2021年度精算師考試金融數(shù)學(xué)課本知識(shí)精粹

第一篇：利息理論

第一章：利息基本概念

優(yōu)⑺

oo-------

a(t)

1、有關(guān)利息力：＜a⑺=J'

J；A{n)6tdt=A(n)-A(0)

j(m)4(p)

2、(i+——)m=i+i=-]=(i-dy}=(i------yp=/

mvp

r.

單利率下的利息力：b,二—二

2'1+it

3、j

但貼現(xiàn)下的利息力：3=—

['ti-id

|■嚴(yán)格單利法（英國(guó)法）

4、投資期的確定常規(guī)單利法（歐洲大陸法）

銀行家規(guī)則（歐洲貨幣法）

5、等時(shí)間法：/=上一

%

k=l

第二章年金

(Xy\—1+1)Cl~n\~d—ri+1

1n\n-l\

1、＜

5月—S—](1+i)S川=S--i—1

In\zi+ll

Vd'n\—Clm+n\—。浣1

3、零頭付款問(wèn)題：（1）上浮式（2）常規(guī)（3）扣減式

4：變利率年金（1）各付款期間段利率不同

（2）各付款所根據(jù)利率不同

5、付款頻率與計(jì)息頻率不同年金

（1）付款頻率低于計(jì)息頻率年金

現(xiàn)值:曳

期末付年金:叼…….永續(xù)年金現(xiàn)值:二-

終值:隨領(lǐng)

<「

現(xiàn)值生

期初付年金:的????????永續(xù)年金現(xiàn)值:」

終值:包,囹

（2）付款頻率高于計(jì)息頻率年金

I

現(xiàn)值:碎）二

乂加）.泳續(xù)年金現(xiàn)值:占

期末付年金:

終值：s，二耳二I

一??（/）|-Vn

現(xiàn)值:閡=~M~

永續(xù)年金現(xiàn)值:，

期初付年金:

..（⑼(1+i)"—1

終值:焉二

乂加）

（3）持續(xù)年金（注意：與永續(xù)年金區(qū)別）

?nl-vn

vdt—

o8

(1+，)”—1

$引=二（1+，）14=

S

6、基本年金變化

(1)各年付款額為等差數(shù)列

々-I-nV一

匕=pa^+Q-^~.—（現(xiàn)值）

n

a-1—nvn—a-^

（0%=na^\--—

期末付虹式年金：%=(/a)萬(wàn)+M'(￡>a)村=%?叼

期末付平頂虹式年金：匕)=(/。).+丫"(Da)/=%。5叔

(2)各年付款額為等比數(shù)列

](1+左)〃,V左：％不存在

%=一七=，=左：％=占不存在

i>k:%存在

7、更普通變化年金：

(1)在(⑷肅基本上，付款頻率不大于計(jì)息頻率形式

(2)在(⑷溫基本上，付款頻率不不大于計(jì)息頻率形式

每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款額保持不變（/〃嚴(yán)\二寫(xiě)上

<

每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款額保持不變（尸％產(chǎn)'二當(dāng)篝

（3）持續(xù)變化年金：

①：有n個(gè)計(jì)息期，利率為i,在t時(shí)刻付款率為t,其現(xiàn)值為

斯—nv

（/叫:二丁

②：有n個(gè)計(jì)息期，利率為i,在t時(shí)刻付款率為了⑺，其現(xiàn)值為

v（0）=jof^dt

第三章收益率

i、收益率（內(nèi)部收益率）由v（°）=￡,6二°可求出

r=0

2、收益率唯一性：

（1）若在。?n期間內(nèi)存在一時(shí)刻t,t之后期間里鈔票流向是一

致，t之前期內(nèi)鈔票流向也一致，并且這兩個(gè)流向方向相

反，則收益率唯一。

(2)若在O-nT內(nèi)各發(fā)生鈔票流時(shí)刻，投資(涉及支出及回收,

總稱(chēng)投資)積累額不不大于0,則該鈔票流唯一。

3、再投資收益率：

(1)情形一：在時(shí)刻0投資1單位，t時(shí)刻積累值：1+啊

(2)情形二：在原則金中，t時(shí)刻積累值：

s-y-n

n+/(Zs1)—=n+i--------

〃一1j

4、基金收益率：A：期初基金資本量B：期末基金本息和

I：投資期內(nèi)基金所得收入Cz：t時(shí)刻鈔票流(O<r<l)

C：在此期間鈔票流之和c=Zc，

t

(1)i?---------------

A+ZG(IT)

/

21

(2)at(鈔票流在0T期間內(nèi)均勻分布)

A+B-l

(3)z?--------(其中％=5>(G/C))

注意：上述求收益率辦法也叫投資額加權(quán)收益率

5、時(shí)間加權(quán)收益率

i=(l+i1)(l+i2)-\i+im)-l

6、投資組合法：計(jì)算出一種基于整個(gè)基金所得平均收益率，然后依

照每個(gè)資金賬戶(hù)所占比列與投資時(shí)間長(zhǎng)度分派基金收益

投資年法：按最初投資時(shí)間和投資所持續(xù)時(shí)間，以及與各時(shí)間相

C（l+i：）（l+g）…（1+￡）……k<m

聯(lián)系利率，積累值為：

C（l+i：）（l+與）…（1+成）（1+產(chǎn)+*〉…（1+產(chǎn)）..…k>m

為投資年法年數(shù)，即若投資時(shí)間未滿(mǎn)m年，運(yùn)用投資年法計(jì)算收益；

若超過(guò)某些按投資組合法計(jì)算收益率。在y年投資第t年收益率記為

7、股息貼現(xiàn)模型

(1)每期末支付股息°,假定該股票收益率為r,則它理論價(jià)格為：

念（1+r）"

(2)每期末支付股息以公比(1+g)呈等比增長(zhǎng)，假定該股票收益率

為則它理論價(jià)格為：p=a

第四章債務(wù)償還

1、分期償還表（原則年金，貸款額因，年利率i,每期末還款額為1）

時(shí)刻每次還款額每次還款中所包每次還款中所未償還貸款余額

tR,含的自增利息L包含的本金p,B,

0%

11

211-產(chǎn)1/**1

■11■■

■11

1n-t+1產(chǎn)"

t11-V1%

(■1?(11

■■■■

n-\1l-v2

n11-VV0

總計(jì)n〃一因

第k期償還款中利息某些記為4；本金某些為必

nk+i

4=1—L+ipk=v~

2、持續(xù)償還分期償還表

時(shí)刻的余額｛=a——I_

苒=砧（1+獷

，時(shí)亥IJ償還的本金禾IJ息

pt=l-I=l-3Br

3、償還頻率與計(jì)息頻率不同分期償還表

(1)若償還期計(jì)息k次(償還頻率不大于計(jì)息頻率)

時(shí)刻還款還款額中的利息部分還款額中的本貸款余額

S額RsIv金部分p,B,

0卬與

n

k1%/SR=1-vRrk=M'BO-PA=%/S浦

2k1\-vn-kvnka~^2k\/sk\

■I1(I

a■aa■

tk1產(chǎn)(f-l)Aa^/sk\

■Ii1

■a(■■

n-k11-*

n11-vk0

總計(jì)n!k〃/我-%/$浦%/與

（2）若每計(jì)息期償還哮款m次（償還頻率不不大于計(jì)息頻率）

表（4-4）4"）的分期償還表

時(shí)刻還款額還款額中的利息部還款額中的本金貸款余額

SRs分Is部分PsBs

0

產(chǎn))1

\/m\1m—B=-(l-vn)Rl/m一~—v，i穌-E，產(chǎn)保

m()mm

1n~—|n——

2/tni/m—(1-V吟——vm

mm

(■■?(

■■■a■

1n---1〃-巴m

tlm\/m-(1-vw)——Va(砌

mm

(i■(■

■■■■■

1-

n~\/m\/m—(1-v?)——

mm

1-1-

n\/m—(l-vw)—0

mm

總計(jì)n〃-第第

4、償債基金表

每次總支利息基金償債基金

基金利息收入凈貸款

時(shí)刻出額支付存款余額

SFI,余額NB

Lz+DL/DSFB,;

0L=Dsd

1Lz+DLiD0DSfijL-DSj]j

2Lz+DLzDDS

jD5jl.=D[(l+/-)-1]2\jL-Ds用

2

3Li+DUDD[(l+/)-l]Ds用L-Ds布

(■■II■

■■■■?I?

tLi+DUDDKi-vT'-i]Ds方L-Ds方

■*■■■■(

(1

■I

nLz+DuDDKHyT'-l]Ds兀=LL-D陽(yáng)廣0

總計(jì)〃(Li+D)nLi〃DD(5^.-ri)=L-nD

第五章債券及其定價(jià)理論

1、債券價(jià)格

P：債券的價(jià)格N:債券的面值C：債券的贖回值

r:票利率Nr：票息額g:修正票息率g=Nr/C(N;C時(shí)，g=r)

i:收益率n:票息到期支付次數(shù)K=Cv〃

G:基礎(chǔ)金額G=Nr/i

%：所得稅率

(1)所得稅后債券價(jià)格：

n

基本公式:p=Nr(l-tl)an+Cv

溢價(jià)、折價(jià)公式：p-c=[Nr(lTj-。吟

,基礎(chǔ)金額公式：P=G(1-0)+[C-G(1-匚)]v〃

Makeham公式：p=K+迎匕紅(C—K)

、i

(2)所得稅、資本增益稅后(當(dāng)購(gòu)買(mǎi)價(jià)格低于贖回值)債券價(jià)格：

P=p-t2(c-p)vJp二一^---------

1-鵬/c

(3)如果債券購(gòu)買(mǎi)時(shí)間不是付息日，則債券全價(jià)(如)

NrNrNr+C

tP二-----1----；—

(1+爐(1+i嚴(yán)n-1+w

2、溢價(jià)與折價(jià)

本金調(diào)節(jié)：溢價(jià)攤銷(xiāo)或折價(jià)積累

期次7西TC自心、利息收入本金調(diào)節(jié)賬面值

0gl+p=l+(g_i)%

1g41+(gT)%]l+(gT』

2g心+(g-』](g-Ml+(g-&

????

tg小+年一加中]l+(g-)aR

????

n-lg41+(gT)%](g-"l+(g-，)/

ng汨+(g-%](g—)M1

共計(jì)ngng-p(g_i)%=〃

3、票息支付周期內(nèi)債券估價(jià)

債券平價(jià)：Bt+k扣除應(yīng)計(jì)票息后買(mǎi)價(jià)稱(chēng)為市價(jià)：B3k

公式：弘=磯+四〃或琮「麻岫

B晨=6(1+討

(1)理論法3Nr=NJ"”—-1

ki

BM=6(1+討-Nr_]

Il~rKIx/I?

現(xiàn)「4(1+切

(2)實(shí)務(wù)法:<N4=kM

B3k=BtQ+ki)—kNr

“刊(i+，y

⑶混合法:<N〃=kM

k

B^k=Bt(l+i)-kNr

4、收益率擬定

由p=C+C（g-i）a^八卷可導(dǎo)出

kk

g--S—

n

,H+1或4/2)

1H--------k7l+—k

2n2

4、可贖回債券計(jì)算收益率時(shí)』<g（溢價(jià)發(fā)行）：贖回日盡可能早

〉g（折價(jià)發(fā)行）：贖回日盡可能晚

5、系列債券:

團(tuán)tno加機(jī)

系列債券的價(jià)格￡0工&謔*9K）

t=it=iit=it=i

g=NrlC

其中：2人:所有現(xiàn)金流現(xiàn)值之和

t=l

￡c,：所有現(xiàn)金流之和

t=l

第二篇利率期限構(gòu)造

第六章：利率期限構(gòu)造理論

(1+加產(chǎn)

1、遠(yuǎn)期利率:（1+兀）二

(1+X)

2、Macaulay久期與修正久期：

，N

久期D.=必x%.

<Z=1

修正久期Dm0d=D〃/(l+y)

其中叼=":第欣現(xiàn)金流的現(xiàn)值在現(xiàn)金流總和中所占的比例

P(i+y)"

N

Z=1

3、Macaulay凸度與修正凸度：

CD

凸度?

,修正凸度j°d三宮號(hào)”

有效久期：D=P+-P.

E2Pq

4、<

P++P「2po

有效凸度：，=

Po(?

其中p。、p.、p.表示債券期初價(jià)格、收益率在

初始收益率基礎(chǔ)上增加和減少△時(shí)對(duì)應(yīng)的價(jià)格

第七章隨機(jī)利率模型

1、時(shí)刻銀行賬戶(hù)的價(jià)值?=e4同

2、隨機(jī)折現(xiàn)因子。(f,T)=，4,出)

3、連續(xù)復(fù)利收益率

T):T時(shí)刻到期的零息債券1單位面值在時(shí)刻的價(jià)格

R(/,T)：連續(xù)復(fù)利收益率

[BO,T)=產(chǎn)皿

4、遠(yuǎn)期單利耳(t,T,S)與遠(yuǎn)期復(fù)利月(t,T,S),t時(shí)刻期限為[T,S]

片(t,T,S)=^—(^^-1)

S-T

月(t,T,S)=-^—

，S-TB(t,S)

5、遠(yuǎn)期瞬時(shí)利爵&T)=-四竿⑷

r7

零息債券價(jià)格：8(仃)=//")疝

V1"

連續(xù)復(fù)利收益率:R"T)=—[f[t,u)du

6、Holee模型的應(yīng)用

短期利率滿(mǎn)足：fl+l=+a￡\/Xt

隨機(jī)變量￡在〃出現(xiàn)時(shí)取+1，在d出現(xiàn)時(shí)取-1

7、隨機(jī)利率模型的一般形式及零息債券價(jià)格滿(mǎn)足的隨機(jī)微分方程

drt=u(t,rt)dt+a(t,rt)dWt

<,(dBSB,，、1d2B2/、L,SB,、皿

dBD=--+—-?(/,/；)+——-7-cr(f,()dt+--<y(^t,r)dW

otdt2drJdtll

其中漂移項(xiàng)cr(Z,/;)：波動(dòng)項(xiàng)Wl：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)

B=BG,T)=B(t,T,,三)

8、利率風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格(4)

用兩種不同到期日的零息債券構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合n

然后選擇適當(dāng)?shù)念^寸中使得n的風(fēng)險(xiǎn)為零

n=B(f,T,r)+T,r)

[t2tI

dB(t,Tx,r,)dB(t,T2,r,)

I-UV(⑺

drdr

2

甘1/T、1/38SB,、1dB2/、)

其中m(t,T)=--+—vcr-(Z,/;)

Byotdt2drJ

貝/，丁)=[孚6億/)

Bdt

9、Wzsic或模型及其下的債券定價(jià)

模型：drf=a(u-rt)dt+cydWt...a、〃、o■為正的常數(shù)

a,a,a(u)

模型的解為：r,=rQe-+u(l-e-)+(y^e-'-dWll

零息債券的價(jià)格：=

1.,一打

其中：T=T=---------

a

/\i/丸。。。、-2av\。

〃《)=/??)(〃-------7)一?-----^)了+(Z11-)—

aaa72ra4a

9、CIR模型及其下的債券定價(jià)

模型：drt=a(u-rt)dt+(j^dWt...a、小b為正的常數(shù)

該模型下風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格為：〃￡,/；)=婭

第三篇金融衍生工具定價(jià)理論

第八章金融衍生工具簡(jiǎn)介

fe”

1、遠(yuǎn)期的定價(jià)<F=S°eC力....q：連續(xù)復(fù)利率

F=(So—I)e"…….I-.離散紅利

2、時(shí)刻持有遠(yuǎn)期合約的價(jià)值：(0<t<T)

￡=(￡_玲)

'中間收入/：f,=F,er(T-,)-(S-I)e"

如果有中間收入V0

提供紅利q"=耳e-9八"

3、遠(yuǎn)期利率平價(jià)公式

，、『：本幣和外幣的利率（假定借款利率=貸款利率）

E：外幣的以本幣標(biāo)價(jià)的即期匯率（E本幣/外幣）

外幣遠(yuǎn)期的價(jià)格為/（/，?。?/p>

=FWO=（一般不超過(guò)一年故采用單利）

sti+zr

若:名言〉黑:（持有本幣所得利息低于外幣，持有外幣有利）

4、遠(yuǎn)期利率合同

（1）結(jié)算時(shí)金額：A=N反町

1+SxT

其中：S：目的利率；F：遠(yuǎn)期價(jià)格，T：遠(yuǎn)期期限

（2）遠(yuǎn)期價(jià)格尸

滿(mǎn)足：（1+以）（1+ftl+TT）=[l+rt+T（t+T）]

5、期貨合約盈虧：A=nN（）|Zz+1-Z,|

期貨合約保證金賬戶(hù)盈虧代數(shù)和為：N0|S,-Z0|

無(wú)論盈虧都只需交N（）Z（）

6、利率期貨

（1）短期利率期貨：（歐洲美元期貨、定價(jià)、套期保值、周期3個(gè)月）

①若果價(jià)格變動(dòng)一種基點(diǎn)（小數(shù)點(diǎn)后第二位變動(dòng)一種數(shù)，如

94.79.94.80或94.78）,則一份合約買(mǎi)方或賣(mài)方將支付25遠(yuǎn)。

對(duì)于本金100萬(wàn)而言，一種季度每個(gè)基點(diǎn)價(jià)值為：

100萬(wàn)x0.01%x'=25（美元）

4

②遠(yuǎn)期利率/滿(mǎn)足（1+科）（1+0.25/）=（1+M）nf=4x也一端

1+4丁

③套期保值原理（N：被保資產(chǎn)金額D：保質(zhì)期限S存款利率變動(dòng)

基點(diǎn)n：合約份數(shù)）

面值90

(2)長(zhǎng)期利率期貨

①?lài)?guó)債期貨：

點(diǎn)數(shù)價(jià)值：價(jià)格波動(dòng)一種最小值時(shí)，一份合約買(mǎi)賣(mài)雙方盈虧金額

②轉(zhuǎn)換因子：指如果名義債券平價(jià)發(fā)行，那么一單位面值該債券

價(jià)格。如：若名義債券票息率為半年4%,某實(shí)際債券票息率為半年3%,

剩余期限為2年，則付息日轉(zhuǎn)換因子為：

100+3

CF=[--—+—+—+4]/100

(1+4%)(1+4%)2(1+4%)3(1+4%)4

(3)交割債券選取(最便宜交割債券)

賣(mài)方在債券現(xiàn)貨市場(chǎng)上可以以P+A價(jià)格買(mǎi)到債券(P:債券凈價(jià),

A:應(yīng)計(jì)利息)；在期貨交割時(shí)賣(mài)方將收到買(mǎi)方鈔票CFxZ+A(Z:債

券期貨價(jià)格)，同步支付債券。顯然A不影響賣(mài)方成本，賣(mài)方凈交割

成本為：P-CFxZ

(4)國(guó)債定價(jià)類(lèi)似于:F=(S0-I)e".

例題：假設(shè)某國(guó)債期貨黨CTD債券票息率為12%；CF=1.4.

假定在270天后交割，債券每半年計(jì)息一次；當(dāng)前時(shí)刻距上次付息以

過(guò)了60天，利息力為r=0.1;債券報(bào)價(jià)為120；可按如下辦法計(jì)算期

貨價(jià)格Z：

解：(1)債券全價(jià)=凈價(jià)+應(yīng)計(jì)利息之和(每100元面值利息)

120+—x6=121.978

182

(2)計(jì)算期貨鈔票價(jià)格：

衛(wèi)XOJ冽加

(121.978-6xe365)xe365=125.095

(3)計(jì)算以CTD債券為基本資產(chǎn)期貨價(jià)格:

148

125.095-6x一=120.242

183

(4)運(yùn)用轉(zhuǎn)換因子CF計(jì)算國(guó)債期貨價(jià)格：

120242

Z=—：—=85.887

1.4

(5)國(guó)債期貨套期保值原理

基點(diǎn)價(jià)值Mn：收益率變動(dòng)一種基點(diǎn)所引起債券價(jià)格變化。

如：面值為10萬(wàn)美元、期限為3年，票利率為10.75%,若當(dāng)

前市場(chǎng)利率為10%,則該債券加u為:

310750100000_§10750100000

bpv=0+(i+io%)3)-tr(n-io.oi%y+(i+io.oi%)3

z=l(1+10%)'

7、看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式

c,+Ke-r(T-'}=p,+S,

其中c,:t時(shí)刻看漲期權(quán)價(jià)格K：看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格

p,：t時(shí)刻看跌期權(quán)價(jià)格S：t時(shí)刻基本資產(chǎn)價(jià)格

8、期權(quán)價(jià)值影響因素

(1)基本資產(chǎn)價(jià)格S：對(duì)看漲期權(quán)S,越大，價(jià)格越高

對(duì)看跌期權(quán)S越大，價(jià)格越低

(2)執(zhí)行價(jià)格K：對(duì)看漲期權(quán)K：越大，價(jià)格越高

對(duì)看跌期權(quán)K：越大，價(jià)格越低

(3)到期期限T：對(duì)美式而言，T越長(zhǎng)，價(jià)格越高

對(duì)歐式而言，不一定

(4)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)率r：r越高，價(jià)格越高

(5)基本資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率J：G越大，期權(quán)價(jià)格越高。

9、期權(quán)價(jià)格界

看漲期權(quán)：S,-Ke-o<c,<5,

(1)歐式期權(quán):

看跌期權(quán)：-S,<p,<Ke-g)

.看漲期權(quán)：S,-Ke-"T)<qWS,

(2)美式期權(quán):

看跌期權(quán)：K-S,4p,4K

利率互換的定價(jià)(1)：運(yùn)用債券組合給利率互換定價(jià)(cont.3)

符號(hào)假定

?用注：互換合約中固定利率債券的價(jià)值；%：互換合約中浮動(dòng)利率債券的價(jià)值;

?<:距第i次現(xiàn)金流交換的時(shí)間(l<i<n)；L:利率互換合約中的名義本金；

■

按Esc退出全屏模式。

畫(huà)把固定利率債券在未來(lái)的所有現(xiàn)金回在每一個(gè)付息日，浮動(dòng)利率債券的價(jià)

流都貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻，則該債券的值等于其面值L.假設(shè)下一支付日應(yīng)

價(jià)值為：支付利息額為K(這是已知的),

則在下一次付息前的一刻，浮動(dòng)利率

債券的價(jià)值為為=L+K,則今天浮

動(dòng)利率債券的價(jià)值為：

Bf]=(L+k*)ef

1=1

回對(duì)B公司，該利率互換的價(jià)值為：V互尸物-%

10

利率互換的定價(jià)（1）：運(yùn)用債券組合給利率互換定價(jià)（cont.4）

回［例3］:假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)支付6個(gè)月期的LIBOR,同

時(shí)收取8%的年利率（半年計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有

1.25年的期限.3個(gè)月、9個(gè)月和15個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10

%,10.5%和11%.上一次利息支付日的6個(gè)月LIBOR為10.2%（半年計(jì)

一次復(fù)利）.求對(duì)該金融機(jī)構(gòu)而言，利率互換合約的價(jià)值是多少？

回［解答］:在該例中，k=400萬(wàn)美元，k*=510萬(wàn)美元，利用上述公式可得：

25

B/.***uO.CMe-oLS+O.Ode^o/ws+l.CMe4"二=0.9824億美元

A25

Bfl=（1+0.05\）e~°*0-=1.0251億美元

因此，對(duì)該金融機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，該利率互換的價(jià)值為

V互換=Bm-BJJ=0.9824-1.0251=-0.0427億美元

11、

S［例7］:假設(shè)美元和日元LIBOR的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是4%而在美國(guó)是

9%（都是連續(xù)復(fù)利），某一金融機(jī)構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利

率為5%,同時(shí)付出美元，利率為8%。兩種貨幣的本金分別為1000萬(wàn)美元和

12000（需日元.這筆互換還有3年的期限，即期匯率為1美元=110日元.求

該金融機(jī)構(gòu)貨幣互換合約的價(jià)值？

a［解答］:如果以美元為本幣，那么：

%=0.8”由+0.8］的+］0=9.644百萬(wàn)美元

BF=601闞+60°.必2+1260?心3=1230.55百萬(wàn)日元

則，該金融機(jī)構(gòu)的貨幣互換合約的價(jià)值為

1230.55.，一chy*一

------------9n.644=1.543日力美兀

第九章金融衍生工具定價(jià)理論

1、單期二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型

設(shè)當(dāng)前為。期，期權(quán)合約基本資產(chǎn)（如股票）價(jià)格現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)格為

S,在下一期股票價(jià)格變動(dòng)只存在兩種也許成果：或者股票價(jià)格上升

至Su,或者股票價(jià)格下降至Sd,而上升或下降概率呈二次分布狀。

在這里下標(biāo)號(hào)u和d表達(dá)變量數(shù)值上升或下降為原數(shù)值倍數(shù)，即u>l,

d<lo與此相對(duì)，股票看漲期權(quán)初始價(jià)值為C,在下一期（歐式期權(quán)

到期日）隨著著股票價(jià)格上漲或下跌，該期權(quán)合約價(jià)格也有兩種也許,

即要么上升至CU,要么下降至cd,作圖。二叉樹(shù)、節(jié)點(diǎn)、途徑

［例8T］設(shè)股票現(xiàn)價(jià)6）為$100,3月看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格（K）為$110。

在U=1.3和d=0.9狀況下，期權(quán)價(jià)值？

解

分析：

當(dāng)前下?期

股票價(jià)格（Su）=$130

期權(quán)價(jià)值(Cu)=

股票價(jià)格（s）=$100max(su-k,0)=$20

期權(quán)價(jià)值（c）=?

股專(zhuān)價(jià)性《d)=$9%

max(Sd-k,0)=0

//I

資產(chǎn)當(dāng)前成本與將來(lái)價(jià)值

資產(chǎn)組合目前的成本到即I（傷定足3個(gè)月后）的伶侑“T）

或價(jià)值（）產(chǎn)

VoST=$100{u=1.3)S$90(d=0.9)

買(mǎi)進(jìn)6股股票-$100X5+$130X8+$90X6

賣(mài)出1份看漲+C（未知數(shù)）-$20

期權(quán)

合計(jì)C-S100X$130X6-$20一「

8

$130X8-$20=$90X8(風(fēng)險(xiǎn)中性假定)

8=0.5

股票上漲：VT=$130X0.5-$20=$45

股票下跌：VT=$90x0.5=$45

依照有效市場(chǎng)假設(shè)，在不冒風(fēng)險(xiǎn)狀況下，人們?cè)诮鹑谑袌?chǎng)上只能賺得

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。換言之，資產(chǎn)組合在當(dāng)前價(jià)值，是其在到期日價(jià)值($45)

按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后現(xiàn)值。假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%,并且按持續(xù)

復(fù)利進(jìn)行貼現(xiàn)，那么：

V0=$45xe-10%x0-25=$43.89

43.89=100x0.5-c

C=50-43.89=$6.11

6.1.2單期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的通用公式

保值型資產(chǎn)組合的現(xiàn)值為:

按上分析:rt

(Sux?-Cu)e-,或者

股票上漲VT=S66-C

U(Sdx6-C/eE而11前資產(chǎn)成本：

股票下跌VT=SdX6-CdSxb-C：市場(chǎng)均衡時(shí)，：擰相等

lrt

Sux<>-Cu=Sdx<'>-Cd(Sdx6-Cd)e-=Sx8-C；

rt

C=Sx8-(Sdx?-Cd)e-;

iL二^、

△被稱(chēng)為套期保優(yōu)比率.，它代表無(wú)

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合所要求的股票持有it-ci

量。設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r,且

,T

d<r<u(一定成M，杏則后場(chǎng)失C=e-[qxclt+(l-q)cd]

衡，就會(huì)產(chǎn)生套利)

/ccun_->.

613期權(quán)定價(jià)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利

均衡價(jià)格下保值型資產(chǎn)組合只能賺得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

資產(chǎn)細(xì)合目前的成本到期日（假定是3個(gè)月后）的價(jià)值（VQ

或價(jià)值（V）

oST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)

買(mǎi)進(jìn)0.5股股票-$50+$65+$45

0

賣(mài)出1份看漲期權(quán)+$6.11-$20

$45

按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借+$43.89-o

口N/

入資金i

資產(chǎn)組合的價(jià)值00o

假定價(jià)格為$5.00,在期權(quán)價(jià)格被低估的情況下

資產(chǎn)組合目前的成本到期日（假定是3個(gè)月后）的價(jià)值（VQ

或價(jià)值（V）

oST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)

賣(mài)出0.5股股票+$50-$65-$45

買(mǎi)進(jìn)1份看漲期權(quán)-$5.00+$200

按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借-$45+$46.14+$46.14

入資金

資產(chǎn)組合的價(jià)值0$1.14$1.14

假定價(jià)格為$8.00,在期權(quán)價(jià)格被高估的情況下

資產(chǎn)組合目前的成本到期日（假定是3個(gè)月后）的價(jià)值（VQ

或價(jià)值（V）

oST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)

買(mǎi)進(jìn)0.5股股票-$50+$65+$45

r---\IIL

賣(mài)出1份看漲期權(quán)+$8.00-$20x\.0

按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借+$42-$43.06-$43.06

入資金目”

資產(chǎn)組合的價(jià)值0$1.94$1.94

]l_J1

2、N期模型通用公式

C=e-rT￡（l-qy-jm^suJdn-J-左,0）］

〃nI

P=7Tmax（心〃d-,0）］

J=O/!（"/）!

er-d

q~~

u—a

3、Black-Scholes模型

于什,St）=S,①（4）-Ke-n①雙）

log斗+（〃+卜2）（T7）

其中：4=―-―7=7-------

o-yfT—t

6/2=4—CTyfT.t

4、希臘字母及其意義：

(1)、△=其…/?為衍生品德價(jià)格

西'

意義：△度量了基本資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)對(duì)衍生品價(jià)格影響，因而A是

對(duì)基本資產(chǎn)價(jià)格敏感性度量。(基本資產(chǎn)自身A=l)可以通過(guò)資產(chǎn)組

合達(dá)到A中立狀態(tài)，即A=0.

a2/_

(2)一前一版

意義：「度量了基本資產(chǎn)價(jià)格變化對(duì)A影響，即度量了衍生品價(jià)

格與基本資產(chǎn)價(jià)格之間凹凸性。若某個(gè)時(shí)刻基本資產(chǎn)處在△=(),當(dāng)基

本資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生變化時(shí)資產(chǎn)組合新加權(quán)A也許不為0.如果「〈0,則

資產(chǎn)價(jià)格上升將使得資產(chǎn)組合△<(),因而需要增長(zhǎng)組合中有正△值資

產(chǎn)頭寸以重新達(dá)到A=o。

⑶das

對(duì)于歐式看漲期權(quán)：V=

〃度量了基本資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性變化對(duì)衍生品價(jià)格影響。

(4)0=紅

了dr

對(duì)于歐式看漲期權(quán)：夕=丁履一”①(《)

P度量了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率變化對(duì)衍生品價(jià)格影響。

⑸6=更

dt

對(duì)于歐式看漲期權(quán)：9=TKC"①@)-‘仙11)￡^

。是衍生品時(shí)間價(jià)值變化度量參數(shù)，它度量了時(shí)間推移對(duì)衍生品價(jià)格

影響。

19

邙結(jié)五個(gè)希臘字母.df=0dsH—rds+vdcys+pdv+Odt

第四篇投資組合理論

第十章投資組合理論

1、度量風(fēng)險(xiǎn)辦法：變異系數(shù)=3

22

收益率方差和原則差=p[r1-E(R)]+(1-p)[r2-￡(r)]

2、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)普通解釋?zhuān)寒?dāng)前投資超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資收益超額收益

3、財(cái)富效用函數(shù)(滿(mǎn)足：t/'(w)>0;(/"<0)

常用幾種形式：

線性效應(yīng)函數(shù)。(卬)=卬

二次效應(yīng)函數(shù)U(w)=-(a-,(w《a)

指數(shù)效應(yīng)函數(shù)U(w)=-aeawXa>0)

對(duì)數(shù)效應(yīng)函數(shù)U(卬)=log。+w),(w>

幕函數(shù)效應(yīng)函數(shù)U(w)=",(卬>0,0<c<l)

4、Jensen不等式：如果U(w)是一種凹函數(shù)，J是一種具備有限均值

隨機(jī)變量，則下式成立：

E(U(w+<[U(w)+E(^)]

當(dāng)E?)=0,則E(U(w+^)<U(w)

5、投資效用函數(shù)

2

最慣用投資效用函數(shù)：U(wR+<jR)=uR-0.5AcrK

%外分別為盼望收益與收益率原則差，A>0：風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)

6、風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量：

Z(u(w+g)<u(w)

-E(U(卬+J=U(w)

E(U(w+J)>U(w)

絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：A..=-以或

"U(w)

相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：凡,=一也也

U(w)

7、兩風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合

E(7?p)=wE(Z?J+(l-w)E(/?fi)

22

crj=(VWTA)+[(1-W)<TB]+2田1一枚)叫小夕.

8、一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

投資組合收益率Rp=(l-w)zy+WRA

投資組合盼望收益率：召(Rp)=(1-卬)。+wxE(RA)

投資組合原則差：bp=何T'

9、風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率(Sharpe比率)

/"L反-七)一。

10、最優(yōu)資產(chǎn)組合求解

投資在市場(chǎng)組合M上比列：叩="=卬嗎一：

為Ab3

考慮兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A、B

則該風(fēng)險(xiǎn)組合預(yù)期收益和方差分別為：

￡(()=叼￡(()+(1-助E(()

"p=M1/ZA+(1—w)2b2^+2叼(1—%)COVAB

此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率：4aLmax竺生二土

%，

____________[E(RA)—-]〃B-四]cove

22

[E(RA)-rf]cyB+[E(RB)-rf](TA-[E(RA)-rf+E(RB)-rf]covAB

第-一章CAPM和APT

1、風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格：叫f

與

E(mw(RpT]

2、盼望一貝塔關(guān)系：cov(/?,.,/?,w)

具中％=---0~~」

bM

3、對(duì)任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P

E(1羊/呼。[E(尺fr]

N

其斜率為市場(chǎng)組合風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)￡(6)-/>

4、CAPM另一種慣用形式:

+四+與(可忽略)

b；=笈%2M+(T；(可忽略)

5、資產(chǎn)估值：

E(RJ=E(P￡°)-I

°1+E(R)

6、CAPM在業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估中應(yīng)用

(1)：Jensen指數(shù)：J「="-仍+4比(此)-']}(越大越好)

(2)Treynor指數(shù)：q=勺土(越大越好)

(3)Sharpe指數(shù)：=殳3(越高越好)

*

7、套利定價(jià)模型(APT)

(1)單因素模型：&=四+濟(jì)F+j

〃〃〃

資產(chǎn)組合收益率：Rp=f叱/+之卬血R”+之叱與

/=1/=1/=1

4這哨

/=!

b2(%)=￡(W02(￡,))2

1=1

(2)雙因素模型：4=q+用6+為鳥(niǎo)+0

E(R芋a+0\21.EQ/)

生=0iV/P5；鈉廠,■24中vWm

8、套利組合：

Wi+%+…+%=0.....套利組合是零成本的

,W鳳+…v