2007年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編立體幾何

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D．12．(2007陜西·文)Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為13的球面上，兩直角邊的長(zhǎng)分別為6和8，則球心到平面ABC的距離是（A）5 （B）6 （C）10 （D）12(2007四川·文)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(A）BD∥平面CB1D1(B)AC1⊥BD(C)AC1⊥平面CB1D1(D)異面直線AD與CB所成的角為60°二．填空題13．(2007天津·文)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為，，，則此球的表面積為．14．(2007全國(guó)Ⅰ·文)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)S，A，B，C，D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)________．15．(2007全國(guó)Ⅱ·文)一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為cm．16．(2007江西·文)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)．有下列四個(gè)命題Ａ．點(diǎn)是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．二面角的正切值為Ｄ．點(diǎn)到平面的距離為其中真命題的代號(hào)是 ．（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）三．解答題17．(2007廣東·文)已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S解:由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD;(1)(2)該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為,另兩個(gè)側(cè)面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為因此18．(2007北京·文)如圖，在中，，斜邊．可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點(diǎn)．（=1\*ROMANI）求證：平面平面；（=2\*ROMANII）求異面直線與所成角的大小．解法一：（=1\*ROMANI）由題意，，，是二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（=2\*ROMANII）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角．在中，，，．又．在中，．異面直線與所成角的大小為．解法二：（=1\*ROMANI）同解法一．（=2\*ROMANII）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，．異面直線與所成角的大小為．19．(2007福建·文)如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．ABDC（Ⅰ）求證：平面ABDC（Ⅱ）求二面角的大小．解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．ABCDOFG連結(jié)ABCDOFG的中點(diǎn)，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．，為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又，ABCABCDOzxy所以二面角的大小為．解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，．，，令得為平面的一個(gè)法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．20．(2007安徽·文)ＶAＣＤＢ如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，且，．ＶAＣＤＢ（I）求證：平面平面；（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．依題意，所以在中，；在中，，．，．故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為．解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyzADBCVxyz則由．得可取，又，于是，即，．故交時(shí)，直線與平面所成的角為．解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得ADBCVxADBCVxy于是，即．故交時(shí)，即直線與平面所成角為．21．(2007湖南·文)如圖3，已知直二面角，，，，，，直線和平面所成的角為．（I）證明；（II）求二面角的大?。瓵ABCQP解：（I）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以．而，所以，，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫妫剩↖I）解法一：由（I）知，，又，，，所以．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．故是二面角的平面角．由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小為．解法二：由（I）知，，，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．不妨設(shè)，則，．ABCQPOABCQPOxyz所以．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，．所以，．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，得．易知是平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．所以．故二面角的大小為．22．(2007江蘇)如圖，已知是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，（1）求證：四點(diǎn)共面；（4分）（2）若點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，垂足為，求證：面；（4分）（3）用表示截面和面所成銳二面角大小，求。（4分）23．(2007江西·文)右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求與平面所成的角的大小；（3）求此幾何體的體積．（1）證明：作交于，連．則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．則是平行四邊形，因此有，平面，且平面則面．（2）解：如圖，過(guò)作截面面，分別交，于，，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，則面．連結(jié)，則就是與面所成的角．因?yàn)?，，所以．與面所成的角為．（3）因?yàn)?，所以．．．所求幾何體的體積為．解法二：（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，易知，是平面的一個(gè)法向量．由且平面知平面．（2）設(shè)與面所成的角為．求得，．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由得，取得：．又因?yàn)樗?，，則．所以與面所成的角為．（3）同解法一24．(2007全國(guó)Ⅰ·文)SCDAB四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，，，．SCDAB（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小．解法一：（1）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．因?yàn)椋?，又，故為等腰直角三角形，，DBCADBCASE（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，故，由，，．又，作，垂足為，則平面，連結(jié)．為直線與平面所成的角．所以，直線與平面所成的角為．解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．因?yàn)椋裕?，為等腰直角三角形，．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，DBCADBCAS，又，所以，，．，，，，所以．（Ⅱ），.與的夾角記為，與平面所成的角記為，因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以與互余．，，AEBCFSD所以，直線AEBCFSD25．(2007全國(guó)Ⅱ·文)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn)．（1）證明平面；（2）設(shè)，求二面角的大小．解法一：（1）作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．連結(jié)，又，故為平行四邊形．AEBCFSDHGAEBCFSDHGM所以平面．（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形．取中點(diǎn)，連結(jié)，則．又平面，所以，而，所以面．取中點(diǎn)，連結(jié)，則．連結(jié)，則．故為二面角的平面角AAEBCAAEBCFSDGMyzx所以二面角的大小為．解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．取的中點(diǎn)，則．平面平面，所以平面．（2）不妨設(shè)，則．中點(diǎn)又，，所以向量和的夾角等于二面角的平面角． ．所以二面角的大小為．26．(2007安徽·文)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐v,BC=6.(Ⅰ)求證:BD(Ⅱ)求二面角的大小.解法一：（Ⅰ）平面，平面．．AEDPCBAEDPCB，，，即．又．平面．（Ⅱ）連接．平面．，．為二面角的平面角．在中，，，，二面角的大小為．解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，則，，，，，，，，AEDPCByzxAEDPCByzx又，面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，，解得．，．二面角的大小為．27．(2007四川·文)如圖，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求證：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大??；（Ⅲ）求多面體PMABC的體積.解析：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．（Ⅰ）∵平面平面，，平面．∴平面又∵平面∴（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則．連接、．∵平面平面，平面平面，．∴平面．∵，∴，從而平面．作于，連結(jié)，則由三垂線定理知．從而為二面角的平面角．∵直線與直線所成的角為60°，∴．在中，由勾股定理得．在中，．在中，．在中，故二面角的大小為（Ⅱ）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，有，，．，由直線與直線所成的角為60°，得即，解得．∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，取，得取平面的一個(gè)法向量為則由圖知二面角為銳二面角，故二面角的大小為．（Ⅲ）多面體就是四棱錐28。(2007天津·文)如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求和平面所成的角的大??；（Ⅱ）證明平面；（Ⅲ）求二面角