2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷16(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷(16)

一、單項選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.下列各角與。終邊相同的角是（）

A.：兀B.C.一:兀D.-!7r

3333

2,若〃，b,c,dER,a>b,c>d,則下列不等式成立的是（）

A.ac>bdB.a2>b2C.c2>d2D.a-d>b

3.不等式/一4%+3VO的解集為（）

A.（1,3）B.（-3,-1）

C.（-00,-3）U（-1,+oo）D.（-8,1）U（3,4-oo）

4.在△力8C中，若b=3,4==g,則Q=（）

o4

A.V6B.越C.3V2D.出

22

5.要得到丫=3?。$（2%-9的圖象，只需將y=3cos2x的圖象（）

A.右移gB.左移gC.右移gD.左移￡

oo

6.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°

C.a=14,b=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°

7.在△ABC中，AB=AC=1,BC=有,則向量左在同方向上的投影為()

A.一；B.:C.一在D.在

2222

8.在△ABC中，a,b,c分別是乙4,NB,NC的對邊，若a2<(b+c)(c-b),則△48。是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形或鈍角三角形

9.已知0cx<1,則以+g的最小值為()

A.9B.gC.5D.|

10.已知4B兩點的距離為100，wn7e,點B在點A的北偏東30。方向上，甲船從點A以50nm〃e"的

速度向點B航行，同時乙船從點8以30nm〃e//i的速度沿南偏東30°方向航行，則甲，乙兩船之

間的距離最小時經(jīng)過的時間是()

A.1B.7C.D.：

4493

11.在4ABC中，4：B=1：2,sinC=1,貝!ja：b:c等于()

A.1：2：3B.3：2：1C.1：V3：2D.2：V3：1

2

12.已知函數(shù)/(%)=|log2|l一司,若函數(shù)g(x)=/(x)+af(x)+2b有6個不同的零點,則這6個零

點之和為()

A.7B.6C.vD.：

22

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知角a的終邊經(jīng)過點P(3,—4),則sina+cosa的值為.

14.若a>0,b>2,且a+b=3,則使得士+”取得最小值的實數(shù)a=.

15.在△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若(a?+—/J2)tan8=則角8

的值為.

16.關(guān)于x的不等式a/-5x+b<。的解集是(2,3),則a+匕的值等于.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知sin(7r—a)=|,a6(p^r).

(1)求COS(7T+a)的值;

(2)求tan(/r-a)的值；

(3)求s譏2a+cos2a的值.

18.在△ABC中，設(shè)角A，B,C的對邊分別為“，4c.，證明：就=高=肅

19.已知函數(shù)/'(%)=%2+2ax—b.

(1)若b=8M,求不等式/(x)40的解集；

(2)若Q>0,b>0,且f(b)=b?+b+Q,求a+b的最小值.

20.在△ABC中，角48.C的對應(yīng)邊分別為a、b、，且翳=干

(I)求sinB

(11)若/?=4&，求△48C周長的最大值.

21.近日，某公司對其生產(chǎn)的一款產(chǎn)品進行促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P（單位：萬件）與促銷

費用x（單位：萬元）滿足函數(shù)關(guān)系：「=3-京（其中0三》3。，。為正常數(shù)）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品件

數(shù)為P（單位：萬件）時，還需投入成本10+2P（單位：萬元）（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定

為（4+藍）元/件，假定生產(chǎn)量與銷售量相等.

（I）將該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為促銷費用x（單位：萬元）的函數(shù)；

（II）促銷費用x（單位：萬元）是多少時，該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）取最大值？

22.已知向量五=（cosx,sinx+V3cosx）＞b=（cos久—yf3sinx,—sinx^/（x）=a-b-

（1）求函數(shù)f。）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)Xe[―，堂時，求函數(shù)f（x）的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題考查終邊相同角的概念，是基礎(chǔ)題.

利用終邊相同的角相差2兀的整數(shù)倍，判斷選項即可.

解：與g終邊相同的角可以寫成m+2/OT,kez,

當(dāng)k=-l時，為一

故選D.

2.答案：D

解析：解：Vc>d,

??—d>—c,

又「a>b,

a—d>b—c.

故選：D.

利用不等式的基本性質(zhì)即可得出.

本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：A

解析：

本題考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

把不等式/-4x+3<0化為(x-l)(x-3)<0,求出解集即可.

解：不等式7—4%+3<0可化為(x—1)(%-3)<0,

解得1<x<3,

???不等式/一4x+3<0的解集為(1,3).

故選4.

4.答案：D

解析：

本題考查正弦定理，根據(jù)啖=上即可得到答案，屬基礎(chǔ)題.

smAsinB

解：?.?/,=3,4=巳

64

???由正弦定理-彳=一%，可得：。=嗡=苧=言—

2

故選。.

5.答案：C

解析：解：函數(shù)y=3cos(2x-§=3cos[2(x-J,

要得到y(tǒng)=3cos(2x—$的圖象，

只需將y=3cos2x的圖象向右平移看個單位.

故選：C.

根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的法則，即可得出正確的結(jié)論.

本題考查了三角函數(shù)圖象平移的法則與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

6.答案：C

解析：解：A項中8=180。一45。-80。=55。，由正弦定理可求得c=—4?sinC,進而可推斷出三

角形只有一解；

B項中b=—2accos60。為定值,故可知三角形有一解.

c項中由a=14,b=16,4=45。及正弦定理，得誓=誓，所以sinB=空.因而B有兩值.

16147

。項中c>a,進而可知C>A=120。，則C+4>180。不符合題意，故三角形無解.

故選：C.

先根據(jù)正弦定理和A項中的條件可求得c的值為一個，推斷出A中的三角形有一個解；根據(jù)余弦定

理可求得B項中的6的值，推斷出B中的三角形有一個解；C項中利用正弦定理可求得sinB的值，

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得B有兩個值，推斷出三角形有兩個解；。項中利用大邊對大角可推斷出

C>4=120。三角形中出現(xiàn)兩個鈍角，不符合題意.

本題主要考查了解三角形.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.

7.答案：A

解析：解：???△ABC中，AB=AC=1,BC=V3.

.AB2+AC2-BC21+1-31

???cosA=--------=-----=——，

2ABAC2X1X12

???A=120°,

???向量尼在南方向上的投影為哥=lxlxcf12Q°=-%

故選：A.

根據(jù)余弦定理求出角A的大小，結(jié)合向量投影的定義進行求解即可.

本題主要考查向量投影的計算，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化向量數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵.

8.答案：C

解析：解：：a?<(b+c)(c-b),

即：a2+b2<c2

二由余弦定理得:c2=a2+b2—2ab-cosC>a2+b2,

■.cosC<0,即NC為鈍角

故△ABC是鈍角三角形

故選：C.

根據(jù)a2<(b+c)(c-b),可知。2+墳<。2,從而根據(jù)余弦定理可知cosC<0,即4c為鈍角，最后

可確定三角形的形狀.

本題考查了余弦定理判定三角形形狀，解題的關(guān)鍵是對余弦定理的運用，屬于中檔題.

9.答案：B

解析：

利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

解：因為工+二_=1.+二_

2x1-xX1-x

1

=?+占)。+1—乃

_5,*1-外,

—----------------1----------

2X1-X

v0<X<1,AX>0且1一%>0,

...21+三22」匠3=2,

X1-x\X1-X

當(dāng)且僅當(dāng)也2=二七，即x時，廷金+空取得最小值2.

X1-X3X1-x

.??/+W的最小值為升29

2

故選：B.

10.答案:C

解析:設(shè)"后甲船到達點到乙船到達點。,則BP=100—50t,BQ=303

PQ=y/BP2+BQ2-2BP-BQ-cos600=10V49t2-130t+100.故當(dāng)t=穹寸，PQ最小即兩船之

間的距離最小...

11.答案：C

解析：

本題考查了正弦定理，屬于簡單題.

先得出A、B的大小，再由正弦定理即可得出結(jié)果.

解：由s譏C=1,???C=5，由4：8=1：2,故A+B=34=g,得4=gB=三

由正弦定理得，a：Z?：c=sin>1：sinB：sinC=-：—：-=1：V3:2.

222

故選C.

12.答案：B

解析：解:作出函數(shù)f(%)=llogzl%-1||的圖象,

可得圖象關(guān)于直線久=1對稱，

??,函數(shù)g(%)=/2(x)+af(x)+2b有6個不同的零點,

即方程[/(x)]2+af(x)+2b=0有6個不同的實數(shù)解,

可得這6個解兩兩關(guān)于直線％=1對稱，

可得它們的和為2x3=6.

故選：B.

本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題的解法，注意運用函數(shù)的對稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔

題.

13.答案：一巳

解析：

由任意角的三角函數(shù)的定義可得x=3,y=-4,r=5,求得sina=予和cosa=%的值，即可求出.

解：???已知角a的終邊經(jīng)過點P(3,-4),

由任意角的三角函數(shù)的定義可得：x=3,y=-4,r=V9T16=5,

故sina=-=cosa

r5r5

所以sina+cosa=—

故答案為一巳.

14.答案：|

解析：解：Q>0,b>2,且a+b=3,

???a+b—2=1,

那么：?+6)也+(b—2)]=4+1+("/+熱)

>5+2—=9,

7ab-2

當(dāng)且僅當(dāng)2(b-2)=a時即取等號.

聯(lián)立第L

解得：a=|.

故答案為：|.

構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)即可求解.利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了構(gòu)造不等式的思想，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.答案:常

解析：

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

解：根據(jù)題意得，2accosB?=小*,

COSB

所以sMB=—>

2

又因為B為三角形的內(nèi)角，

所以8=笑號.

故答案為裁拳

16.答案：7

解析：

根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程之間的關(guān)系，得出方程的兩個根為2和3,再利用根與系數(shù)的關(guān)系

求出“、人的值即可.

本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程之間的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了根與系數(shù)的應(yīng)用問題，是基

礎(chǔ)題目.

解：???關(guān)于x的不等式a/-5%+b<0的解集是(2,3),

二關(guān)于x的方程ax?—5%+'=0的兩個根為2和3,

—=2+3,-=2x3,

aa

解得a=1,b=6,

???Q+b=l+6=7.

故答案為7.

17.答案：(本小題滿分12分)

解：（1）,?,sin（?r-a）=|,???sina=|（1分）

又QW,7），??.cosa=—V1—sin2a=—11—（|）2=—:（3分）

4

-為

???cosfzr+a）=—cosa5(4

,3

（2）vtana==-^=—-（6分）

'/cosa--4''

s

3

:.tan（7r—a）=—tana=-（7分）

,34

（3）vsma=cosa=--

???sin2a=2sinacosa=2x|x（—^）=—（9分）cos2a=2cos2a-1=2x（一軟一1=5（11分）

/.sinla+cos2a=——4--=——（12^）

解析：利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，直接求解(1)(2),利用二倍角公式化簡求解(3)

即可.

不考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用以及二倍角公式的應(yīng)用，基本知識的考

查.

18.答案：證明：在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,=c.作CHd.AB垂足為點H,

可得：CH=a?sinB,CH=b-sinA,

???a?sinB=b-sinA,

同理，在△ABC中，—

sinCf

???同弧所對的圓周角相等，，高=2R,

則去3=告(2/?三角形外接圓的直徑).

解析：本題主要考查通過三角函數(shù)定義證明正弦定理.

19.答案：解：(1)因為b=8a2,所以/(x)=/+2ax-8a2,

由f(%)<0,得產(chǎn)+2ax-8a2<0,即(％+4a)(%—2d)<0,

當(dāng)Q=o時，不等式f(x)W0的解集為{x|x=0},

當(dāng)a>0時，不等式/(%)<0的解集為{%|-4QWxW2a},

當(dāng)a<0時，不等式f(%)<0的解集為{%|2Q<%<-4a},

綜上所述，不等式/(工)工0的解集為：當(dāng)Q=0時解集為{%|%=0};

當(dāng)Q>0時解集為解集為{制一4QW工42Q};當(dāng)a<0時，解集為"|2Q<%<-4a}.

(2)因為/(b)=爐+2ab—b,由已知/(b)=b?+b+Q,可得2ab=Q+2b,

口哈+/=1,由。+8=(。+與*1=9+蟻：+/)=1+?+/+安|+2昌1=|+企，

(當(dāng)且僅當(dāng)a=V^b，即a=1+?,6=萼時取等號)，

所以a+b的最小值為1+或.

解析：本題考查了一元二次不等式解集的分類討論問題，基本不等式的求最值問題，屬于中檔題.

(1)由f(x)40得(％+4Q)(X-2a)工0,再分Q=0,a>0,QVO進行討論可得答案

⑵由題意可得1,故可得a+b=(a+b)x1=(a+b)6+/)然后展開利用基本不等式可

得答案.

20.答案：解：(1)：色=牛，

COSBD

cosC3sinA-sinC

cosBsinB

:.sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB,

???sin(B+C)=^sinAcosB,

sinA=3sinAcosB,

???cosB=

3

AsinB=—：

3

(□)?.<=4V3

.?.由余弦定理可得32=a2+c2-laccosB=a2+cz-1ac=(a+c)2-1ac>(a+c)2-1-

(等)2="a+c)2,

(a+c)2<96,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立,

故a+cW4瓜,

ABC周長的最大值為+4vL

解析：(I)利用正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式，即可求出sinB：

(U)由條件利用余弦定理、基本不等式可得(a+c)2s96,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立，由此求得

a+c的最大值，即可求△ABC周長的最大值.

本題考查和角的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.答案：解：(I)由題意知，y=(4+y)p-x-(