集中部位稍遠(yuǎn)的地方，則可認(rèn)為桿件橫截面上正應(yīng)力又趨于均勻分布，因而可用式（10-3）計(jì)算。第二節(jié)軸向拉壓桿的變形及位移一、軸向拉壓桿的變形1．軸向拉壓桿變形的度量軸向拉壓桿的變形主要是縱向伸長(zhǎng)或縮短。由實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，在桿件縱向伸長(zhǎng)或縮短的同時(shí)也伴隨著橫截面尺寸的縮小或增大，如圖10-4所示。設(shè)桿件原長(zhǎng)為l，變形后的長(zhǎng)度為

l1，則桿件的縱向變形為 ?l=l1-l?l為正時(shí)，表示拉伸量；為負(fù)時(shí)，表示壓縮量。?l的常用單位毫米（mm）。?l表示了桿件縱向的總變形量，但不能反映桿件的縱向變形程度。通常，對(duì)于長(zhǎng)為l的桿段，若縱向變形為?l，則平均單位長(zhǎng)度的縱向變形為 （10-4）稱之為桿段的平均線應(yīng)變，用來(lái)描述桿件的縱向變形程度。當(dāng)l→0時(shí)，桿段成為一點(diǎn)，所取極限值，稱為該點(diǎn)的線應(yīng)變，用ε表示。即有 （10-5）對(duì)于軸力為常數(shù)的等直桿段，各橫截面處縱向變形程度相同，則平均線應(yīng)變與各點(diǎn)的線應(yīng)變相同。顯然，桿件縱向線應(yīng)變的正負(fù)與縱向變形?l的正負(fù)是一致的，因此ε為正時(shí)表示拉應(yīng)變，為負(fù)時(shí)表示壓應(yīng)變。線應(yīng)變?chǔ)攀菬o(wú)量綱數(shù)，因此無(wú)單位，常用小數(shù)、百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)來(lái)表示。桿件橫向線應(yīng)變同理，若桿件橫截面原尺寸為h，變形后尺寸為h1，則桿件橫向變形為 ?h=h1-h?h為正時(shí)，表示桿件受壓；為負(fù)時(shí)，表示桿件受拉。桿件橫向線應(yīng)變?yōu)轱@然，桿件受拉時(shí)ε′為負(fù)，受壓時(shí)ε′為正，即橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變恒異號(hào)。2．彈性變形與塑性變形概念

如前所述，桿件材料在外力作用下都要產(chǎn)生變形。如果材料在外力作用下所產(chǎn)生的變形能隨著外力的消失而消失，即能恢復(fù)原狀，則這種變形稱為完全彈性變形，簡(jiǎn)稱彈性變形。如果所產(chǎn)生的變形不會(huì)隨外力的消失而消失，即無(wú)法恢復(fù)原狀而殘留下來(lái)，則這種變形稱為塑性變形。通常，只要外力（或應(yīng)力）不超過一定限度，材料的變形可保持為完全彈性，稱之為材料處于彈性狀態(tài)。但若外力（或應(yīng)力）超過了這個(gè)限度，材料的變形中就既包含彈性變形又包含塑性變形。二、胡克定律

實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)?shù)戎睏U段內(nèi)軸力為常數(shù)時(shí)，只要桿件材料處于彈性狀態(tài)（通常用正應(yīng)力不超過某一限值σP來(lái)表示），則其伸縮變形量?與軸力FN成正比，與桿段原長(zhǎng)l成正比，與桿件橫截面積A成反比：引入比例系數(shù)E，則上述關(guān)系可寫為 （10-6）這個(gè)規(guī)律最早由英國(guó)人胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)，故稱為胡克定律。保證這種比例關(guān)系成立的正應(yīng)力上限值σP稱為材料的比例極限，其值由試驗(yàn)測(cè)定，主要由材料性質(zhì)決定，因此是材料的一種力學(xué)性質(zhì)參量。于是，胡克定律的適用條件可寫為σ≤σP

。比例系數(shù)E也是桿件材料的一種力學(xué)性質(zhì)參量，稱為材料的彈性模量。由式（10-6）知，彈性模量E有量綱，其單位應(yīng)與應(yīng)力相同，常用單位有兆帕（MPa）、吉帕（GPa）。通過試驗(yàn)測(cè)得常用材料的σP和E值見表10-1。由式（10-6）知，軸力及原長(zhǎng)相同的桿件，EA值越大，伸縮值越?。环粗?，越小，伸縮值越大。EA值反映了桿件抵抗軸向拉壓變形的能力，稱為桿件的截面抗拉壓剛度。從式（10-6）可以看出，當(dāng)為正（即拉力）時(shí)，亦為正，表明是拉伸變形；反之，當(dāng)為負(fù)（即壓力）時(shí)，亦為負(fù)，表明是壓縮變形。在應(yīng)用式（10-6）時(shí)，也常取FN的絕對(duì)值計(jì)算，而在結(jié)果后面標(biāo)明是拉伸還是壓縮。例10-2

試計(jì)算“例10-1”中桿件的伸縮量。已知材料的彈性模量E=200GPa，AB=BC=2m，CD=DE=1m。解：

AD段雖然是直徑為30mm的圓形等直桿，但軸力卻不是常數(shù)。故從軸力看應(yīng)分成AB、BC和CE分別計(jì)算變形值。但CE段軸力雖然是常數(shù)，卻不是等截面直桿。其中CD段是圓形截面桿，DE段是方形截面桿，也應(yīng)會(huì)別計(jì)算其變形值。所以，全桿應(yīng)分四段計(jì)算。AB段軸力為FN1=100kN＝105N，長(zhǎng)度為lAB=2m＝2×103mm。在例10-1中已算得A1＝706.86mm2，彈性模量E=200GPa＝2×105N/mm2，故：BC段軸力為kN＝70×103N，長(zhǎng)度為m＝2×103mm，橫截面積仍為A1＝706.86mm2，彈性模量仍為GPa＝2×105N/mm2，故CD段軸力為kN＝－80×103N，長(zhǎng)度為m＝103mm，橫截面積仍為mm2，彈性模量仍為GPa＝2×105N/mm2，故：DE段軸力仍為kN＝－80×103N，長(zhǎng)度，橫截面積為mm2，彈性模量仍為GPa＝2×105N/mm2，故:全桿的縱向變形為：

=1.4＋1.0－0.6－0.4 =1.4mm（伸長(zhǎng)）結(jié)果為正，表明全桿總長(zhǎng)增加了1.4mm。例10-2在式（10-6）中，因?yàn)?，，于是可? （10-7）這是胡克定律的應(yīng)力－應(yīng)變形式。它表明：只要正應(yīng)力不超過材料的比例極限σP，則桿件內(nèi)任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與材料沿正應(yīng)力方向的線應(yīng)變成正比，其比例系數(shù)就是材料的彈性模量。胡克定律的這種形式是針對(duì)構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)而言，不針對(duì)桿段，故具有更普遍的適用價(jià)值，被廣泛應(yīng)用于各種條件下受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力—應(yīng)變分析中。利用式（10-7），例10-2的解法可變更如下：先計(jì)算出各段應(yīng)變?cè)儆?jì)算全桿變形計(jì)算結(jié)果與例10-2完全相同。例10-3

一柱高為H，橫截面積為定值A(chǔ)，柱子材料的重力密度為γ，求柱子在重力作用下的縱向變形。例10-3解：柱子橫截面為定值，故其單位長(zhǎng)度的重力相等，都為γA，即重力沿柱子軸線均勻分布。在距柱頂為x的橫截面上，軸力為γAx，是x的一次函數(shù)，即：

FN（x）＝γAx說明柱子橫截面上軸力沿桿軸線是非均勻分布的，越往下軸力越大，呈線性增加。故不能用式（10-6）來(lái)計(jì)算全柱的變形值。 在x的橫截面處取一微段dx分析。由于其長(zhǎng)度很微小，可認(rèn)為在此微段上軸力不變，恒為FN（x）。故可用式（10-6）計(jì)算該微段的縱向變形Δ(dx)。由于變形微小，數(shù)學(xué)上要用微分d（dx）代替Δ（dx），即全柱的縱向變形ΔH為在全柱上的定積分，即其中，負(fù)號(hào)表示變形值為縮短量。三、泊松比試驗(yàn)還表明，只要軸向拉壓桿橫截面正應(yīng)力不超過桿件材料的比例極限σP，則橫向線應(yīng)變?chǔ)拧渑c縱向線應(yīng)變?chǔ)胖鹊慕^對(duì)值為一不變的常數(shù)，用μ表示則

(10-8)μ稱為泊松比。泊松比也反映材料的一種力學(xué)性質(zhì)，是無(wú)量綱數(shù)。第三節(jié)土木工程中常用材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能，又叫材料的力學(xué)性質(zhì)或機(jī)械性能，是指材料受外力作用時(shí)所表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的物理特性，通常用一系列數(shù)據(jù)表示。例如彈性模量E、比例極限σP及泊松比μ等都是材料的力學(xué)性能。材料的力學(xué)性能是把材料做成一定形狀的試樣（有時(shí)也叫試件、試塊等）通過試驗(yàn)來(lái)測(cè)定出的。為了使不同試驗(yàn)人員測(cè)試出來(lái)的同種材料的同一力學(xué)性能數(shù)據(jù)具有可比性，國(guó)家或相關(guān)部門制訂了相應(yīng)的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)試樣、試驗(yàn)條件和試驗(yàn)方法做出了規(guī)定。一、Ｑ235鋼結(jié)構(gòu)拉伸時(shí)的力學(xué)性能

按照結(jié)構(gòu)鋼材拉伸試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，試樣的橫截面可制成圓形或矩形兩種，如圖10-6所示。試樣中間有一較長(zhǎng)的等直段，稱為工作段。兩端部有一個(gè)短段橫截面較粗，表面還進(jìn)行了糙化，是用于試驗(yàn)機(jī)夾持的，稱為夾持段。工作段與夾持段之間平緩連接，以避免應(yīng)力集中，稱為過渡段。根據(jù)工作段長(zhǎng)度與其橫截面尺度的比值，可把鋼材拉伸標(biāo)準(zhǔn)試樣分為長(zhǎng)試樣和短試樣。設(shè)圓截面試樣的工作段長(zhǎng)度為l，直徑為d，則l=10d

的試樣為長(zhǎng)試樣，l=5d的為短試樣。設(shè)矩形截面的工作段長(zhǎng)度為l，橫截面面積為A，則l=11.3√A的試樣為長(zhǎng)試樣，l=5.65√A的為短試樣。把制備好的試樣兩端裝夾在萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)的上下夾頭里，開動(dòng)機(jī)器緩慢而均勻地加載，使試樣產(chǎn)生軸向拉伸變形，直到拉斷為止。應(yīng)力—應(yīng)變圖試驗(yàn)機(jī)上的自動(dòng)記錄設(shè)備會(huì)在以試樣伸長(zhǎng)量?為橫坐標(biāo)、以所施加的軸向拉力F為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)紙中自動(dòng)記錄下試樣從受力開始到拉斷為止全過程的F-?關(guān)系曲線，如圖10-7a，稱為試樣的拉伸圖。F-?曲線所記錄的數(shù)據(jù)與試樣的尺寸大小有關(guān)。為了反映材料本身的力學(xué)性能，應(yīng)消除尺寸因素。為此，將橫坐標(biāo)上各點(diǎn)的?l值除以l，得到試樣在相應(yīng)時(shí)刻的縱向線應(yīng)變值。同時(shí)，把相應(yīng)的拉力Ｆ值除以試樣原始橫截面積Ａ，得到相應(yīng)時(shí)刻試樣橫截面上的名義正應(yīng)力值σ。如此可繪出拉伸過程材料的σ-ε曲線，如圖10-7b，稱為試樣材料的拉伸應(yīng)力—應(yīng)變圖。裝配了電腦的試驗(yàn)機(jī)可直接自動(dòng)繪出σ-ε曲線。彈性階段從Ｑ235鋼試樣的拉伸圖和應(yīng)力—應(yīng)變圖可以看出，Ｑ235鋼材從受力到拉斷的變形過程可以劃分為四個(gè)階段：1．彈性階段（O-a-b）在拉伸的最初階段（O－a），拉力Ｆ與伸長(zhǎng)量△l成正比，應(yīng)力σ與ε應(yīng)變成正比，其關(guān)系線Oa為一斜直線。即：△l∝Ｆ

σ∝ε遵從胡克定律。顯然，σ與ε的比例系數(shù)（就是Oa線的斜率），即為材料的彈性模量Ｅ： Ｅ＝tanα點(diǎn)a所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，是應(yīng)力與應(yīng)變成正比例關(guān)系的最高應(yīng)力，它就是前面所說的材料比例極限σP。當(dāng)應(yīng)力超過比例極限σP后，應(yīng)力與應(yīng)變不再是直線關(guān)系。但在圖示b點(diǎn)以下，變形仍保持完全彈性，即解除拉力或說釋放應(yīng)力后，變形將完全消失。b點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，是材料保持完全彈性的最高應(yīng)力，稱為材料的彈性極限，用σe表示。由于σPσe，所以工程上并不嚴(yán)格區(qū)分它們，都籠統(tǒng)地稱之為彈性極限。２．屈服階段（b－c）當(dāng)應(yīng)力超過b點(diǎn)后，試樣應(yīng)變?cè)黾用黠@加快。應(yīng)力增加到某一數(shù)值后會(huì)突然下降，然后在一很小范圍內(nèi)波動(dòng)，也可認(rèn)為基本不變，而應(yīng)變卻迅速增加，出現(xiàn)了水平方向的微小鋸齒形曲線。這種應(yīng)力基本上保持不變而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象，稱為材料屈服，故這一階段稱為屈服階段（又叫流幅）。屈服階段的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力（不包括首次下降時(shí)的最低應(yīng)力，因?yàn)樗艹跏夹?yīng)的影響）分別稱為材料的屈服高限和屈服低限。屈服高限的數(shù)值與試件形狀、加載速度等因素有關(guān)，一般是不穩(wěn)定的。屈服低限則比較穩(wěn)定，能夠反映材料的基本特性。因此，通常將屈服低限稱為材料的屈服極限，用σs表示。經(jīng)表面拋光處理的試樣，在屈服階段其表面上會(huì)出現(xiàn)一組較為明顯的與試樣軸線大致成45°的斜紋，如圖10-8所示。這是由于試樣在軸向拉伸時(shí)，在與桿軸成45°傾角的斜截面方向產(chǎn)生了較大切應(yīng)力，從而使鋼材內(nèi)部原子晶格沿該斜截面產(chǎn)生剪切位移，使試樣形成一組剪切滑移面。正因?yàn)榇?，這些斜紋又稱為滑移線。３．強(qiáng)化階段（c-e）試樣經(jīng)過屈服階段后，鋼材內(nèi)部原子晶格因剪切變形而重新排列，又具有了較強(qiáng)的抵抗剪切變形能力。這時(shí)，要使它繼續(xù)伸長(zhǎng)，必須施加拉力，直到曲線的頂點(diǎn)。這一階段稱為強(qiáng)化階段。該階段最高點(diǎn)的應(yīng)力，是材料從受力開始到拉斷為止全過程中所承受的最大應(yīng)力，反映了材料抵抗破壞的能力，稱為材料的強(qiáng)度極限，用σb表示。在強(qiáng)化階段，試樣的變形主要是塑性變形且比前兩階段的變形大得多，還可以明顯看到試樣的橫截面尺寸在縮小。頸縮階段4．局部變形階段（d-e）試樣應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限后，工作段的某一局部范圍內(nèi)橫截面會(huì)出現(xiàn)顯著的收縮，形成“細(xì)頸”。這一現(xiàn)象稱為頸縮現(xiàn)象（如圖10-8b所示）。此過程中，拉力F或應(yīng)力σ之值逐漸下降，變形△l或應(yīng)變?chǔ)艆s不斷增大。最后，試樣在細(xì)頸部位被拉斷，這說明Ｑ235鋼抗拉強(qiáng)度比抗剪強(qiáng)度高（因試樣沒沿斜截面剪壞）。這一階段稱為局部變形階段，又叫頸縮階段。二、材料的塑性指標(biāo)、卸載定律及鋼材的冷加工特性1．材料塑性指標(biāo)材料拉伸試樣被拉斷后，可以讓其斷口密合對(duì)接起來(lái)測(cè)量出此時(shí)工作段的長(zhǎng)度l1。l1肯定比原長(zhǎng)l要大。這是因?yàn)樵嚇永瓟嗪?，彈性變形雖然消失了，但塑性變形卻殘留了下來(lái)。材料拉伸試樣拉斷后工作段的殘余變形占原長(zhǎng)的百分比，稱為試樣的伸長(zhǎng)率，用δ表示。即 （10-9）由于的大小既與原長(zhǎng)大小有關(guān)，也與其橫向尺寸大小有關(guān)，故伸長(zhǎng)率δ也與試樣原長(zhǎng)l及其橫向尺寸有關(guān)。如Ｑ235結(jié)構(gòu)鋼長(zhǎng)試樣的伸長(zhǎng)率為δ10=20~30℅，短試樣的伸長(zhǎng)率卻為δ5=25~35℅。一般，不加說明時(shí)，伸長(zhǎng)率都指長(zhǎng)試樣的伸長(zhǎng)率。材料拉伸試樣拉斷后，斷口的橫截面積肯定比原橫截面積Ａ小，因?yàn)闄M截面收縮了。材料拉伸試樣拉斷后斷口橫截面積的收縮值占原橫截面積的百分比，稱為試樣的截面收縮率，用Ψ表示，即 （10-10）Ｑ235結(jié)構(gòu)鋼試樣的截面收縮率Ψ=60~70℅。伸長(zhǎng)率δ與截面收縮率Ψ都是材料塑性大小的表征，稱為材料的塑性指標(biāo)。工程上，常按材料的伸長(zhǎng)率把材料劃分為兩類：塑性材料（δ≥5%的材料）和脆性材料（δ＜5%的材料）。Ｑ235鋼、低合金鋼和鋁等都是塑性材料，鑄鐵、磚石和混凝土等都是脆性材料。在Ｑ235鋼的拉伸試驗(yàn)中，如果在某一點(diǎn)（圖10-9k1或k2點(diǎn)）停止拉伸，并緩慢釋放應(yīng)力或說解除拉力，則應(yīng)變將隨之慢慢減小并在全過程與應(yīng)力保持線性關(guān)系，且下降斜線（k1k′1和k2Ｏ′）平行于，即斜率為彈性模量E。在卸載過程中應(yīng)力―應(yīng)變呈正比且比例系數(shù)等于材料彈性模量的規(guī)律稱為卸載定律。完全卸載后，應(yīng)力已釋放完，應(yīng)變中彈性部分（如Ｏ′k′2）消失了，塑性部分（如ＯＯ′）則殘留下來(lái)。2．卸載定律

3．Ｑ235鋼材的冷加工特性

在Ｑ235鋼材拉伸試驗(yàn)時(shí)，如果拉到強(qiáng)化階段的某一時(shí)刻（如圖10-9中k2）停止加載然后卸載至零（如圖中k2→Ｏ′實(shí)線所示），然后立即再加荷載，則應(yīng)力―應(yīng)變線將沿卸載線上升回到卸載點(diǎn)（如圖中Ｏ′→k2虛線所示）。若不停頓繼續(xù)加載，則以后部分的應(yīng)力―應(yīng)變曲線與不卸載的一次性試驗(yàn)曲線完全吻合（如圖中k2→d→e虛線所示），直至拉斷。第一次拉伸的卸載點(diǎn)（k2）成為第二次拉伸的“屈服”點(diǎn)，同時(shí)也是新的比例極限點(diǎn)，二者已經(jīng)重合。第二次拉伸的殘余變形（Ｏ′e′）比一次性試驗(yàn)的殘余變形（Ｏe′）小，說明第二次拉伸時(shí)，鋼材的比例極限、“屈服”極限都提高了，而塑性卻降低了。這種現(xiàn)象叫變形硬化，它是“強(qiáng)化階段”命名的由來(lái)。變形硬化經(jīng)退火處理可消除之。如里拉到強(qiáng)化階的某一時(shí)刻卸載至零后不立即再拉，而是放置一段時(shí)間后再拉，則其比例極限、“屈服”極限還會(huì)進(jìn)一步提高（如圖中Ｏ′→k2→f→g→h實(shí)線所示），塑性則進(jìn)一步降低。這種現(xiàn)象叫時(shí)效硬化（自然時(shí)效）。時(shí)效硬化與卸載后放置進(jìn)間長(zhǎng)短有關(guān)，也可通過加熱來(lái)加速時(shí)效縮短時(shí)間（人工時(shí)效）。三、Ｑ235鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能按照鋼材壓縮試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，鋼材壓縮試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試樣應(yīng)制成短圓柱形。試樣直徑d一般取10mm，長(zhǎng)度一般?。?.5~3.5）d即25~35mm。Ｑ235鋼壓縮時(shí)的σ－ε曲線如圖10－10中實(shí)線所示（圖中虛線為同種鋼材拉伸時(shí)的σ－ε曲線）。變形過程可以分成三個(gè)階段：彈性階段（O-a-b，其中a點(diǎn)應(yīng)力為比例極限σp，b點(diǎn)應(yīng)力為彈性極限σe）、屈服階段（b-c，其首次下降之后的最低應(yīng)力為屈服極限σy）和強(qiáng)化階段（c-d）。進(jìn)入強(qiáng)化階段后，試樣被壓得越來(lái)越扁，橫截面面積越來(lái)越大，抗壓能力也不斷提高。加之計(jì)算應(yīng)力時(shí)仍采用原來(lái)橫截面面積，因而曲線呈向上無(wú)限延伸趨勢(shì)。這說明Ｑ235鋼壓縮時(shí)不存在強(qiáng)度極限。Ｑ235鋼壓縮時(shí)不存在頸縮現(xiàn)象，因此比拉伸時(shí)少了一個(gè)頸縮階段。Ｑ235鋼壓縮時(shí)的σ－ε曲線與拉伸時(shí)的σ－ε曲線在彈性階段和屈服階段吻合，說明Ｑ235鋼壓縮時(shí)的彈性模量E、比例極限σp（或彈性極限σe）及屈服極限σy等都與拉伸時(shí)相同。

σp＝σp，σe＝σe

σy＝σy因此，對(duì)Ｑ235鋼，無(wú)需做壓縮試驗(yàn)，也能從拉伸試驗(yàn)結(jié)果了解到它在壓縮時(shí)的力學(xué)性能。同理，Ｑ235鋼的設(shè)計(jì)抗壓強(qiáng)度也由受壓屈服極限σy確定。顯然，在相同可靠度時(shí)，Ｑ235鋼的設(shè)計(jì)抗壓強(qiáng)度＝設(shè)計(jì)抗拉強(qiáng)度。四、鑄鐵在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能鑄鐵拉伸、壓縮試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試樣分別與Ｑ235鋼拉伸、壓縮試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試樣相同?；铱阼T鐵拉伸、壓縮時(shí)的σ－ε曲線分別如圖10-11a、b所示。圖10-11從圖10-11中可以看出，灰口鑄鐵拉伸、壓縮時(shí)的σ－ε曲線都沒有明顯的直線部分，也不能劃分出變形階段。不過，在應(yīng)力較小的情況下，可近似地用切線或某一割線來(lái)代替曲線，從而使應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系符合胡克定律。當(dāng)彈性模量取切線的斜率E＝tanα?xí)r，稱為切線彈性模量。當(dāng)彈性模量取割線的斜率E＝tanα?xí)r，稱為割線彈性模量。從圖10-11a知，鑄鐵受拉試樣直到拉斷時(shí)應(yīng)力都很小，伸長(zhǎng)率也很?。é摹?.45％）。因此，鑄鐵是脆性材料的代表。試驗(yàn)還表明，鑄鐵受拉直到拉斷為止，其變形都基本上屬?gòu)椥宰冃?，殘余變形很小。從圖10-11b知，鑄鐵受壓破壞時(shí)的應(yīng)力和變形都比受拉破壞時(shí)的大得多，受壓強(qiáng)度極限（640~1300MPa）比受拉強(qiáng)度極限（98~390MPa）高達(dá)4~5倍，壓縮極限變形（伸長(zhǎng)率約5％）比拉伸極限變形高達(dá)10倍以上。因此，鑄鐵適宜作受壓構(gòu)件。試驗(yàn)還表明，鑄鐵受壓破壞時(shí)沿與試樣軸線成45°~55°角的斜截面發(fā)生錯(cuò)斷剪切破壞，這說明鑄鐵抗剪能力比抗壓能力低?；铱阼T鐵這類脆性材料的拉伸、壓縮破壞都是突然性的，事先沒有預(yù)兆，這種破壞稱為脆性破壞。其破壞的標(biāo)志就是斷裂，因此其設(shè)計(jì)抗拉、抗壓強(qiáng)度值由強(qiáng)度極限值來(lái)確定。工程上應(yīng)盡量避免結(jié)構(gòu)發(fā)生脆性破壞，以減少生命與財(cái)產(chǎn)損失。五、其它材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能

1．幾種其它常用塑性金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能我們來(lái)討論幾種常用塑性金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能。其試驗(yàn)所得σ－ε曲線如圖10-12a、b所示。從圖中可以看出，低合金鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能與鋼的成分關(guān)系密切。例如，Q345鋼在拉伸時(shí)四個(gè)變形階段很明顯，且屈服極限、強(qiáng)度極限都比Ｑ235鋼高得多，只是屈服階段稍短、伸長(zhǎng)率略低。而Mn鋼則只有彈性階段和強(qiáng)化階段，沒有屈服階段與局部變形階段。鋁合金和退火球墨鑄鐵沒有屈服階段，其它三個(gè)階段卻很明顯。對(duì)于沒有屈服階段的塑性材料，通常取拉伸試驗(yàn)卸載后殘余應(yīng)變?yōu)?.2％時(shí)的拉應(yīng)力作為名義屈服極限，用σ0.2表示，即取σs=σ0.2，如圖10-12c所示。機(jī)械工程中還使用一種叫規(guī)定非比例伸長(zhǎng)應(yīng)力的強(qiáng)度指標(biāo)。它是指試樣工作段的非比例伸長(zhǎng)達(dá)到原始工作段長(zhǎng)度的某一規(guī)定的百分比時(shí)的應(yīng)力。這里所謂非比例伸長(zhǎng)是指外力與伸長(zhǎng)不呈比例關(guān)系的伸長(zhǎng)（參見GB228—87《金屬拉伸試驗(yàn)方法》）。圖10-12圖10-132．混凝土在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能

混凝土是由水泥、石子和砂加水?dāng)嚢杈鶆蚝蠼?jīng)水化作用凝結(jié)硬化而成的人工混合建筑材料。由于石子粒徑比試樣尺寸小得多，故可近似地看作勻質(zhì)、各向同性的材料。混凝土受壓試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試樣有立方體試塊（150×150×150mm）和棱柱體試塊（150×150×300mm）兩種，其相應(yīng)σ－ε曲線分別如圖10-13a、b，測(cè)得的極限壓應(yīng)力分別叫做立方體抗壓強(qiáng)度和軸心抗壓強(qiáng)度。混凝土的強(qiáng)度等級(jí)就是按立方體強(qiáng)度來(lái)確定的?；炷潦芾囼?yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試樣為100×100×500mm的棱柱體，其σ－ε曲線如圖10-13c，測(cè)得的極限拉應(yīng)力叫做軸心抗拉強(qiáng)度。從混凝土在拉伸、壓縮時(shí)的σ－ε曲線可以看出，在應(yīng)力較小時(shí)（σ＝30~50%σb），可以認(rèn)為σ與ε的關(guān)系接近斜直線。但應(yīng)力較大時(shí)，σ－ε曲線的彎曲就明顯了?；炷潦軌簭椥阅Ａ咳±庵w受壓時(shí)σ－ε曲線（圖10-13b）的原點(diǎn)切線斜率，Ec＝tanα0，受拉彈性模量取Et＝Ec/2。嚴(yán)格說來(lái)，混凝土從一開始受力就有塑性變形，并沒有真正的“完全彈性”階段。也就是說，真實(shí)混凝土不能作為彈性材料來(lái)對(duì)待。比較圖10-13b與c可以看出，混凝土的抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度高得多。通常，混凝土抗壓強(qiáng)度約為抗拉強(qiáng)度的5~20倍。3．砌體在受壓時(shí)的力學(xué)性能

砌體是塊材（磚、石或砌塊）用砂漿粘結(jié)起來(lái)形成的一種人工建筑材料。標(biāo)準(zhǔn)磚（240×115×53mm）砌體的標(biāo)準(zhǔn)受壓試樣為240×370×720mm的長(zhǎng)方體（如圖10-14a），其σ－ε曲線如圖10-14b。從圖中看出，在應(yīng)力較小時(shí)σ－ε關(guān)系接近直線，隨著應(yīng)力的增大，應(yīng)變?cè)黾幼兛?，曲線彎曲明顯并逐漸平坦。試樣破壞時(shí)的應(yīng)力就是強(qiáng)度極限，極限應(yīng)變約為0.4％，是脆性材料。試驗(yàn)還表明，砌體的抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度都高，最宜于作受壓構(gòu)件。圖10-144．木材在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能

木材是一種天然建筑材料。直觀上，它由縱向纖維粘聚而成，有明顯的纖維紋路。木材的力學(xué)性能與所施加的應(yīng)力同木紋之間的夾角有很大關(guān)系。這說明木材是一種力學(xué)性能具有方向性的材料，這樣的材料叫做各向異性材料。圖10-14c是松木拉伸、壓縮時(shí)的σ－ε曲線。從圖中可以看出，松木順紋抗拉強(qiáng)度比順紋抗壓強(qiáng)度高得多，橫紋抗壓強(qiáng)度則較低。橫紋壓縮時(shí)，其初始階段σ－ε關(guān)系基本上呈線性關(guān)系，當(dāng)應(yīng)力超過比例極限后，曲線迅速變得平坦，試樣產(chǎn)生很大的塑性變形。因此，工程上通常以其比例極限作為橫紋抗壓強(qiáng)度指標(biāo)。試驗(yàn)還表明，木材橫紋抗拉強(qiáng)度非常低，工程中應(yīng)避免木構(gòu)件橫紋受拉。值得指出的是，盡管木材順紋抗拉強(qiáng)度很高，但因受木節(jié)等缺陷影響，其強(qiáng)度值波動(dòng)較大。順紋抗壓強(qiáng)度雖低一些，但受木節(jié)等缺陷影響較小。因此，木材尤其宜作順紋受壓構(gòu)件。正因?yàn)榇耍こ躺隙嘤媚静淖髦?、斜撐等承壓?gòu)件。圖10-14表10-1常用材料的力學(xué)性能指標(biāo)約值六、材料的抗拉壓強(qiáng)度所謂材料強(qiáng)度，就是材料抵抗破壞的能力，通常用材料能承受的最大應(yīng)力來(lái)表示，又稱為材料的許用應(yīng)力或容許應(yīng)力。如前所述，塑性材料的“破壞”是指屈服，脆性材料的“破壞”是指斷裂。值得強(qiáng)調(diào)的是，塑性材料的屈服盡管不是真正意義上的破壞，但會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件過大變形而使結(jié)構(gòu)不能繼續(xù)承受荷載（這在工程上稱為結(jié)構(gòu)失效），所以也被看作是“破壞”。用安全系數(shù)法確定材料的抗拉（壓）強(qiáng)度值時(shí)，就是將材料的拉（壓）破壞應(yīng)力σu（即塑性材料的屈服極限σy或脆性材料的強(qiáng)度極限σb）除以一個(gè)大于1的系數(shù)n而得，用[σ]表示，即

[σ]＝σu／n由于n大于1，所以除以n就意味著把材料能承受的最大應(yīng)力值確定得比材料破壞時(shí)的應(yīng)力低。這就是給材料預(yù)留一定的強(qiáng)度儲(chǔ)備量，以確保使用時(shí)的安全度。所以n稱為材料強(qiáng)度的安全系數(shù)。各種結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)由國(guó)家規(guī)范或相關(guān)部門的規(guī)程確定。常用材料的許用應(yīng)力約值見表10－2。第四節(jié)軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件及應(yīng)用一、軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件桿件的強(qiáng)度條件就是保證桿件具有足夠安全可靠度的條件。要保證軸向拉（壓）桿具有足夠安全可靠度，全桿的最大工作應(yīng)力σmax（即由荷載引起的桿件橫截面最大正應(yīng)力）不應(yīng)超過桿件材料的抗拉（壓）強(qiáng)度[σ]，即

σmax≤[σ]

（10-11）這就是軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件表達(dá)式，實(shí)際上是一個(gè)應(yīng)力不等式。對(duì)于軸向拉壓等直桿，如果全桿最大軸力為FNmax，則全桿的最大工作應(yīng)力為σmax＝FNmax／A，故其強(qiáng)度條件可寫為

σmax＝FNmax／A≤[σ]

（10-12）計(jì)算時(shí)，軸力和應(yīng)力都用絕對(duì)值，拉或壓由直觀確定。

二、軸向拉壓桿強(qiáng)度條件的應(yīng)用

軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件同以后將學(xué)習(xí)的其它強(qiáng)度條件一樣，都有三類用途：（1）強(qiáng)度校核即驗(yàn)算桿件是否滿足強(qiáng)度條件。此時(shí)已知桿件的材料（從而知材料強(qiáng)度值[σ]）、橫截面形狀與尺寸（從而知橫截面面積A）和荷載（從而知軸力FN），驗(yàn)算不等式（10-11）或（10-12）是否成立。（2）桿件截面設(shè)計(jì)即確定桿件橫截面尺寸。此時(shí)已知桿件的材料（從而知材料強(qiáng)度值[σ]）、荷載（從而知軸力FN）并選定了桿件橫截面形狀，確定橫截面尺寸。對(duì)等直桿，由式（10-12）可得

A≥FNmax／[σ]上式右端FNmax／[σ]其實(shí)就是所需的橫截面最小面積Amin，即

Amin=FNmax／[σ]已知了桿件橫截面形狀，即根據(jù)計(jì)算出的Amin值可反算出橫截面最小尺寸，方形截面桿的最小邊長(zhǎng)amin＝，圓形截面桿的最小直徑dmin＝。最后結(jié)合實(shí)際工程要求即可確定桿件橫截面設(shè)計(jì)尺寸。（3）許可荷載計(jì)算即確定結(jié)構(gòu)能承受的荷載值。此時(shí)已知桿件的材料（從而知材料強(qiáng)度值[σ]）、橫截面形狀與尺寸（從而知橫截面面積A），可求出桿件能承受的軸力上限值，稱為桿件的容許軸力，用[FN]表示。對(duì)等直桿，由式（10－12）可得

FNmax≤[σ]A[σ]A就是其能承受的軸力上限值，用[FN]表示，即

[FN]=[σ]A然后根據(jù)桿件軸力與結(jié)構(gòu)荷載的關(guān)系，即可求出結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]之值。

例10－4

某正方形截面磚柱，橫截面邊長(zhǎng)為490mm，柱高H＝1m，柱頂承受軸向壓力F＝145kN（如圖10-15a）。已知磚砌體容重γ＝18kN／m3，其抗壓強(qiáng)度[σc]＝1MPa。試驗(yàn)算該柱的強(qiáng)度。例10－4圖10-15解：由于考慮自重作用，磚柱軸力不是均勻分布，而是上小下大。

FNA＝–145kN，

FNB＝–（F＋γAH）＝–（145＋18×0.492×1）＝–149.3kN。作出柱的軸力圖如圖10-15b。顯然，柱的絕對(duì)最大壓力位于柱底：FNmax＝149.3kN。柱為等直桿，故絕對(duì)最大壓應(yīng)力也在柱底，為σmax＝FNmax／A＝149.3×103／（490×490）＝0.622N／mm2＜[σ]該柱強(qiáng)