3.3 拋物線（練習） - 解析版

33．3拋物線（練習）解析第頁3．3拋物線（練習）解析一．單項選擇題：（每小題5分，共6小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．若拋物線的焦點與雙曲線的上焦點重合，則A．B．C．D．【答案】C【解析】因為雙曲線半焦距，即雙曲線的上焦點為，所以拋物線的焦點為，所以，即．故選C．2．拋物線的焦點為，是拋物線上一點，，則A．B．C．D．【答案】D【解析】因為拋物線的準線方程為，所以，解得．故選D．3．已知拋物線上有一條長為的動弦，則的中點到軸的最短距離為A．B．C．D．【答案】A【解析】拋物線的準線方程為．如圖，設(shè)中點為，作垂直準線于點，則點到準線的距離為．因為，所以中點為到軸的最短距離為．故選A．4．已知，為拋物線上的兩點，且的中點為，則直線的斜率為A．B．C．D．【答案】C【解析】已知的中點為，設(shè)，兩點坐標分別為，，則，且．由可得，所以．故選C．5．已知點，分別是直線與拋物線上的動點，則的最小值為A．B．C．D．【答案】B【解析】的最小值即為拋物線上的點到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線的方程為．由，得，令，解得．因為直線與拋物線相離，所以直線的方程為：，所以直線與與直線間的距離為，即的最小值為．故選B．6．已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，則的面積為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，．因為拋物線的焦點為，所以直線的方程為：，即．（解法一）由，消去得，，所以，所以．又到直線的距離，所以的面積為．故選D．（解法二）由消去得，，所以，，所以．因此的面積為．故選D．二．填空題（每小題5分，共6小題．）7．設(shè)坐標原點為，過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，，若，則．【答案】【解析】因為拋物線的焦點為，準線方程為．由拋物線定義，得，所以．又直線過所以直線的方程為，所以．8．點是拋物線上一動點，若點，記點到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【解析】因為拋物線的焦點為，準線方程為，由拋物線定義可知，，所以．9．已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于，兩點，且與拋物線的準線交于點．若，則_________．【答案】【解析】（解法一）如圖，的焦點，準線交軸于點，過點，作準線的垂線，垂足分別為，．因為，所以，所以，因為，所以，所以．又，所以，所以．所以．（解法二）過點，作準線的垂線，垂足分別為，．因為，所以，所以，所以直線的傾斜角為或．故直線的方程為，代入，可得，所以，所以．10．已知過拋物線的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若點，使得，則_________．【答案】【解析】拋物線的焦點為，所以直線的方程為：代入，消去得．設(shè)，，則，，所以，．因此，所以．三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）11．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，且．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于，兩點，那么在軸上是否存在定點，使得當變化時，總有成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）為拋物線上一點，且，所以到拋物線的準線的距離為，即，所以．又，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)，，由，消去得，，所以，．若軸上是存在定點，使得恒成立，則直線的斜率與直線的斜率之和恒為，即．因此，所以，所以，所以，解得．即存在點，使得當變化時，總有成立．12．（本小題滿分12分）在直角坐標系中，直線與軸交于點，與拋物線交于點，點關(guān)于點的對稱點為，連結(jié)并延長交于點．（1）求；（2）除以外，直線與是否有其它公共點？說明理由．【答案】（1）；（2）詳見解析．【解析】（1）依題意得，，又為關(guān)于點的對稱點，所以，所以直線的斜率為，故直線方程為．代入，可得，所以或，即點的橫坐標為，代入，可得，故