工學結(jié)構(gòu)力學第九講

第九章虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算9.1結(jié)構(gòu)位移計算概述

一、結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)A位移轉(zhuǎn)角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉(zhuǎn)角P9.1結(jié)構(gòu)位移計算概述

一、結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)AP引起結(jié)構(gòu)位移的原因制造誤差等荷載溫度改變支座移動鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:

二、計算位移的目的(1)剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。(2)超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求（3）理想聯(lián)結(jié)(IdealConstraint)。三、本章位移計算的假定疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),四、計算方法單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)9.2變形體虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)功：力對物體作用的累計效果的度量功=力×力作用點沿力方向上的位移實功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功虛功：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功6.2變形體虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)力狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應滿足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；二、廣義力、廣義位移一個力系作的總虛功

W=P×

P---廣義力;

---廣義位移例:1)作虛功的力系為一個集中力2)作虛功的力系為一個集中力偶3)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力偶4)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力PPP

剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是，對于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。三、剛體體系的虛功原理PΔ2Δ3Δ/2虛功原理的應用：1）虛設位移求未知力（虛位移原理）2）虛設力系求位移（虛力原理）原理的表述：體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形，體系上所有外力所作的虛功總和恒等于體系各截面所有內(nèi)力在微段變形位移上作的虛功總和。四、變形體系的虛功原理說明：（1）虛功原理里存在兩個狀態(tài)：

力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。（2）原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。

（3）原理應用：虛設位移求未知力（虛位移原理）虛設力系求位移（虛力原理）ds微段的變形可分為:d

dsdd1Pq2N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMds微段內(nèi)力在變形位移上所作虛功：對于桿系結(jié)構(gòu)，內(nèi)力所作虛功：外力所作虛功：由變形體虛功原理：虛功原理應用舉例例.求A

端支座發(fā)生豎向位移c

時引起C點的豎向位移

.解：首先構(gòu)造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載。由得：解得：

這是單位荷載法

。虛功方程為：ABaCbc1ABC9.3單位荷載法計算位移和位移計算的一般公式

虛設力狀態(tài)。在求位移處沿所求位移方向加上相應的廣義單位力P=1.欲計算位移狀態(tài)某位移。由變形體虛功原理：

該式是結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。

1)適用于靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。

2)適用于產(chǎn)生位移的各種原因、不同的變形類型、不同的材料。

3)該式右邊四項乘積，當力與變形的方向一致時，乘積取正。P=1虛擬力狀態(tài)11RP1P2t1t2位移狀態(tài)2c1KΔKHK9.4荷載作用下的位移計算適用于線彈性體系1.梁與剛架2.桁架3.組合結(jié)構(gòu)4.拱例如:

A求△AH實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)A1

A求

A1虛擬狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B

求△AB11B

求

AB11在擬求位移處沿著擬求位移的方向，虛相應的廣義單位荷載。

例1

求圖示剛架A點的豎向位移△Ay。E、A、I為常數(shù)。ABCqLLA`實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)ABC1解：1.設置虛擬狀態(tài)xx選取坐標如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：x,BC段：2.實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx例2求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。解：1）虛擬單位荷載MP（x1）=Px/20≤x≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj2）MP須分段寫m=1Pl/2l/2EIABx1x2解：例3求圖示桁架(各桿EA相同)k點水平位移.梁與剛架荷載作用下的位移計算公式：9.5圖乘法如何利用彎矩圖，使其計算得以簡化？一、圖乘法的公式(EI為常數(shù))(直桿)圖乘法求位移公式為:1.圖乘法的應用條件：（1）桿軸為直線；（2）EI為常數(shù)；（3）兩個彎矩圖中應有一個是直線圖形。2.圖乘法的注意事項（1）必須符合上述三個前提條件；（2）豎標yC只能取自直線圖形；（3）與yC若在桿件同側(cè)則乘積取正號，反之取負號。例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角.解:

求

取

yc的圖形必須是直線,不能是曲線或折線.能用

M圖面積乘MP圖豎標嗎?例.試求圖示結(jié)構(gòu)B點豎向位移.解:二、幾種常見圖形的面積和形心的位置(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4頂點頂點

例

求下圖所示剛架C、D兩點間距離的改變。設EI=常數(shù)。ABCDLhq解：1.作實際狀態(tài)的MP圖。MP圖2.設置虛擬狀態(tài)并作。11hhyC=h3.按公式計算（→←）?CD=∑EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2

形心（

）圖圖例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角解:BAq三、圖形分解求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角根據(jù)彎矩區(qū)段疊加的做法，復雜圖形均可化為簡支梁相應荷載作用的疊加。qBA9.6溫度作用時的位移計算

上、下邊緣的溫差:設線膨脹系數(shù)為溫度沿桿件截面高度線性變化。α靜定結(jié)構(gòu)溫度變化有形變無內(nèi)力一、微段的溫度變形分析若軸線溫度二、溫度變化時位移計算溫度引起的位移計算公式:對等截面直桿:若和使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正，反之為負。軸力拉為正，t0

升溫為正。例：剛架施工時溫度為20

，試求冬季外側(cè)溫度為

-10

，內(nèi)側(cè)溫度為

0時A點的豎向位移。已知

l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度

h=0.4m解：設單位力。MllAANA9.7

支座移動時的位移計算

計算公式為:靜定結(jié)構(gòu)支座移動有位移無內(nèi)力K1K例1:求解：設單位力；求支反力。CBAll靜定結(jié)構(gòu)位移計算小結(jié)1.產(chǎn)生位移的原因荷載作用；溫度改變；支座移動；制造誤差等。2.計算方法基本原理:變形體虛功原理;基本方法:單位荷載法;計算思路:(1)虛設單位力;

(2)分析結(jié)構(gòu)位移、變形位移；

（3）得出實用位移計算公式；

（4）具體位移計算。9.8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理:

在線性變形體系中，①狀態(tài)的外力在②狀態(tài)位移上所做虛功，恒等于②狀態(tài)外力在①狀態(tài)位移上所做虛功。應用條件:1)σ<σP;2)小變形。即:線性變形體系。N1

M1

Q1N2

M2

Q2F1F2②P1P2①2.位移互等定理

由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應的位移δ12

。PPD=D212121若：P1=1，P2=1注意:1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應的廣義位移。

2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。②P2P1①Δ21Δ123、反力互等定理