第八章-無窮級數(shù)課件

第八章無窮級數(shù)

1第八章1

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據是：當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜2公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家齊諾(Zeno第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質

無窮級數(shù)是高等數(shù)學的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質以及進行數(shù)值計算的一種工具.

一、級數(shù)的基本概念

計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積3第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質無窮級數(shù)是高等數(shù)學1、級數(shù)的定義:—(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和41、級數(shù)的定義:—(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的2、級數(shù)的收斂與發(fā)散:52、級數(shù)的收斂與發(fā)散:5解收斂發(fā)散例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

的收斂性.

6解收斂發(fā)散例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.6

發(fā)散發(fā)散綜上所述,7發(fā)散發(fā)散綜上所述,7

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據是：當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜8公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家齊諾(Zeno如果我們從級數(shù)的角度來分析這個問題,齊諾的這個悖論就會不攻自破.

9如果我們從級數(shù)的角度來分析這個問題,齊諾的這個悖論就1010解例2討論無窮級數(shù)

的收斂性.

11解例2討論無窮級數(shù)的收斂性.11解例3所以級數(shù)發(fā)散.

12解例3所以級數(shù)發(fā)散.12級數(shù)收斂的必要條件證明定理13級數(shù)收斂的必要條件證明定理13說明：1、如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；

級數(shù)發(fā)散；

級數(shù)發(fā)散。14說明：1、如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；級數(shù)發(fā)散；2、必要條件不充分：再舉一個重要例子：

但級數(shù)發(fā)散。

調和級數(shù)

152、必要條件不充分：再舉一個重要例子：但級數(shù)發(fā)散。調和級討論于是矛盾，調和級數(shù)

16討論于是矛盾，調和級數(shù)16二、收斂級數(shù)的基本性質也收斂,且有由級數(shù)收斂的定義，以及極限的性質，不難證明。思考：可逆嗎？性質1性質217二、收斂級數(shù)的基本性質也收斂,且有由級數(shù)收斂的定義，以及極限說明：證矛盾.18說明：證矛盾.18去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項,不會影響它的斂散性(但收斂級數(shù)的和可能要改變).

性質3性質4收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.證因為部分和數(shù)列只相差一個常數(shù)。例如，19去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項,不會影響它的斂散性(但收斂級性質4收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.推論如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.

例如例如，則級數(shù)

且和不變.20性質4收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級例4判斷下列級數(shù)的斂散性：

因為都收斂，故原級數(shù)收斂，解且和為21例4判斷下列級數(shù)的斂散性：因為都收斂，故原級數(shù)收斂，解且和例4判斷下列級數(shù)的斂散性：

收斂；發(fā)散。22例4判斷下列級數(shù)的斂散性：收斂；發(fā)散。22練習：P126習題8.1(A)3.4.(2)(4)(6)(8)23練習：P126習題8.1(A)23第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法

1、定義：這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2、正項級數(shù)收斂的充要條件：定理一、正項級數(shù)的收斂問題24第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法1、定義：這種級數(shù)稱為正項級證明比較審斂法定理(1)25證明比較審斂法定理(1)25(2)是(1)的等價命題.

注：定理的條件可放寬為：

證明比較審斂法定理26(2)是(1)的等價命題.注：定理的條件可放寬為：證明比解例1所以原級數(shù)收斂.

27解例1所以原級數(shù)收斂.27解例228解例228所以于是29所以于是29重要參考級數(shù)：幾何級數(shù),p-級數(shù),調和級數(shù).比較：30重要參考級數(shù)：幾何級數(shù),p-級數(shù),調和級數(shù).比較：30解例3例4解所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)收斂。31解例3例4解所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)收斂。31,設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù)如果,當時;則(1)兩級數(shù)有相同的斂散性(3)當時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當時，若收斂,則收斂;比較判別法的極限形式：32,設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù)如果,當時;則證明由比較判別法,可知兩級數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法,可知兩級數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得結論.

34證明由比較判別法可知,(注意：不可逆)；由(2)即得結論例5例6例7例8所以原級數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35例5例6例7例8所以原級數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35常用等價無窮?。?6常用等價無窮?。?6例9解例10收斂。解37例9解例10收斂。解37例1138例1138例12解39例12解39證例13由基本不等式40證例13由基本不等式40比值判別法(達朗貝爾D’Alembert判別法)

證略.41比值判別法(達朗貝爾D’Alembert判別法)證例14例15收斂.解收斂.解42例14例15收斂.解收斂.解42例16解所以用比值法無法判斷.用比較法,收斂.43例16解所以用比值法無法判斷.用比較法,收斂.43解例17收斂.44解例17收斂.44例18解45例18解45根值判別法(柯西Cauchy判別法)：

證略.46根值判別法(柯西Cauchy判別法)：證略.46例19解所以級數(shù)收斂.

例20解所以級數(shù)收斂.

47例19解所以級數(shù)收斂.例20解所以級數(shù)收斂.47例21收斂.解48例21收斂.解48練習：P137習題8.22.(1)(3)(4)(5)(7)(8)3.(2)(4)(5)49練習：P137習題8.249二、交錯級數(shù)及其審斂法定義：正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯級數(shù)滿足條件稱萊布尼茨型級數(shù)

50二、交錯級數(shù)及其審斂法定義：正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).證另一方面,

51證另一方面,51定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯級數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯級數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件.

52定理(萊布尼茨判別法)如果交錯級數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲例22解這是交錯級數(shù),

由萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂。一般地，稱為交錯

p—級數(shù).所以級數(shù)收斂。53例22解這是交錯級數(shù),由萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂。一般地，解所以級數(shù)收斂.例2354解所以級數(shù)收斂.例2354三、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂定義：正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).55三、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂定義：正項和負項任意出現(xiàn)的證明定理：由正項級數(shù)的比較判別法可知,

56證明定理：由正項級數(shù)的比較判別法可知,56上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)說明：這是因為它們的依據是

如上例；

57上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)說明：這是因為它們的依據是例24例25的絕對收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級數(shù)絕對收斂.

判定的絕對收斂,條件收斂或發(fā)散性.解絕對收斂.

58例24例25的絕對收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級數(shù)絕例26解59例26解59例27解即原級數(shù)非絕對收斂;60例27解即原級數(shù)非絕對收斂;60由萊布尼茨定理,此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．61由萊布尼茨定理,此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．61例28解所以級數(shù)發(fā)散；故原級數(shù)絕對收斂；62例28解所以級數(shù)發(fā)散；故原級數(shù)絕對收斂；62小結正

項

級

數(shù)任

意

項

級

數(shù)判別法4.充要條件5.比較法6.比值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質;1.2.7.根值法63小結正項級數(shù)任意項級數(shù)判4.充要條件5.比較法練習：P137習題8.24.(2)(3)(4)5.(2)(3)

8.9*.10*.12*.64練習：P137習題8.264第四節(jié)冪級數(shù)

1、定義：一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念65第四節(jié)冪級數(shù)1、定義：一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念652、收斂點與收斂域：3、和函數(shù)：662、收斂點與收斂域：3、和函數(shù)：66解由達朗貝爾判別法，原級數(shù)絕對收斂.例167解由達朗貝爾判別法，原級數(shù)絕對收斂.例167原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例168原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例168二、冪級數(shù)及其收斂性1、冪級數(shù)的定義級數(shù)稱為關于x的冪級數(shù)。69二、冪級數(shù)及其收斂性1、冪級數(shù)的定義級數(shù)稱為關于x的冪級數(shù)。2、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域702、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域70證O定理(阿貝爾Abel定理)

71證O定理(阿貝爾Abel定理)71由正項級數(shù)的比較判別法知,

證72由正項級數(shù)的比較判別法知,證72由(1)結論,幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設矛盾.73由(1)結論,幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設矛盾.此時正數(shù)

R

稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?74此時正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收定理簡單地講，就是75定理簡單地講，就是75證76證76證畢.77證畢.77求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1解發(fā)散；收斂。78求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.例1解發(fā)散；收斂。78一般，求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例179一般，求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.例179例2解例3解80例2解例3解80例4解收斂半徑為

收斂；發(fā)散.81例4解收斂半徑為收斂；發(fā)散.81發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].例5解82發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].例5解82缺少偶次冪的項級數(shù)收斂；例6解直接應用達朗貝爾判別法，83缺少偶次冪的項級數(shù)收斂；例6解直接應用達朗貝爾判別法，83級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)的收斂域為級數(shù)收斂；級數(shù)發(fā)散；84級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)的收斂域為級數(shù)收斂；級數(shù)發(fā)散；84練習：P154習題8.41.(1)(2)(4)(6)(8)

5.

85練習：P154習題8.4853、冪級數(shù)和函數(shù)的性質且收斂半徑仍為R.

863、冪級數(shù)和函數(shù)的性質且收斂半徑仍為R.86且收斂半徑仍為R.

(2)逐項積分或求導后,端點處的收斂性可能發(fā)生如下變化：逐項積分后，原來發(fā)散的端點可能變收斂；逐項求導后，原來收斂的端點可能變發(fā)散。87且收斂半徑仍為R.(2)逐項積分或求導后,端點處的收斂性例1逐項求導,

再逐項求導,

88例1逐項求導,再逐項求導,88例1逐項積分,

89例1逐項積分,89換元，再逐項積分，例190換元，再逐項積分，例190例2解91例2解911、解逐項求導,

所以例3求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：921、解逐項求導,所以例3求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：2、解收斂半徑932、解收斂半徑933、解943、解944、解所以從而954、解所以從而954、解964、解965、解975、解97解6、98解6、98例4解所以由例3.4知，99例4解所以由例3.4知，99例5解積分得所以？100例5解積分得所以？100練習：P155習題8.42.(2)(4)(6) 9*.11*.(2)(4)101練習：P155習題8.4101三、函數(shù)的冪級數(shù)展開上節(jié)例題問題:2.如果能展開,是什么?3.展開式是否唯一?1.f(x)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?與求和函數(shù)的相反問題：求冪級數(shù),在其收斂域內以f(x)為和函數(shù)—函數(shù)的冪級數(shù)展開。102三、函數(shù)的冪級數(shù)展開上節(jié)例題問題:2.如果能展開,1、泰勒

Taylor

公式1031、泰勒Taylor公式103上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式。104上述公式稱為n階麥克勞林(Maclaurin)公式。1042、泰勒級數(shù)上式兩端逐項求導，得1052、泰勒級數(shù)上式兩端逐項求導，得105且展開式是唯一的.

106且展開式是唯一的.106定義的泰勒級數(shù)。

的麥克勞林級數(shù)。107定義的泰勒級數(shù)。的麥克勞林級數(shù)。107證由泰勒公式直接獲證。108證由泰勒公式直接獲證。1083、函數(shù)展開成冪級數(shù)(1)直接法(泰勒級數(shù)法)步驟：先討論展開成麥克勞林級數(shù).

2、寫出冪級數(shù)，并求其收斂域

D.

如果是,則

f(x)在

D上可展開成麥克勞林級數(shù)

1093、函數(shù)展開成冪級數(shù)(1)直接法(泰勒級數(shù)法)步驟：先討論展例1解110例1解110111111112112例2解113例2解113114114例3收斂域為：(

α

不為正整數(shù))特別，115例3收斂域為：(α不為正整數(shù))特別，115

根據展開式的唯一性,利用已知展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.兩邊求導,得(2)間接法例4116根據展開式的唯一性,利用已知展開式,通過變量代例5解117例5解117例6解118例6解118例7解所以

119例7解所以119所以例8解法1注意120所以例8解法1注意120解法2例8121解法2例8121常用的函數(shù)冪級數(shù)展開式122常用的函數(shù)冪級數(shù)展開式122(α不為正整數(shù))123(α不為正整數(shù))123例9解124例9解124例10解125例10解125例11解由冪級數(shù)展開式的唯一性，

因此，126例11解由冪級數(shù)展開式的唯一性，因此，126以上討論的均為麥克勞林級數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級數(shù)：其收斂域為D，

一般利用麥克勞林級數(shù)間接展開。127以上討論的均為麥克勞林級數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級例12解128例12解128例13解而129例13解而129解例13130解例13130例14解131例14解131例15