2022-2023學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】將5封信投入3個(gè)郵筒，每封信有3種選擇，故共有種不同的投法.故選：B.2．已知隨機(jī)變量的分布列，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量及其分布列的性質(zhì)，計(jì)算即可.【詳解】解：，，，，，，故選：A.3．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式以及切線的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率等于3，所以直線的斜率等于，即，解得，故選:D.4．?dāng)?shù)軸上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為，共移動(dòng)6次，則質(zhì)點(diǎn)位于2的位置的概率是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)向左移動(dòng)次數(shù)為，分析出其服從二項(xiàng)分布，再計(jì)算即可.【詳解】此實(shí)驗(yàn)滿足6重伯努利實(shí)驗(yàn)，設(shè)向左移動(dòng)次數(shù)為，則，根據(jù)從0移動(dòng)到2，且移動(dòng)6次，則需向右移動(dòng)4次，向左移動(dòng)2次，則，故選：C.5．某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【答案】A【分析】將兩個(gè)1捆綁在一起，可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種，計(jì)算即可.【詳解】將兩個(gè)1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.故選：A6．云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來(lái)，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼x12345云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬(wàn)元7.4112036.666.722.433.64由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2025年的預(yù)測(cè)值，代入即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即?jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)時(shí)，，所以，即2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為，故選：B7．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A．60 B． C．30 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用多項(xiàng)式乘法結(jié)合組合應(yīng)用問(wèn)題，列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋谑窃?個(gè)多項(xiàng)式中，取2個(gè)用，再?gòu)挠嘞?個(gè)多項(xiàng)式中取2個(gè)用，最后1個(gè)多項(xiàng)式用常數(shù)項(xiàng)相乘，因此含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為60.故選：A8．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入元與年產(chǎn)量的關(guān)系是，則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是（

）A．150 B．200C．250 D．300【答案】D【分析】利用分段函數(shù)模型表示出總利潤(rùn)元與年產(chǎn)量的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求解總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量的值即可.【詳解】解：設(shè)總利潤(rùn)為元，則，則令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)有極大值，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)，綜上，當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值.故選：D.二、多選題9．在的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為256C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．展開(kāi)式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為4【答案】AB【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)計(jì)算逐一分析判斷即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，A選項(xiàng)正確；令，得，B選項(xiàng)正確；時(shí)，的展開(kāi)式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則，，，為負(fù)數(shù)，，，，，為正數(shù)，故展開(kāi)式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為，令，得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10．給出以下四個(gè)說(shuō)法，正確的有（

）A．如果由一組樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，那么經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)中的一個(gè)B．在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好C．在回歸分析中，用決定系數(shù)來(lái)比較兩個(gè)模型擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好D．設(shè)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)為，則的充要條件是成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上【答案】BCD【分析】利用回歸分析的相關(guān)定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，非樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)樵跉埐畹纳Ⅻc(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，表明數(shù)據(jù)越集中，模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)闆Q定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，數(shù)據(jù)就越集中，即模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)閮蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)為的絕對(duì)值越大，數(shù)據(jù)就越集中在回歸方程附近，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)就在直線上了，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11．為了考察某種疫苗的預(yù)防效果，先選取某種動(dòng)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)時(shí)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗注射疫苗40總計(jì)701000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，若該動(dòng)物“注射疫苗”的概率為0.5，則下列判斷正確的是（

）A．未注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為30只B．從該實(shí)驗(yàn)注射疫苗的動(dòng)物中任取一只，發(fā)病的概率為C．在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為未發(fā)病與注射疫苗有關(guān)D．注射疫苗可使實(shí)驗(yàn)動(dòng)物的發(fā)病率下降約【答案】BC【分析】先根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，然后利用獨(dú)立性檢驗(yàn)原理逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)閺膶?shí)驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，該動(dòng)物“注射疫苗”的概率為0.5，所以注射疫苗動(dòng)物共有只，則未注射疫苗的動(dòng)物有50只，所以列聯(lián)表如下未發(fā)病發(fā)病總計(jì)未注射疫苗302050注射疫苗401050總計(jì)7030100對(duì)于A，由上表可知未注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為20只，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，從該實(shí)驗(yàn)注射疫苗的動(dòng)物中任取一只，發(fā)病的概率為，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為未發(fā)病與注射疫苗有關(guān)，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)槲醋⑸湟呙绲膭?dòng)物發(fā)病率為，注射疫苗的動(dòng)物的發(fā)病率為，所以注射疫苗可使實(shí)驗(yàn)動(dòng)物的發(fā)病率下降約為，所以D錯(cuò)誤，故選：BC12．已知，若關(guān)于的方程恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，作出的圖像.令，把題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程在內(nèi)有2個(gè)不等實(shí)根.分離參數(shù)后，令，利用圖像法求解.【詳解】記，則所以在單調(diào)增，在單調(diào)減所以的大致圖像如下所示：令，所以關(guān)于的方程有6個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于關(guān)于方程在內(nèi)有2個(gè)不等實(shí)根.即與在內(nèi)有2個(gè)不同交點(diǎn)又的大致圖像如下所示：又，所以.對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，AB符合題意.故選：AB三、填空題13．某班將5名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參加勞動(dòng)鍛煉，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué)，則甲社區(qū)恰好分配2名同學(xué)共有種不同的方法．【答案】【分析】由題意，根據(jù)分組分配的做題原理，可得答案.【詳解】由題意，分2步分析：①先5人中選出2人，安排到甲社區(qū)，有種方法，②將剩下3人分成2組，安排到乙、丙社區(qū)，有種方法，則有種安排方式.故答案為：.14．某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，記為遇到紅燈的次數(shù)，若，則Y的方差．【答案】【分析】依題意，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】解：同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的．記為遇到紅燈的次數(shù)，則，，，．故答案為：．15．某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有．（若，）【答案】1359株【分析】由正態(tài)分布及其對(duì)稱性求得，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得故株高在的約有株.故答案為：1359株.16．在臨床上，經(jīng)常用某種試驗(yàn)來(lái)診斷試驗(yàn)者是否患有某種癌癥，設(shè)“試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性”，“試驗(yàn)者患有此癌癥”，據(jù)臨床統(tǒng)計(jì)顯示，．已知某地人群中患有此種癌癥的概率為，現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽在了1人，其試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性，則此人患有此種癌癥的概率為．【答案】【分析】根據(jù)已知得出，與，再由條件概率公式與全概率公式計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，，，故答案為：.四、解答題17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．(1)求角B的大?。?2)若．且，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和兩角差的余弦公式，化簡(jiǎn)已知等式，求得，可求角B的大??；（2）由已知條件利用余弦定理求得，根據(jù)三角形面積公式求△ABC的面積.【詳解】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，由，有可得又因?yàn)椋?（2）．且，，由余弦定理：，有，解得，∴.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合即可求解的通項(xiàng)，進(jìn)而可得的通項(xiàng)；（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和可得，再證明不等式.【詳解】（1）由是公差為1的等差數(shù)列，可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2），所以所以.當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)取到最小值.所以.故得證.19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且平面.(1)求的值；(2)若平面，，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，求出，利用線面平行的性質(zhì)可得出，由此可得出的值；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由可得出，求出的值，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）解：連接與交于點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸橇庑?，是的中點(diǎn)，所以，且，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所?（2）解：因?yàn)榈酌媸橇庑危堑闹悬c(diǎn)，，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，所以，，所以.因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，.設(shè)，，則，所以.因?yàn)?，所以，解?所以，，.設(shè)為平面的法向量，則，得，取，所以為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值是.20．血液檢測(cè)是診斷是否患某疾病的重要依據(jù)，通過(guò)提取病人的血液樣本進(jìn)行檢測(cè)，樣本的某一指標(biāo)會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性或陰性.若樣本指標(biāo)呈陽(yáng)性，說(shuō)明該樣本攜帶病毒；若樣本指標(biāo)呈陰性，說(shuō)明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)疑似病例的樣本呈陽(yáng)性（即樣本攜帶病毒）的概率均為.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其進(jìn)行血液樣本檢測(cè).多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽(yáng)性.若混合樣本呈陽(yáng)性，則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則該組各個(gè)樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組化驗(yàn).在該疾病爆發(fā)初期，由于檢測(cè)能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若，求這4例疑似病例中呈陽(yáng)性的病例個(gè)數(shù)X的分布列；(2)若將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且方案二比方案一更“優(yōu)”，求p的取值范圍，【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意知，，利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求解；（2）方案一中，期望為4；方案二中，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y的所以可能取值為2，4，6，計(jì)算出Y的取值對(duì)應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出，從而即可求解.【詳解】（1）解：由題意知，，則；；；；.則這4例疑似病例中呈陽(yáng)性的病例個(gè)數(shù)X的分布列為：X01234P（2）解：方案一中，逐個(gè)化驗(yàn)，化驗(yàn)次數(shù)為4，期望為4；方案二中，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y的所以可能取值為2，4，6，每組兩個(gè)樣本化驗(yàn)呈陰性的概率為，設(shè)，則；；.所以，若方案二比方案一更“優(yōu)”，則，解得，即，解得.所以當(dāng)時(shí)，方案二比方案一更“優(yōu)”.21．橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作斜率分別為，的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)，，且，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)和求解；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由求解；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由，利用韋達(dá)定理，求得k，t的關(guān)系，代入求解.【詳解】（1）由題意得，①又，得，②由①②得，．又，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，則，，所以，解得．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得．設(shè)，，則，，則，即，依題可知，所以，代入直線方程，得，即，聯(lián)立方程組，綜上所述可知直線恒過(guò)定點(diǎn)．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)找最值的方法解決恒成立問(wèn)題，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，令得，所以函數(shù)在上