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文檔簡介
第一節(jié)大數(shù)定律先介紹r.v序列幾種收斂性的定義1.幾乎處處收斂:設(shè)X1,X2,…是定義在同一概率空間(,F(xiàn),P)上的r.v列,如果
則稱r.v列幾乎處處(或依概率1)收斂于,記為(或a.s)第一節(jié)大數(shù)定律2.依概率收斂:若對任意的>0,有
(或:)
則稱r.v列依概率(或隨機收斂)收斂于r.vX,記為
第一節(jié)大數(shù)定律3.依分布收斂(或弱收斂):設(shè)r.vX,Xn各自d.f為F(x)和Fn(x),若在F(x)的每一連續(xù)點x處,有
則稱r.v列Xn依分布收斂于r.vX,記為或第一節(jié)大數(shù)定律4.依r階平均收斂:設(shè)對某r>0,,若有則稱r.v列{Xn}依r階平均(矩)收斂到X,記為
以上四者之關(guān)系為
第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律的數(shù)學定義:
設(shè){Xn}是r.v列,記,{an}是常數(shù)列。若>0,有
即則稱{Xn}(按算術(shù)平均值)服從大數(shù)定律。命題1車比雪夫定理
(由車比雪夫在1866年證明的)
設(shè){Xn}是相互獨立的r.v列,若存在c>0,使DXn≤c,則{Xn}服從大數(shù)定律。
證明:取,∵{Xn}相互獨立,∴故
從而由車比雪夫不等式,有第一節(jié)大數(shù)定律推論:設(shè)r.v列{Xn}相互獨立,且,存在,則{Xn}服從大數(shù)定律。例如:某容器內(nèi)有很多氣體分子,它們在不斷地運動,每個氣體分子運動是隨機的,在一定溫度下容器內(nèi)某部分氣體分子的動能的算術(shù)平均值幾乎是一個常數(shù)。命題2貝努利定理(BernoulliTh)
在Bernoulli試驗中,設(shè)事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,記nA為前n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),則>0,有
即第一節(jié)大數(shù)定律證明:令
則{Xk,k≥1}相互獨立,且DXk=pq≤1(EXk=p),
,,∴由命題1知
由此Th可知,為什么在實際中,可用頻率去代替概率的道理。命題3泊松定理(PoissonTh)
設(shè)在獨立試驗中,事件A在第k次試驗中出現(xiàn)的概率為pk,以nA表示前n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),則有
證明:令
則由,,
再由命題1即可得證。命題4辛欽定理
設(shè){Xk,k≥1}是i.i.dr.v列,則{Xk}服從大數(shù)定律的充分必要條件是X1有有限的期望(證明參見王梓坤:《概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用》)大數(shù)定律的意義和應(yīng)用車氏命題1說明:當n很大時,n個r.v的算術(shù)平均值與其期望平均值相差很小的可能性很大,即故在測量中,常用測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均去代替測量值。大數(shù)定律的意義和應(yīng)用
貝氏命題2說明:試驗次數(shù)很大時,可用事件出現(xiàn)的頻率代替事件出現(xiàn)的概率。由命題2知:實用中,希望相當?shù)匦?,比如只要即可。第一?jié)大數(shù)定律例:設(shè)在具有n個任意開、關(guān)的電路試驗中,假定在每次試驗中,開或關(guān)的概率均為,用K表示n次試驗中遇到開電的次數(shù),欲使開關(guān)頻率與的絕對值之差小于0.01,且要求99%以上的可靠性保證其實現(xiàn),試問試驗次數(shù)n至少多大?解:這里,=99%,解出t=10
∴強大數(shù)定律
如果r.v列Xn滿足
或,特別當時,
則稱服{Xn}從強大數(shù)定律。強大數(shù)定律KolmogorovTh
設(shè){Xn}相互獨立,且,則{Xn}服從強大數(shù)定律。BorelTh
設(shè)在Bernoulli試驗中,事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),nA表示前n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),則
或BorelTh(續(xù))證明:事實上,令∵,∴
故{Xn}服從強大數(shù)定律。第二節(jié)中心極限定理(CLT)先看例1:已知某些型號芯片的次品率為0.01,出廠時每千只裝一盒,問其中次品個數(shù)介于5到20只的概率p?解:令
故得到Xk的分布為X10P0.010.99第二節(jié)中心極限定理(CLT)例1(續(xù))
{Xk}是相互獨立,記,則為一盒中可能出現(xiàn)的次品個數(shù),所以
按題意
現(xiàn)在設(shè)法尋找一個近似計算上式的方法或公式。第二節(jié)中心極限定理(CLT)例2:設(shè)炮彈射擊的目標位置是原點(0,0),彈差點
(X,Y),設(shè)X----落點與目標0沿x軸的偏差是隨機d,產(chǎn)生偏差原因有:瞄準誤差X1,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)誤差X2,空氣阻力引起誤差X3,炮手的技術(shù)、心理誤差X4,…等等故,各Xk相互獨立,考察X的分布CLT,即要解決許多獨立r.v之和的極限分布,數(shù)學上一般提法:第二節(jié)中心極限定理(CLT)例2(續(xù))設(shè){Xn}是r.v列,且EXn,DXn均存在,記
若實數(shù)x,有
則稱{Xn}服從CLT,記為第二節(jié)中心極限定理(CLT)Th1:設(shè){Xn,n≥1}是i.i.dr.v列,且,則{Xn}服從CLT,此時,,Th2:(DeMoivre-LaplaceTh)設(shè)r.v(n≥1)是具有參數(shù)n、p(0<p<1)的二項分布,則對任意區(qū)間[a,b],有Th2DeMoivre-LaplaceTh(續(xù))證明:令為Bernoulli試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),而P(A)=p,記
則,各Xk相互獨立同分布,并且
故{Xk}i.i.d的,,所以由Th1知
從而DeMoivre-LaplaceTh(續(xù))
由此Th2可計算例1的P():事實上,n=1000,p=0.01np=10
,故
第二節(jié)中心極限定理(CLT)例3:一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk,(),各
Vk是相互獨立r.v,且均服從U(0,10),記,求P(V>105)。
解:∵Vk的d.l為
∴
第二節(jié)中心極限定理(CLT)例3(續(xù))故
∴
第二節(jié)中心極限定理(CLT)
對于{Xn}獨立非同分布情況,引進下述的Linderberg條件,即>0,有
其中,,第二節(jié)中心極限定理(CLT)
該Lin氏條件是使各Xk所引起的影響“均勻地小”,即
第二節(jié)中心極限定理(CLT)Th3(LinderbergTh)設(shè)相互獨立r.v序列{Xn}滿足Linderberg條件,則{Xn}服從CLT。Th4(李雅普諾夫定理)若對獨立r.v序列{Xn}滿足:存在某一>0,使有
則{Xn}服從CLT。Th4李雅普諾夫定理(續(xù))證明:只要驗證Lin氏條件成立即可事實上,
在一般證明題中,可以取,只要驗證即可CLT與大數(shù)定律之關(guān)系大數(shù)定律只斷定,>0,
但不知的具體值。而CLT則給出它一個近似值,即在{Xn}i.i.d時,有
(,,k≥1)第二節(jié)中心極限定理(CLT)例4:拋擲硬幣1000次,要求出現(xiàn)正面次數(shù)在440
與K次之間的概率約為或(),求K值。(記X為出現(xiàn)正面次數(shù))第二節(jié)中心極限定理(CLT)例4(續(xù))解:記n=1000,已知每次擲硬幣出現(xiàn)正面概率為p=,np=500,,先計算
查表得到K=500。第二節(jié)中心極限定理(CLT)例5:現(xiàn)有一大批種子,其中良種占,今在其中任選6000粒,試問在這些種子中,良種所占
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