工學(xué)行列式按行列展開

9/2/202312:56AM線性代數(shù)講義設(shè)計(jì)制作王新心9/2/202312:56AM（一）余子式和代數(shù)余子式§1.6行列式按行（列）展開

（二）行列式按行（列）展開9/2/202312:56AM一般而言，第一章行列式低階行列式比高階行列式的計(jì)算要簡單，所以有時(shí)會(huì)考慮用較低階行列式來表示較高階行列式。

【定義】在階行列式中，將元留下的所在的第行和第列的元素劃去后，階行列式稱為元的余子式，記作稱為元的代數(shù)余子式。（一）余子式和代數(shù)余子式9/2/202312:56AM例如四階行列式第一章行列式元的余子式和代數(shù)余子式分別為9/2/202312:56AM第一章行列式

【引理】一個(gè)階行列式，的所有元素除元外都為0，那么這個(gè)行列如果其中第行即等于與它的代數(shù)余子式的乘積，證先證的情形，此時(shí)

（二）行列式按行（列）展開9/2/202312:56AM第一章行列式有這是上節(jié)例4中當(dāng)時(shí)的特殊情況，再證一般情形又從而此時(shí)9/2/202312:56AM第一章行列式為了利用上面結(jié)論，調(diào)換：對(duì)的行列作如下行、…、第1行對(duì)調(diào)，這樣數(shù)就調(diào)成元，將的第行依次與第行、第調(diào)換的次數(shù)為次；再將第列依次與第這樣數(shù)就調(diào)列、第列、…、第1列對(duì)調(diào)，成元，調(diào)換次數(shù)為次。總之，經(jīng)次調(diào)換，將數(shù)調(diào)成了元，所得的行列式9/2/202312:56AM第一章行列式有第1行其余元素都為0，利用前面的結(jié)果，于是而中元的余子式就是中元的余子式。由于的元為，證畢9/2/202312:56AM第一章行列式

【定理】行列式等于它的任一行（列）的各元素與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證9/2/202312:56AM第一章行列式9/2/202312:56AM第一章行列式根據(jù)引理得類似地，若按列證明得此定理稱為行列式按行（列）展開法則。利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算?？梢院喕?/2/202312:56AM第一章行列式

解

例1計(jì)算上節(jié)中行列式9/2/202312:56AM第一章行列式9/2/202312:56AM第一章行列式

證

例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式利用數(shù)學(xué)歸納法9/2/202312:56AM第一章行列式（1）式成立。所以當(dāng)時(shí)，成立，要證（1）式對(duì)階范德蒙德行列式成立假設(shè)（1）式對(duì)于階范德蒙德行列式為此設(shè)法將降階，從第行開始，后行減去前行的倍，有9/2/202312:56AM第一章行列式按第1列展開，并將每列的公因子提出，有9/2/202312:56AM第一章行列式按歸納法假設(shè)，上式右端的行列式是階范德蒙德行列式，它等于所有因子的乘積其中，故證畢9/2/202312:56AM第一章行列式故

例如行列式是一個(gè)范德蒙德行列式9/2/202312:56AM第一章行列式

【推論】行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證將行列式按第行展開9/2/202312:56AM第一章行列式在上式中，可得將換成，9/2/202312:56AM第一章行列式上式右端行列式中有兩行對(duì)應(yīng)元素第行第行當(dāng)時(shí)，9/2/202312:56AM第一章行列式相同，故行列式等于零，證畢即得上述證法如按列進(jìn)行，即可得9/2/202312:56AM第一章行列式綜合定理3及推論，重要性質(zhì)：或有關(guān)于代數(shù)余子式的當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中當(dāng)當(dāng)9/2/202312:56AM第一章行列式按照上述推論中所用的方法，在行列式按第行展開式中，用依次代替，可得9/2/202312:56AM第一章行列式事實(shí)上，將式左端行列式按第行展開，它的元的代數(shù)余子式等于中元9/2/202312:56AM第一章行列式的代數(shù)余子式，類似地，也可知式成立。用代替中的第列，可得9/2/202312:56AM第一章行列式

例3設(shè)求的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，及9/2/202312:56AM第一章行列式等于即用代替的第1行所得的行列式，

解由式可知，9/2/202312:56AM第一章行列式由式可知9/2/202312:56AM內(nèi)容小結(jié)第一章行列式

1、行列式按行（列）展開9/2/202312:56AM第一章行列式

2、代數(shù)余子式的性質(zhì)或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中當(dāng)當(dāng)9/2/202312:56AM第一章行列式

1、設(shè)數(shù)余子式。解求的值，其中為元素的代備用題9/2/202312:56AM第一章行列式

2、設(shè)階行列式求第一行各元素代數(shù)余