電磁場(chǎng)與電磁波08靜電場(chǎng)2電位

內(nèi)容電位導(dǎo)體對(duì)靜電場(chǎng)的影響電位的帕松方程和拉普拉斯方程電位-靜電場(chǎng)的輔助函數(shù)靜電場(chǎng)無(wú)旋性（）告訴我們，電場(chǎng)可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示

φ稱為電場(chǎng)的位函數(shù)（電位）。電場(chǎng)為矢量，對(duì)應(yīng)三個(gè)標(biāo)量函數(shù)，而電位φ

為一標(biāo)量函數(shù)。顯然，計(jì)算電位更容易。借助電位求電場(chǎng)的方法，稱為輔助函數(shù)法，廣泛應(yīng)用于電磁場(chǎng)理論。從靜電場(chǎng)公式不能看出，點(diǎn)電荷的電位為為滿足的任意標(biāo)量函數(shù)。直接從不能唯一確定電位。實(shí)際中，常通過(guò)選取電位參考點(diǎn)消除不唯一性。體分布的電位面分布的電位線分布的電位xPzyr0【電壓】?jī)牲c(diǎn)間電場(chǎng)的線積分可見(jiàn)，兩點(diǎn)間的電壓等于兩點(diǎn)的電位差，且與積分路徑無(wú)關(guān)；如果選取某點(diǎn)Q為電位參考點(diǎn)（電位零點(diǎn)），那么任一場(chǎng)點(diǎn)P的電位就等于該點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的電位差：參考點(diǎn)選取具有任意性。實(shí)際中，常選擇無(wú)限遠(yuǎn)、大地表面或接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn)。電壓和電位的物理意義電壓為把單位正的點(diǎn)電荷從一點(diǎn)到另一點(diǎn)電場(chǎng)力做的功電位是把單位正的點(diǎn)電荷從場(chǎng)點(diǎn)移到參考點(diǎn)電場(chǎng)力做的功【電力線】?jī)牲c(diǎn)間電場(chǎng)的線積分電力線方程電力線的特點(diǎn)：始于正電荷，終于負(fù)電荷；線的疏密對(duì)應(yīng)電場(chǎng)的強(qiáng)弱；垂直于等位面；互不相交。

正電荷

負(fù)電荷

點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)

帶電平行板

問(wèn)題(1)

電力線是不是點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡（設(shè)此點(diǎn)電荷電場(chǎng)力外不受其它力的作用）？(2)

兩條電力線能否相切？同一條電力線上任意兩點(diǎn)的電位能否相等？(3)

不同電位的兩個(gè)等位面能否相交或相切？同一等位面任意兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是否一定相等？場(chǎng)強(qiáng)在等位面上的切向分量是否一定等于0？電位在帶電面兩側(cè)會(huì)不會(huì)突變？【例5-1】在真空中xoy平面上有一半徑為a的圓形線電荷，其線密度為，求軸線上離圓心z處點(diǎn)P(0,0,z)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在圓上取一線元，其上所帶電荷為由于電荷分布的對(duì)稱性，該處的電場(chǎng)強(qiáng)度僅有z方向的分量，即應(yīng)用圓柱坐標(biāo)系，P點(diǎn)電位為解：取一線元，其上所帶電荷量為，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離為【例5-2】求電荷密度，半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。利用前例中圓形線電荷在軸線上產(chǎn)生的電位的公式，將dr

很小形成的圓環(huán)看成是圓形線電荷，其相應(yīng)的線電荷密度滿足：解：在圓盤(pán)上取一半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，由于dr很小，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離即為，并代入a=r

，則同樣可得整個(gè)圓盤(pán)上的電荷在P點(diǎn)的電位（z>0）當(dāng)時(shí)，相當(dāng)與無(wú)限大帶電荷平面在其一側(cè)（z>0）附近產(chǎn)生的場(chǎng)：可見(jiàn)，只要z有限，則E是均勻的，且與z無(wú)關(guān)。應(yīng)用圓柱坐標(biāo)系中的梯度表達(dá)式，可得到電場(chǎng)強(qiáng)度為靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體導(dǎo)體中帶有可以自由移動(dòng)的電荷（自由電子、自由離子）；有外靜電場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體中的自由電荷受電場(chǎng)力作用移動(dòng)，積累在導(dǎo)體表面；積累在表面的電荷產(chǎn)生附加電場(chǎng)，在導(dǎo)體內(nèi)與外電場(chǎng)相抵消；達(dá)到平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)為零，電荷不再移動(dòng)，稱為靜電平衡狀態(tài)。【靜電平衡過(guò)程】均勻靜電場(chǎng)中導(dǎo)體球的電場(chǎng)－－＋＋靜電場(chǎng)中不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)＋＋＋－－－靜電場(chǎng)中接地導(dǎo)體的電場(chǎng)－－－－【導(dǎo)體的靜電特性】靜電平衡后，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為0；靜電平衡后，導(dǎo)體是等位體，表面為等位面；靜電平衡后，導(dǎo)體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；靜電平衡后，導(dǎo)體的電荷只分布在表面。靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體例:真空中有電荷以體密度

均勻分布于一半徑為R的球中，如圖所示。求球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。應(yīng)用高斯通量定理，有解：（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度。以球心為球坐標(biāo)系原點(diǎn)，因?yàn)?/p>

分布僅與球坐標(biāo)系變量r有關(guān)，故電場(chǎng)強(qiáng)度也僅是r的函數(shù)，且方向應(yīng)是ar方向。選某r半徑球面為閉合面S（也稱高斯面），則在此球面上，如果用球內(nèi)全部電荷Q來(lái)表示，以代入可得球內(nèi)任意點(diǎn)的電位為當(dāng)r=R時(shí)為球面電位（2）求電位。選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)，則球外任一點(diǎn)的電位為例：兩無(wú)限大平行板電極，板間距離為d，電壓為U0

，并充滿密度為

0x/d的體電荷。求板間電場(chǎng)強(qiáng)度和極板面上的電荷面密度。解因?yàn)?/p>

(x)=

0x/d

，僅是x的函數(shù)，故可設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E=axE(x),也僅是x的函數(shù)。再設(shè)x=0處電位為0，極板上面電荷密度為

s(0)；在x=d處，電位為U0，極板面電荷密度為

s(d)。顯然，由于兩極板面無(wú)限大，板間電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，故

s(0)

、

s(d)

均為常數(shù)。作一柱形閉合面，底面積為

S，下底在x=0的極板內(nèi)，上底在x處，側(cè)柱面與ax平行。在此閉合面上應(yīng)用高斯通量定理，有由：又因?yàn)椋杭矗喝魧㈤]面S在x處的上底面放到x>d的極板內(nèi)再用高斯通量定理，則有可得即：代入E(x)表達(dá)式，有故：電位的帕松方程和拉普拉斯方程帕松方程和拉普拉斯方程是電位滿足的微分方程。帕松方程若無(wú)源，則演化為拉普拉斯方程Possion方程Laplace方程【拉普拉斯算子】直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系例：已知導(dǎo)體球的電位為（無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位為0)U，球的半徑為a，求球外的電位函數(shù)。

解球外的電位滿足拉普拉斯方程，且電場(chǎng)具有球面對(duì)稱性，

【應(yīng)用