3.3 拋物線（練習(xí)） - 解析版

33．3拋物線（練習(xí)）解析第頁3．3拋物線（練習(xí)）解析一．單項(xiàng)選擇題：（每小題5分，共6小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的上焦點(diǎn)重合，則A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線半焦距，即雙曲線的上焦點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即．故選C．2．拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，，則A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得．故選D．3．已知拋物線上有一條長為的動(dòng)弦，則的中點(diǎn)到軸的最短距離為A．B．C．D．【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為．如圖，設(shè)中點(diǎn)為，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．因?yàn)?，所以中點(diǎn)為到軸的最短距離為．故選A．4．已知，為拋物線上的兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為A．B．C．D．【答案】C【解析】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，且．由可得，所以．故選C．5．已知點(diǎn)，分別是直線與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．【答案】B【解析】的最小值即為拋物線上的點(diǎn)到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線的方程為．由，得，令，解得．因?yàn)橹本€與拋物線相離，所以直線的方程為：，所以直線與與直線間的距離為，即的最小值為．故選B．6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的面積為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，．因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為：，即．（解法一）由，消去得，，所以，所以．又到直線的距離，所以的面積為．故選D．（解法二）由消去得，，所以，，所以．因此的面積為．故選D．二．填空題（每小題5分，共6小題．）7．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，若，則．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．由拋物線定義，得，所以．又直線過所以直線的方程為，所以．8．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，，所以．9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．若，則_________．【答案】【解析】（解法一）如圖，的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，．因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以．又，所以，所以．所以．（解法二）過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，．因?yàn)?，所以，所以，所以直線的傾斜角為或．故直線的方程為，代入，可得，所以，所以．10．已知過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若點(diǎn)，使得，則_________．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為：代入，消去得．設(shè)，，則，，所以，．因此，所以．三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）11．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，那么在軸上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)變化時(shí)，總有成立？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）為拋物線上一點(diǎn)，且，所以到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，即，所以．又，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)，，由，消去得，，所以，．若軸上是存在定點(diǎn)，使得恒成立，則直線的斜率與直線的斜率之和恒為，即．因此，所以，所以，所以，解得．即存在點(diǎn)，使得當(dāng)變化時(shí)，總有成立．12．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，連結(jié)并延長交于點(diǎn)．（1）求；（2）除以外，直線與是否有其它公共點(diǎn)？說明理由．【答案】（1）；（2）詳見解析．【解析】（1）依題意得，，又為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，所以，所以直線的斜率為，故直線方程為．代入，可得，所以或，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，可得，故