曲面與空間曲線

山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案整理得此即所求點(diǎn)的規(guī)跡方程，為一平面方程。2.坐標(biāo)面及與坐標(biāo)面平行的平面方程：①坐標(biāo)平面xOy的方程：z=0②過點(diǎn)（a,b,c)且與xOy面平行的平面方程：z=c③坐標(biāo)面yOz、坐標(biāo)面zOx以及過（a,b,c)點(diǎn)且分別與之平行的平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案3.球面方程：①球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑的球面方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22

故此為一個(gè)球心在（-1,1,0)，半徑為2的球。球面方程的特點(diǎn)：平方項(xiàng)系數(shù)相同；沒有交叉項(xiàng)。②球面的一般方程：

x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案一般我們將動(dòng)直線l沿定曲線c平行移動(dòng)所形成的軌跡稱為柱面。其中直線l稱為柱面的母線，定曲線c稱為柱面的準(zhǔn)線。本章中我們只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。此時(shí)有以下結(jié)論：

分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點(diǎn)為：平行于某軸，則在其方程中無此坐標(biāo)項(xiàng)。其幾何意義為：無論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上。

若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xOy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面。4.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程：山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案圓柱面；橢圓柱面；雙曲柱面；拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類似。幾種常見柱面：x+y=a

平面；山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案4.旋轉(zhuǎn)曲面：一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)的定直線l旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線，l稱為其軸。本章中我們只研究繞坐標(biāo)軸放置的曲面。此時(shí)有以下結(jié)論：

設(shè)yOz平面上有一已知曲線c

其方程為f(y,z)=0，將c繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的以z軸為軸的放置曲面的方程為：山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：同理,以xOy面上曲線f(x,y)=0為母線繞x軸得曲面繞y軸為以xOz面上曲線f(x,z)=0為母線繞x軸得曲面繞z軸得曲面例3

求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為a的圓錐面方程。解：將yOz面上的直線z=yctg

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面整理后得：其中a=ctg

山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案二.空間曲線及其方程：

1.空間曲線的一般方程：空間曲線一般可看作兩個(gè)曲面的交線，若兩個(gè)曲面的方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則易知其交線c的方程為稱此方程組為曲線c的一般方程。

例4：方程組表示怎樣的曲線？解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心的單位圓。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案表示母線平行于Z軸，準(zhǔn)線在xoy面上半徑為1的上半球面例方程表示怎樣曲線解：

表示中心在原點(diǎn)，半徑為1的圓柱面它們的交線是xoy面上的一個(gè)圓，其圓心在，半徑為山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案2.空間曲線的參數(shù)方程：

方程組稱為空間中曲線的參數(shù)方程。設(shè)空間曲線方程如果選定一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)x=x（x）代入上述方程組并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例如果空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2

上以等角速度繞z周旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，以等速度v沿平行于Z軸的正方向移動(dòng)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì)，當(dāng)從變到時(shí)，Z由變到這說明當(dāng)轉(zhuǎn)過角時(shí)，點(diǎn)沿螺旋線升了高度，即上升的高度與轉(zhuǎn)過角度成正比。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案

三.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為一個(gè)通過曲線L母線平行于z軸的柱面，稱為曲線c關(guān)于xOy面的投影柱面。此投影柱面與xOy平面的交線即為c在xOy平面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影，其方程為同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程為和山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案解消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程為3x2+2y2=1例求曲線L：在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線投影曲線方程投影曲線方程消去x得Z=1-y2投影曲線方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程為3x2-2Z-1=0投影柱面方程為Z=1-y2山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案的交線是一條空間曲線例兩個(gè)柱面和山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案

例5：求曲線在xOy面上的投影方程。

解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程為從而曲線在xOy面上的投影方程為山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案四二次曲面通過截痕法，了解二次曲面的全貌1.橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線均為橢圓若a=b,則旋轉(zhuǎn)橢球面山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案2單葉雙曲面Z=h截,截痕為一橢圓。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案x=h，或y=h截,截痕為一雙曲線。2）當(dāng)時(shí)，截痕為一對(duì)直線1）當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，實(shí)軸平行與x軸，虛軸平行與z軸，當(dāng)由零增大到b時(shí)，曲線的兩半軸縮小至零。3）當(dāng)時(shí)，曲線仍為雙曲線，但實(shí)軸平行于z軸，虛軸平行與x軸，當(dāng)由b增大時(shí)，曲線的兩半軸也增大。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案同樣用平行于yoz的平面相截時(shí)截痕也是雙曲線，可用同樣的方法討論。這是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。當(dāng)a=b時(shí)，方程變?yōu)?雙葉雙曲面雙葉雙曲面對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)及三個(gè)坐標(biāo)面Z=h截，截痕為山東水利職業(yè)學(xué)