（新教材）【人教A版】必修一1.3.1（數(shù)學）

1.3集合的基本運算第1課時并集、交集1.并集【思考】(1)“x∈A或x∈B”包含哪幾種情況?如何用Venn圖表示?提示:“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種情況:x∈A,但x?B;x∈B,但x?A;x∈A,且x∈B.用Venn圖表示如圖所示.(2)集合A∪B的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)和?提示:不一定等于.A∪B的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)和.2.交集【思考】當集合A,B無公共元素時,A與B有交集嗎?提示:當集合A,B無公共元素時,A與B有交集,它們的交集是空集.3.并集與交集的性質(1)A∩A=A,A∩?=?.(2)A∪A=A,A∪?=A.【思考】(1)對于任意兩個集合A,B,A∩B與A有什么關系?A∪B與A有什么關系?提示:(A∩B)?A,A?(A∪B).(2)設A,B是兩個集合,若已知A∩B=A,A∪B=B,則它們之間有何關系?集合A與B呢?提示:A∩B=A?A∪B=B?A?B.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)集合A和集合B的公共元素組成的集合就是集合A與B的交集.(

)(2)若A∩B=?,則A,B均為空集.(

)(3)A,B中分別有3個元素,則A∪B中必有6個元素.(

)(4)若x∈A∩B,則x∈A∪B. (

)提示:(1)√.根據(jù)交集的定義可知此說法正確.(2)×.當A∩B=?時,A,B可以為?,也可以不為?,如A={1,2},B={3,4},A∩B=?.(3)×.求兩個集合的并集時,這兩個集合的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次,需要滿足集合中元素的互異性.

所以A,B中分別有3個元素,則A∪B中的元素個數(shù)可能是3,4,5,6個.(4)√.因為(A∩B)?(A∪B).2.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},則M∪N= (

)A.{0,1} B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}【解析】選C.M∪N={-1,0,1,2}.3.設集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},則M∩N=(

)A.{x|1≤x<2} B.{x|1≤x≤2}C.{x|2<x≤3} D.{x|2≤x≤3}【解析】選A.因為M={x|-3<x<2}且N={x|1≤x≤3},所以M∩N={x|1≤x<2}.類型一并集概念及其應用【典例】1.設集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},則M∪N=(

)A.{0} B.{0,2}C.{-2,0} D.{-2,0,2}2.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},則M∪N=(

)A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5<x<5}C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3或x>5}3.設S={x|x<-1或x>5},T={x|a<x<a+8},若S∪T=R,則實數(shù)a應滿足 世紀金榜導學號(

)A.-3<a<-1 B.-3≤a≤-1C.a≤-3或a>-1 D.a<-3或a>-1【思維·引】1.列舉法表示集合M,N,根據(jù)并集的定義寫出M∪N.2.在數(shù)軸上表示集合M,N,觀察圖形根據(jù)并集的定義寫出M∪N.3.在數(shù)軸上表示集合S,T,觀察圖形并根據(jù)S∪T=R列出不等式組,求解得實數(shù)a應滿足的條件.【解析】1.選D.M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,-2},N={x|x2-2x=0,x∈R}={0,2},故M∪N={-2,0,2}.2.選A.在數(shù)軸上表示集合M,N,如圖所示,則M∪N={x|x<-5或x>-3}.3.選A.在數(shù)軸上表示集合S,T如圖所示.因為S∪T=R,由數(shù)軸可得解得-3<a<-1.【內化·悟】1.用數(shù)軸如何表示下列集合?(1){x|x<a}.(2){x|x>b}.(3){x|x<a或x>b(a<b)}.(4){x|a<x<b}.提示:(1){x|x<a}

(2){x|x>b}(3){x|x<a或x>b(a<b)}(4){x|a<x<b}2.畫數(shù)軸求兩個集合的并集時,要注意哪些問題?提示:(1)兩個集合的并集是表示兩個集合的圖形所覆蓋的全部范圍.(2)注意當端點不在集合中時,應用“空心點”表示,當端點在集合中時,應用“實心點”表示.【類題·通】求集合并集的方法(1)兩集合用列舉法給出:①依定義,直接觀察求并集;②借助Venn圖寫并集.(2)兩集合用描述法給出:①直接觀察,寫出并集;②借助數(shù)軸,求出并集.(3)一個集合用描述法,另一個用列舉法:①直接觀察,找出并集;②借助圖形,觀察寫出并集.提醒:若兩個集合中有相同元素,在求其并集時,只能算作一個.【習練·破】1.滿足條件{1,2}∪M={1,2,3}的所有集合M的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.因為{1,2}∪M={1,2,3},所以3∈M,則滿足條件的M可以是{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},共有4個.2.若集合A={x|x≤1},B={y|y≥0},則A∪B=______.

【解析】如圖所以A∪B=R.答案:R【加練·固】點集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},則A∪B中的元素不可能在(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.由題意得,A∪B中的元素是由橫坐標小于0或縱坐標小于0的點構成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.類型二交集概念及其應用【典例】1.(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B=(

)A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}2.已知A={x|x≤-2或x>5},B={x|1<x≤7},則A∩B=________.

3.集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},世紀金榜導學號(1)若B?A,求實數(shù)m的取值范圍.(2)若A∩B≠?,求實數(shù)m的取值范圍.【思維·引】1.找集合A,B的公共元素,寫出A∩B.2.在數(shù)軸上表示集合A,B,觀察圖形,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.3.(1)分當B=?和B≠?兩種情況討論.(2)先求出A∩B=?時實數(shù)m的取值范圍,再寫出A∩B≠?時實數(shù)m的取值范圍.【解析】1.選A.A∩B={0,2}.2.將x≤-2或x>5及1<x≤7在數(shù)軸上表示出來.

根據(jù)交集的定義,圖中陰影部分即為所求,所以A∩B={x|5<x≤7}.答案:{x|5<x≤7}3.(1)當B=?時,B?A,此時m+1>2m-1,解得m<2,當B≠?時,為使B?A,m需滿足解得2≤m≤3,綜上知實數(shù)m的取值范圍為m≤3.(2)先求A∩B=?,當B=?時由(1)知m<2,當B≠?時,為使A∩B=?,m需滿足或,解得m>4,綜上知當m<2或m>4時A∩B=?,所以若A∩B≠?,實數(shù)m的取值范圍是2≤m≤4.【內化·悟】畫數(shù)軸求兩個集合的交集時,要注意哪些問題?提示:(1)兩個集合的交集是表示兩個集合的圖形所覆蓋的公共范圍.(2)注意端點處的“實”與“虛”.【類題·通】1.求集合A∩B的步驟(1)要清楚集合A,B的元素是什么.(2)把所求交集用集合符號表示出來,寫成“A∩B”的形式.(3)把化簡后的集合A,B的所有公共元素都寫出來即可(相同元素只寫一個).2.求集合A∩B的常用方法(1)若A,B的代表元素是方程的根,則應先解方程求出方程的根后,再求兩集合的交集.(2)若集合的代表元素是有序數(shù)對,則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集,解集是點集.(3)若A,B是無限數(shù)集,可以利用數(shù)軸來求解,但要注意“實”“虛”點.【習練·破】1.已知集合P={x|x<0},Q={x|x≤1},則P∩Q=_______.

【解析】因為P={x|x<0},Q={x|x≤1},故P∩Q={x|x<0}.答案:{x|x<0}2.已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若A∩B={-3},求實數(shù)a的值.【解析】因為A∩B={-3},所以-3∈B.而a2+1≠-3,所以a-3=-3或2a-1=-3.(1)當a-3=-3時,a=0.A={0,1,-3},B={-3,-1,1},于是A∩B={-3,1},這樣與A∩B={-3}矛盾;(2)當2a-1=-3時,a=-1,符合A∩B={-3},綜上知a=-1.【加練·固】已知集合M={x|x≤a},N={x|-2<x<0},若M∩N=?,則a的取值范圍為 (

)A.a>0

B.a≥0

C.a<-2

D.a≤-2【解析】選D.畫數(shù)軸可知,當M∩N=?時,a的取值范圍是{a|a≤-2}.類型三集合交、并運算的性質及綜合應用【典例】已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.世紀金榜導學號(1)若A∩B=?,求實數(shù)a的取值范圍.(2)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.【思維·引】(1)根據(jù)A∩B=?列不等式組,求實數(shù)a的取值范圍.(2)由A∪B=B,推出A?B,列不等式求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因為A∩B=?,所以解得-1≤a≤2.(2)因為A∪B=B,所以A?B,所以a>5或a+3<-1,即a的取值范圍為a>5或a<-4.【素養(yǎng)·探】交集、并集運算性質的應用問題中,經常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象,由Venn圖或數(shù)軸直觀展示,根據(jù)集合運算結果分析集合之間的關系并列出不等式(組),求參數(shù)的值或范圍.本例中若將條件改為A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1}且A∩B=B,試求k的取值范圍.【解析】因為A∩B=B,所以B?A,(1)當B=?,即k+1>2k-1時,k<2,滿足B?A;(2)當B≠?時,要使B?A,只需解得2≤k≤.綜合(1)(2)可知k≤.【類題·通】1.集合運算常用的性質(1)A∪B=B?A?B.(2)A∩B=A?A?B.(3)A∩B=A∪B?A=B.2.利用集合交集、并集的性質解題的方法及關注點(1)方法:利用集合的交集、并集性質解題時,常常遇到A∪B=B,A∩B=A等問題,解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關系