多維隨機變量及其分布

第三章多維隨機變量及其分布§3.4兩個隨機變量的函數(shù)的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:當(dāng)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布時，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?例1(X,Y)的聯(lián)合分布見右表，求〔1〕Z1=X+Y的概率分布;〔2〕Z2=X-Y的概率分布.

解由(X,Y)的分布可得:

1/803/82/82/80-12

013XYp00(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235X-Y-1-2-421-1

去掉概率為0的值，并將相同函數(shù)值對應(yīng)的概率求和，從而得到：一、離散型隨機向量函數(shù)的分布

(1)Z1=X+Y的分布為Z1=X+Y-123PZ2=X-Y-4-112P(2)

Z2=X-Y的分布為

一般地，如果(X,Y)的概率分布為記zk(k=1,2,…)為Z=g(X,Y)的所有可能的取值，那么Z的概率分布為例2假設(shè)X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…解依題意例3假設(shè)X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.

設(shè)

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且獨立，具有可加性的兩個離散分布

設(shè)

X~P(

1),Y~P(

2),且獨立，那么X+Y~B(n1+n2,p)那么X+Y~P(1+2)假設(shè)X~B(n1,p),那么X是在n1次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p.同樣，Y是在n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.故Z=X+Y是在n1+n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p，于是Z是以〔n1+n2，p〕為參數(shù)的二項隨機變量，即Z~B(n1+n2,p).二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布1.(X,Y)~f(x,y)，求Z=(X,Y)的概率分布.假設(shè)Z為連續(xù)型隨機變量,那么在f(z)的連續(xù)點處

解例1X,Y相互獨立設(shè)Z的分布函數(shù)和概率密度分別為例2 (X,Y)~f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.解1

由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率密度為例2 (X,Y)~f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.解2

由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率密度為推論設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y).假設(shè)X和Y獨立,那么兩個隨機變量和的概率密度的一般公式卷積公式為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例3假設(shè)X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即暫時固定故當(dāng)或時,當(dāng)

時,當(dāng)

時,于是例4假設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式令可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:假設(shè)X和Y獨立,

結(jié)論又如何呢?

此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形.假設(shè)X和Y獨立,具有相同的分布N(0,1),那么Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.

若(X,Y)則特別,假設(shè)X1,X2,...Xn獨立同正態(tài)分布N(μ,σ2),那么記:三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y

相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)

設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)

用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:

特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有例5設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)開始工作),如以下圖所示.設(shè)的壽命分別為它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXYXY解(i)串聯(lián)的情況

由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個損壞時,系統(tǒng)L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數(shù)為當(dāng)

x>0時,當(dāng)

x0時,故類似地,

可求得Y的分布函數(shù)為于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為XY(ii)并聯(lián)的情況

由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時,系統(tǒng)L才停止工作,所以此時L的壽命為故的分布函數(shù)為FZ(z)=FX(z)FY(z)于是的概率密度為XY(iii)備用的情況因此整個系統(tǒng)L的壽命為

由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)才開始工作,當(dāng)且僅當(dāng)即時,上述積分的被積函數(shù)不等于零.當(dāng)

z0時,當(dāng)

z>0時,即時,被積函數(shù)不等于零.故于是的概率密度為

需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,