第01講空間向量及其運(yùn)算（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第01講空間向量及其運(yùn)算【人教A版2019】·模塊一空間向量及其線性運(yùn)算·模塊二空間向量的數(shù)量積運(yùn)算·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間向量及其線性運(yùn)算1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.【考點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）12a+2A．?52a?4c B．?5【例1.2】（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在ABCD中，點(diǎn)M,N分別是棱AD,CD的中點(diǎn)，則12BD+A．CA B．AC C．NM D．MN【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若A,B,C,D為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定為零向量的是（

）A．ABB．2C．ABD．AB【變式1.2】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在A．?12AB+76ADC．?12AB+56AD【考點(diǎn)2由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】【例2.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1DA．3 B．2 C．1 D．?2【例2.2】（2022秋·山東煙臺(tái)·高二?？茧A段練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)MA．12 B．1 C．?12【變式2.1】（2023秋·山東泰安·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A．x=?12,y=C．x=?12,y=?【變式2.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a1=2m?j+k，a2=m+3j?2k，a3=?2m+jA．1，?2，?3B．?2，1，?3C．?2，1，3D．?1，2，3【考點(diǎn)3向量共線的判定及應(yīng)用】【例3.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）AB與CD共線是直線AB∥CD的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例3.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是()A．AB+BC=C．AB=BC 【變式3.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知非零向量a=3m?2n?4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且A．?13B．?5C．8D．13【變式3.2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）若a=?i+2j?k，b=?3i+6j?3A．可組成銳角三角形 B．可組成直角三角形C．可組成鈍角三角形 D．不構(gòu)成三角形【考點(diǎn)4向量共面的判定及應(yīng)用】【例4.1】（2023秋·高一單元測(cè)試）下列條件能使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM【例4.2】（2023·全國·高二課堂例題）已知O為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且OP=mOA+2OB+A．?1 B．?2 C．?3 D．1【變式4.1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若由OP=15OA+13OB+λA．?23 B．23 C．7【變式4.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知A、B、C是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)O滿足OA+2OB+3A．點(diǎn)O是唯一的，且一定與A、B、C共面B．點(diǎn)O不唯一，但一定與A、B、C共面C．點(diǎn)O是唯一的，但不一定與A、B、C共面D．點(diǎn)O不唯一，也不一定與A、B、C共面模塊二模塊二空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算求兩個(gè)向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【考點(diǎn)5空間向量數(shù)量積的計(jì)算】【例5.1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高一校考期末）如圖，在四面體ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.則BC?BD

A．32 B．52 C．92【例5.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．1 B．0 C．?1 D．?2【變式5.1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，AB⊥AC,M,N分別是A1C1,BB

A．4 B．5 C．6 D．8【變式5.2】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知EF是棱長(zhǎng)為8的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)M在正方體的棱上運(yùn)動(dòng)，則ME?MF的最小值為（A．?48 B．?32 C．?16 D．0【考點(diǎn)6空間向量的夾角及其應(yīng)用】【例6.1】（2023春·廣西柳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知a、b都是空間向量，且a,b=2π3A．π3 B．π6 C．2π3【例6.2】（2023·全國·高三對(duì)口高考）在三棱錐V?ABC中，VA⊥BC,VB⊥AC，則VC與AB的夾角為（

）A．60° B．90° C．30° D．不確定【變式6.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若非零向量a，b滿足a=b，(2a?b)?bA．30° B．60° C．120° D．150°【變式6.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AAA．30° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)7利用空間向量的數(shù)量積求模】【例7.1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【例7.2】（2023春·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．4【變式7.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD?A1B1C1DA．3?1 B．2?1 C．3?2【變式7.2】（2023春·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=

A．AC1=a+b+C．AC1=a+b+【考點(diǎn)8空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】【例8.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知a，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m=2e1+3eA．?6 B．6 C．3 D．?3【例8.2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀┤鐖D，二面角A?EF?C的大小為45°，四邊形ABFE、CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B、D兩點(diǎn)間的距離是（

A．2 B．3 C．3?2 D．【變式8.1】（2023春·福建寧德·高二校考階段練習(xí)）已知A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AC?AD=0，AB?AD=0，點(diǎn)M為A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．以上三種情況都有可能【變式8.2】（2022秋·北京西城·高二?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD滿足：AB?BC=0，BC?CD=0，A．以下答案都不對(duì) B．不確定C．空間四邊形 D．矩形模塊模塊三課后作業(yè)1．（2023春·江蘇南京·高二?？计谥校┮阎襟wABCD?A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′A．13AAC．13AA2．（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若OE=12OD+xA．?2 B．0 C．?1 D．33．（2023春·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)P∈平面ABC，且對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)O滿足OP=14OA+λA．?58 B．?38 C．4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間向量a，b，a=1，b=2，且a?b與a垂直，則aA．60° B．30° C．135°5．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┰O(shè)向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．46．（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知向量e1，e2不共線，AB=e1+eA．AB與AC共線 B．AB與CD共線C．A，B，C，D四點(diǎn)不共面 D．A，B，C，D四點(diǎn)共面7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在三棱錐O?ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,OB=OC=2OA=2,E為OC的中點(diǎn)，則AEA．-1 B．0 C．1 D．38．（2023春·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為1，

A．3 B．2+2 C．2 D．9．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在三維空間中，三個(gè)非零向量OA,OB,OC滿足OA⊥A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．直角或銳角三角形10．（2023春·上海浦東新·高二校考階段練習(xí)）空間有一四面體A-BCD，滿足AD⊥AB，AD⊥AC，則所有正確的選項(xiàng)為（

）①DB?②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；④若AB<DA且AC<A．② B．①③ C．②④ D．②③④11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，已知G為△BCD的重心，E,F,H分別為邊CD,AD和BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1)AG→(2)12(3)1312．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知幾何體ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面體．（1）化簡(jiǎn)12AA1+BC+（2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線BC1上的點(diǎn)，且C1N=14C1