數(shù)學(xué)分析PPT課件第四版華東師大研制-第11章-反常積分

§1

反常積分概念一、反常積分的背景

反常積分討論的是無窮區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分，是定積分概念的推廣.二、兩類反常積分的定義返回一、反常積分的背景

在討論定積分時有兩個最基本的條件：積分區(qū)間但以下例子告訴我們有時我們需要考慮無窮區(qū)間例1(第二宇宙速度問題）在地球表面垂直發(fā)射火的有窮性;被積函數(shù)的有界性.上的“積分”或無界函數(shù)的“積分”.箭,要使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球,試問初速度v0

至少要多大？解設(shè)地球半徑為

R,火箭質(zhì)量為

m,地面上的重處火箭所受的引力為于是火箭從地面上升到距地心為處需作功力加速度為g,按萬有引力定理,在距地心

時,其極限mgR就是火箭無限遠(yuǎn)離地由機(jī)械能守恒定律可求初速度至少應(yīng)使球需作的功．于是自然把這一極限寫作上限為例2

圓柱形桶的內(nèi)壁高為h,內(nèi)半徑為

R,桶底有在時間dt內(nèi),桶中液面降低的微小量為dx,它們解

桶內(nèi)水位高度為

時,流出水的速度為一半徑為r的小孔．試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水,共需多少時間？因此之間應(yīng)滿足于是流完一桶水所需時間為但由于被積函數(shù)是上的無界函數(shù),所以它的確切含義為二、兩類反常積分的定義區(qū)間

[a,u]

上可積.若存在極限則稱此極限

J為函數(shù)f在上的無窮限反定義1設(shè)函數(shù)

f定義在

[

a,+)上,且在任何有限常積分(簡稱無窮積分),記作類似定義域內(nèi)無界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間

[u,b]上有界且可積.如果存在極限定義2設(shè)函數(shù)

f定義在

(a,b]上,在a的任意右鄰則稱此極限為無界函數(shù)f在(a,b]上的反常積分,類似定義瑕點(diǎn)為b時的瑕積分通常稱a為f的瑕點(diǎn).記作其中f在[a,b)有定義,在b的任一左鄰域內(nèi)無界,若f的瑕點(diǎn)

,定義在任何上可積.例1討論無窮積分解無窮積分的牛頓－萊布尼若f(x)的原函數(shù)為F(x),解例2討論無窮積分因此茨公式寫作例3

討論瑕積分的收斂性.解同樣,若f(x)的原函數(shù)為F(x),瑕積分的牛頓-萊例4

計(jì)算瑕積分解的瑕點(diǎn)為

0.因此,布尼茨公式寫作是否必有上非負(fù)連續(xù),是否可推得收斂?上定義,且復(fù)習(xí)思考題上非負(fù)連續(xù),且

收斂,§2

無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)

本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法返回收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質(zhì)證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無窮積分定理11.1性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.性質(zhì)2h(x)在任意[a,u]上可積,且證因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1,f(x),g(x),若再由柯西準(zhǔn)則的充分性,二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負(fù)函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:證設(shè)非負(fù)函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞存在滿足證

由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結(jié)論是第一個結(jié)論的逆否命題,因此也成立.例2判別的收斂性.解顯然設(shè)f(x),g(x)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).證例3推論1設(shè)非負(fù)函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且證由于證

即推論2設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫出它的證明.例4

討論的收斂性(k>0).解(i)若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何有限區(qū)間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性,又對任意證由柯西準(zhǔn)則的必要性,對因收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于一般函數(shù)的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.使得因此,由柯西準(zhǔn)則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的使得由柯西準(zhǔn)則,[證法2]由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂的；類似可證:復(fù)習(xí)思考題反之呢?瑕積分的性質(zhì)與收斂判別,與無窮積§3

瑕積分的性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論,并舉分的性質(zhì)與收斂判別相類似.因此本節(jié)

返回例加以應(yīng)用,而不再進(jìn)行重復(fù)論證.定理11.7

（瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）證柯西準(zhǔn)則，此等價于性質(zhì)1性質(zhì)2

性質(zhì)3定理11.8

(非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法)定理11.9

(比較法則)推論1推論2推論3可以判別一些非負(fù)