2019長春高三三模數(shù)學理科

長春市普通高中2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測(三)數(shù)學試題卷(理科)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.sin210。=A.B.C.D.A.B.C.D.已知集合A={，1,0,1,2},B={x|(x+1)(x—2)?0},則AB=A. {-1,0,1,2} B.{-1,0,1}C. {0,1邙} D.{0,1}a+i若復數(shù) 的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為1+1A.0B.1C.2D.35.已知等差數(shù)列{a}的前5.已知等差數(shù)列{a}的前n項和為Snn且a2=4，a4二2，則S6=A.0B.10C.15D.306.已知牛e6.已知牛e2是兩個單位向量,則(e-2e)?(_2e+e)二1212A.32B.A.32B.C.D.若8件產(chǎn)品中包含6件一等品，在其中任取2件，則在已知取出的2件中有1件不是一等品的條件下，另1件是一等品的概率為34612A.B.—C.D.13757已知m,n為兩條不重合直線，a,”為兩個不重合平面，下列條件中，一定能推出a//”的是A.m//n,mua,nupb.m//n,m丄a,n丄B

D.m丄n,m,€,n丄P9．“科技引領(lǐng)，布局未來”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計研發(fā)投入達4100億元，我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比.這12年間的研發(fā)投入（單位：十億元）用下圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用下圖中的折線圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯．誤．的是A.2012-2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2017-2018年增量大B.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入逐年增加2015-2016年研發(fā)投入增值最大該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入占營收比逐年增加10.函數(shù)f10.函數(shù)f(x)?x(e-x-ex)4x2-1的部分圖象大致是線C準線上的動點，則IOPI+IAPI的最小值為A.4A.4B.4J3 C.4^6 D. 6]31€Inx,x$l已知函數(shù)f(x)=?1 1，若x豐x,且f(x)+f(x)二2,則x+x的取值-x+—,x…1 12 1 2 12,22范圍是A.[3-2ln3,)B.[e-1,) C.[3-2ln2,) D.[2,)二、填空題：本題共4小題，每小題5分.TOC\o"1-5"\h\z已知函數(shù)f(x)=sin(<x+￡)(?>0)的最小正周期為兀，則①二 ,aJ2若f(刁)二1Q，則sm2a= .已知矩形ABCD,AB=12,BC=5,以A,B為焦點，且過C,D兩點的雙曲線的離心率為 .我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)?商功》中闡述：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”若稱為“陽馬”的某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,對該幾何體有如下描述：①四個側(cè)面都是直角三角形；、②最長的側(cè)棱長為2J6； _③四個側(cè)面中有三個側(cè)面是全等的直角三角形； 一④外接球的表面積為24兀. -其中正確的描述為 .TOC\o"1-5"\h\z已知數(shù)列｛a｝中，a—2，a—n （n丘N*），則工—— .n 1 ?+1n+1+2a an k=1k三、解答題：共70份，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題每個試題考生都必須作答，第22~23選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分（本小題滿分12分）在AABC中，AB=6，AC二4邁.2d2（1） 若sinB=丁，求AABC的面積；（2） 若點D在BC邊上且BD=2DC,AD=BD，求BC的長.

18.（本小題滿分12分）某工廠有兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，第一車間有工人200人，第二車間有工400人，為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時間（單位：min）分別進行統(tǒng)計，得到下列統(tǒng)計圖表（按照［55,65）,［65,75），［75,85），［85,95］進行分組）.分組分組頻數(shù)24|隔陶LU［蟻馬|4合計20（I） 分別估計兩個車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間小于75min的人數(shù)；（II） 分別估計兩個車間工人生產(chǎn)時間的平均值，并推測哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高？（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在的區(qū)間中點的值作代表）（III） 從第一車間樣本中生產(chǎn)時間小于75min的工人中隨機抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時間小于65min的工人人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形ABCD中，AB〃CD,AD=AB=BC=1,CD=2，E為CD中點,AE與BD交于點O，將AADE沿AE折起，使點D到達點P的位置（P,平面ABCE）.（1）證明：平面POB丄平面ABCE；x2y2如圖所示，B1、B2是橢圓C的短軸端點,橢圓C: + €如圖所示，B1、B2是橢圓C的短軸端點,a2b2且Bi到焦點的距離為3?匹，點M在橢圓C上運動，且點M不與Bi、B2重合，點N滿足NB丄MB，NB丄MB.1122求橢圓C的方程；求四邊形MBNB面積的最大值.2121.(本小題滿分12分)2已知a€R,函數(shù)f(x)二,aInx.x討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；若x二2是f(x)的極值點，且曲線y=f(x)在兩點P(x,f(x)),Q(x,f(x))1122(x<x<6)處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為b、b，求b-b121212的取值范圍.(二)選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分.(本小題滿分10分)選修4-4坐標系與參數(shù)方程選講在直角坐標系xOy中，直線1的傾斜角為30°且經(jīng)過點A(2,1).以坐標原點O為極點，x1軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線1:Pcos0=3，從原點O作射線交1于點M，22點N為射線OM上的點，滿足IOMI-1ON1=12，記點N的軌跡為曲線C.求出直線1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；1設直線1與曲線C交于P，Q兩點，求IAPI-1AQI的值.1(本小題滿分10分)選修4-5不等式選講已知函數(shù)f(x)=I2x—1I,Ix—II.⑴求不等式f(x)W4的解集；(2)設函數(shù)f(x)的最小值為m，當a,b,c€R+，且a,b,c=m時，求\'2a+1+、；2b+1+、：'2c+1的取值范圍.長春市2019年高三質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）A【命題意圖】本題考查誘導公式.【試題解析】Asin210o=-.故選A.2D【命題意圖】本題考查集合運算.【試題解析】DB={xI，1<x<2},AB={0,1}.故選D.A【命題意圖】本題考查復數(shù)的運算.a?1?（1—a）i【試題解析】Az二2 ，a=0.故選A.B【命題意圖】本題考查程序框圖.【試題解析】B可知.故選B.C【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的相關(guān)知識.【試題解析】Cd=—l,a=5,S=15.故選C.16A【命題意圖】本題主要考查平面向量.【試題解析】A可知.故選A.D【命題意圖】本題考查條件概率的相關(guān)知識.【試題解析】D可知.故選D.B【命題意圖】本題主要考查空間直線與平面位置關(guān)系.【試題解析】B可知.故選BD【命題意圖】本題考查統(tǒng)計識圖能力.【試題解析】D可知ABC正確.故選D.B【命題意圖】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)知識.【試題解析】B 確定函數(shù)為偶函數(shù)，代入特殊值，可排除A，C,當x…+8,f（x）…s.故選B.C【命題意圖】本題主要考查拋物線的相關(guān)知識.【試題解析】C做O點關(guān)于準線的對稱點M,則所求距離和的最小值為IAMI.故選C.C【命題意圖】本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的相關(guān)知識.【試題解析】C先確定x<1<x，借助條件等式，用x表示x，x=1-2lnx,得122112到關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式x?x=1-2lnx?x，通過構(gòu)造函數(shù)并求導確定該函數(shù)的單調(diào)性21222求出答案.故選C.TOC\o"1-5"\h\z二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，13題對一個給3分，共20分） _2兀 a J213.2,，【試題解析】由周期公式T= =兀得①=2，由f（）=得① 2 10?/兀、72 1 1.C24sin(a+—)= 所以sina+cosa=—，平方得1+2sinacosa= sin2a=—-4 10 5 25 25314.2【試題解析】在焦點AABC中，AB=12,BC=5,AC=132c IABI 12\o"CurrentDocument"e= = =2a|AC|，|BC| 13—5

15.16.①②④5n2一3n長寬高分別為4,2,2，易得①②④正確.na n【試題解析】由a，n15.16.①②④5n2一3n長寬高分別為4,2,2，易得①②④正確.na n【試題解析】由a，n得a(n+1+2a)，na，即

n+1n+1+2a n+1 nn2aann+1+(n+1)a21，na，兩邊同時除以n(n+1)aa得 +一n+1n nn+1n(n+1)na (n+1)an n+11(1+5n—4)n 5n2—3n5n一4?1由累加法得丄=???丄=心為等差數(shù)列所以?丄,1.na 2n a2nn三、解答題17.（本小題滿分12分）【命題意圖】本題考查解三角形的相關(guān)知識?—4J1【試題解析】解：（I）由正弦定理得： -ak，1 k朿一歳’所以SinC，1，ZC，2?31 __所以BC，葦'62—(42)2，2，所以S，x2x4J2，4、.：2.(6分)(II)設DC，x,則BD，2x,則AD，2x,(2x)2+(2x)2一62 (2x)2+x2一(4>/2)2所以2-x-2x解得：x=—3^所以BC，3DC，5￡2.（12分）18.（本小題滿分12分）【命題意圖】本題考查統(tǒng)計知識及概率相關(guān)知識.【試題解析】（I）由題意得，第一車間樣本工人20人,其中在75min內(nèi)（不含75min）生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，第二車間樣本工人40人，其中在75min內(nèi)（不含75min）生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40x（0.025+0.05）x10，30人，故第一車間工人中有60人，第二車間工人中有300名工人中在75min內(nèi)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品；（4分60x2+70x4+80x10+90x4（II）第一車間樣本平均時間為x， ，78（min），甲20第二車間樣本平均時間為20x，60x0.25+70x0.5+80x0.2+90x0.05，70.5（min），乙_?/x>x，?乙車間工人生產(chǎn)效率更高；（8分）（Ilf）由題意得，第一車間樣本生產(chǎn)時間小于75min的工人有6人，從中抽取3人,其中生產(chǎn)時間小于65min的有2人，隨機變量X服從超幾何分布，C0C3P(X，0)， 2_4C36X的分布列為：420C1C0C3P(X，0)， 2_4C36X的分布列為：420C1C2—2—4C361220P(X，2)，C2C1

—2_4C364120 5X012P13112分)數(shù)學期望E(X)，0x*+1x3+2x5，1.19.（本小題滿分12分）【命題意圖】本小題以四棱錐為載體，考查立體幾何的基礎知識.本題考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

【試題解析】（I）證明：在厶PAE中，OP丄AE，在△BAE中，OB丄AE,AE丄平面POB,AE,平面ABCE,所以平面POB丄平面ABCE；（4分）（II）在平面POB內(nèi)作PQ丄OB二QPQ丄平面ABCE.???直線PB與平面ABCE夾角為…PBQ=—，4又OP=OB，?OP丄OB，O、Q兩點重合，即OP丄平面ABCE，由題意得，各點坐標為P（0,0,工匕），E（—,0,0），C（1,22，EC=（亍，0），由題意得，各點坐標為P（0,0,工匕），E（—,0,0），C（1,22，EC=（亍，0），22???PE—(丄,0,-2設平面PCE的一個法向量為n—(x,y,z)，1[1運0-—z—0 —2 2，設x-忑，1朽一—xH y—0〔2 27則―廠z—1，?:n1—(舅，—1,1)，由題意得平面PAE的一個法向量n—(0,1,0)，2設二面角A-P-EC為a亠IcosaI— — —InIInI1?125即二面角A-P-EC為a的余弦值為^―. (12分) > >-~PE-n—0則5 1，即<EC-n—0120.（本小題滿分12分）【命題意圖】本小題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的相關(guān)知識.【試題解析】解：（I）e—――，??a—\l2c，又a=3\：2，且a2—b2+c2,?a2—18，b2—9，因此橢圓C的方程為X2+蘭—1. (4分)18 9MB丄NB，MB丄NB，1122(II)法一：設M(x,y)(x豐0)MB丄NB，MB丄NB，1122直線NB直線NB、:y+3=亠x……①y+30直線NB:y直線NB:y—3—X0x ②2丿 y—30—9x..X—— 0,13四邊形MBNB的面積S—IBB1(1XI+1XI)—3x|xI，2 1 2 「2 1 2 2 ?0<X2‘18，?當X2—18時，S的最大值為經(jīng)2.002由①，②解得：X1X01?212分）法二：設直線MBi法二：設直線MBi:y"-3 （k豐0），則直線NBi：y=■kx-3……①直線MB與橢圓C：1x2 y2€二1的交點M直線MB與橢圓C：1x2 y2€二1的交點M的坐標為(18912k2k2€16k2-3)2k2€1)6k2—3，3則直線MB的斜率為k二2^弟二2 MB2 12k2k2€112k直線NB:y二2kx€3②26k由①，②解得N點的橫坐標為x二-N 2k2€1四邊形MB2吧的面積S=丄丨BB1(1x2 12M|€|xNI)=3?(竺+空)=汕2k2€1 2k2€1 2k2€1542|k|€1iTi當且僅當IkI二上:時，S取得最大值^7”2.(12分)21.(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的相關(guān)知識，以導數(shù)為工具研究函數(shù)的方法考查學生解決問題的綜合能力.【試題解析】(I)f'(x)=2€a=ax^2,x2xx2當a…0時，f(x)<0在xg(0,€^)上恒成立，?：f(x)在(0,€^)上單調(diào)遞減；22當a>0時,xg(0,—)時f'(x)<0，xg,+8)時,f'(x)>0，aa22即/(x)在xg(0,—)上單調(diào)遞減，在xg[-,€8)單調(diào)遞增；(4分)aa2(H)Vx=2是f(x)的極值點，?：由(1)可知一=2， ?:a=1a設在P<x,f(x))設在P<x,f(x))處的切線方程為y—(—+lnx)=(—-—+丄)(x—x)1 1 x1x2x11121€ )(x-x)x2x222111€=—xx212111<<一，4x31x1在Q<x,f(x))處的切線方程為y—(—€lnx)=(—2 2 x 222121?:若這兩條切線互相平行，則-二€丄=-丄€丄，.x2xx2x1122.1111< <—，?6 2xx114同理，b= €lnx一1.2x 221一，且0<x<x<6，.x 1 214則b= €lnx一1，1x11111【解法一】???-=1—-，x2x211121111??b—b=4( — )€lnx—lnx=4( —)—ln+ln(— )2x1???—=1x2

2令x=0，21.xg(3,4)11 2xx121'設g(x)=8x—2—lnx+ln( —x)，212x21(11)43?,()81 1 16x2€8x+1(4x—I)2?0??g(x)=8—x—L=廠=話匚?0—x2TOC\o"1-5"\h\z11 2?g(x)在區(qū)間(一，)上單調(diào)遞減，??g(x)…(——ln2,0)43 32即b—b的取值范圍是(一—ln2,0). (12分)1232x 1 1 8x【解法二】???x= —,?b—b=4( - )+lnx—lnx= —2+ln(f—1)2x—2 1 2xx1 2x 211218x令g(x)= +ln(-—1)—2，其中x…(3,4)x28 1x2一8x+16 (x一4)2??g，(x)=— + = = >0x2 x—2 x2(x—2) x2(x—2)2???函數(shù)g(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，???g(x)…(3—ln2,0)2???b—b的取值范圍是(一—ln2,0). (12分)123【解法三】x-x=2(x+x),121244b—b= — +lnx—lnx44b—b= — +lnx—lnx=12x14(x—x)2—x?x

12[x

l+lnrx22(x—x)x2 1+lnx+x12[x+ln1x2設g(x)=+lnx,—4(1—x1+—=(1+x)2x x(1+x)2TOC\o"1-5"\h\zx x 1 1???—=Z—1…(丄,1),???g，(x)>0,???函數(shù)g(x)在區(qū)間(―,1)上單調(diào)遞增,x 2 2 2222g(x)…(——ln2,0),???b—b的取值范圍是(——ln2,0). (12分)3 1 2 322.(本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標與參數(shù)方程的相關(guān)知識.x=2+x=2+t2 (t為參數(shù))1y=1+—t2設N(”,?),M(p,?),(”>0,p>0)111片八12,即卩” 3八=12,即p=4cos?,所以x2—4x+y2=0(x-0).【試題解析】解：(I)'cos?5分)1(II)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,1(2+遇t)2—4(2+竺t)+(1+11)2=0222即12+1—3=0,t,t為方程的兩個根，所以tt=—3,1212所以|Ap|-|AQ=|t1t2|=|-3|=3.(10分)23.(本小題滿分10分)

【命題意圖】本小題主要考查不等式的相關(guān)知識，具體涉及到絕對值不等式等內(nèi)容.本小題重點考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.12【試題解析】解：(1)①當x€-時，f(x)=—3x+2?4,A--?x＜一11當2?x€1時，f(x)二x?4,「.2?x€1當x>1時，f(x)=3x-2?4,A1?x?22綜上：f(x)?4的解集為{xI—3wxw2}. (5分)，3x+2,x€2(II)法一：由((II)法一：由(I)可知f(x)=x, ?x€1，?…f(x)2min3x一2,x>11乂a,b,c<R+,且a+b+c_ ,則2a+2b+2c_1,2設x_\：2a+1,y_J2b+1,z_p2c+1,x2+y2>2xy,?…2xy?x2+y2_2a+1+2b+1_2a+2b+2,同理：2yz?2b+2c+2，2zx?2c+2a+2，…2xy+2yz+2zx?2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2_8,….(x+y+z)2_x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx?2a+1+2b+1+2c+1+8_12.…x+y+z?2\；'3,即2a+1+\2b+1+、：'2c+1?2、：3,取得最大值2取得最大值2「3.(10分)當且僅當a_b_c_ 時，6，3x+2,x€—_1_1_2'法二：由(I)可知f(X)=x, ?法二：由(I)可知f(X)=2min3x一2,x>1…2a+1+、；2b+1+p2c+1.…a…2a+1+、；2b+1+p