6.2.4 平面向量的數(shù)量積-(必修第二冊(cè))(教師版)

平面向量的數(shù)量積1概念如果兩個(gè)非零向量

a,b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量a|b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作:aPS數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量.2投影向量b在向量a上的投影：|b|cosθ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于3運(yùn)算法則對(duì)于向量

a,b,(1)a?b=b但是

(a(當(dāng)向量a，c不共線時(shí)，向量a(b?即向量的數(shù)量積滿足交換律，分配率，但不滿足結(jié)合律.【題型一】求數(shù)量積【典題1】已知向量a，b滿足|a+b|=|b|，且|【解析】因?yàn)閨a+b所以a2+2a?b【點(diǎn)撥】①由數(shù)量積的定義可知a2②題目中遇到類似|a+b|可嘗試?yán)眯再|(zhì)【典題2】在三角形ABC中，若|AB+BC|=|AB?BC|，【解析】若|AB則AB2+BC∵AC=6,AB=3，∵E,F為BC邊的三等分點(diǎn)，則(利用首尾相接法把向量向AB、BC靠攏)=2【點(diǎn)撥】①已知條件|AB+BC|=|AB②求數(shù)量積AE?AF,第一個(gè)想法用數(shù)量積公式AE?AF=AE?AFcos∠EAF,③在求數(shù)量積的時(shí)候，直接用公式很難求解，都盡量向“信息量大”的向量靠攏.【題型二】求向量夾角【典題1】已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=【解析】∵|a∴(a∴a∴cos<a,b∴a與b的夾角為π【典題2】已知向量a，b滿足|a→|=1，(a?b)⊥(3a【解析】∵|a∴(a∴a∴cos<a,b∴cos<a,b>=3【題型三】求數(shù)量積最值【典題1】如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=3，E是DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則EF【解析】由等腰梯形的知識(shí)可知cosB=3設(shè)BF=x，則CF=3∴EF=1?x(?∵0≤x≤3∴當(dāng)x=233時(shí)，EF【典題2】如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2,AD=1．點(diǎn)P,Q分別在邊BC,CD上，且∠PAQ=45°，則AP?AQ的最小值為【解析】設(shè)∠PAB=θ，則∠DAQ=45°?θ，AP?=2當(dāng)且僅當(dāng)2θ+45°=90°，∴θ=22.5°時(shí)取“=”，當(dāng)θ=22.5°時(shí)，點(diǎn)P恰在邊BC上，Q恰邊CD上，滿足條件，綜上所述，AP?AQ的最小值為故答案為：42【典題3】已知向量a，b，c滿足a+b+c=0，|c|=23【解析】∵a又c與a?b所成的角為120°，(此時(shí)由平行四邊形法則和三角形法則構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形OADB)∴∠OEB=60°|c∴OD=2|ta∵BP與BA共線，BA≠0則|ta+(1－t)b|=|OP(其實(shí)由性質(zhì)“若OC=xOA+yOB,x+y所以當(dāng)OP垂直于AB時(shí)，|ta+(1?t)b【點(diǎn)撥】①題中遇到類似a+②本題中求|ta+(1?t)b|ta鞏固練習(xí)1(★)已知向量a，b→滿足|a+b|=|b|【答案】?2【解析】因?yàn)閨a→+b→|=|b→|，即有|a→+所以a→2+2a→?b→+b→2=b所以a→?2(★★)已知非零向量a，b滿足|a→|=34|b【答案】－【解析】∵已知非零向量a→，b→滿足|a→|=34|b→|若(ma→+4∴(ma→+4b→)?b→=ma→?b→+4b→2=求得m=－3(★★)已知向量a，b滿足|a|=1，(a?b)⊥【答案】30°【解析】∵|a∴(a∴a→∴cos＜a→∴cos＜a→，b4(★★)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2，AM=2MD，【答案】3【解析】∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM→∴AC→?BM→=(=23AD→∴23×32?12×42則AB→5(★★)已知△ABC中，點(diǎn)M在線段AB上，∠ACB=2∠BCM=60°，且CM?λCB=2【答案】27【解析】以CM為對(duì)角線作平行四邊形CPMQ，∵CM平分∠ACB，∴四邊形XPMQ是菱形，又CM=6，∠BCM=30°，∴CP=CQ=23，∴CP→?CQ→=2∵CM→?λCB→=23CA→，即CM→∴λ=1又CM→∴CA→=32CQ∴CM→?AB=3CP→2?32CQ6(★★★)設(shè)H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5【答案】?【解析】由三角形垂心性質(zhì)可得，HA→不妨設(shè)HA→?∵3HA→+4HB→∴3HA∴|HB→|=∴cos∠BHC=HB7(★★★)已知P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BP=2PC，|AP|=4，若點(diǎn)Q在線段AP上運(yùn)動(dòng)，則【答案】－12【解析】由題意，畫圖如下，根據(jù)題意及圖，可知BP→=QP∵BP→=2PC→，∴QP→整理，得QB→+2QC→則QA?(QB+2QC)=QA→?3QP→=－3|QA→|?|QP→|=－3|QA→|?(4－設(shè)|QA→|=m，很明顯m∈[0，4]故QA?(QB+2QC)=3(|QA→|2－4|QA→|)=3(m2－4m)=3(根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知：當(dāng)m=2時(shí)，QA?(QB+28(★★★)已知非零向量a,b,c滿足：(a?2c【答案】4【解析】∵(=1∴(a∴|a∴|a又|a∴λ≤4，∴λ的最大值為4．9(★★★)已知平面向量a，b，c，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有|a?xb|≥|a?b【答案】1【解析】如圖，設(shè)a→=MA→，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有|a→?xb→|≥|a→?b→|，|則B，C在以MA為直徑的圓上，過O作OD∥AC，交MC于E，交圓于D，b→=MB→在OD上的射影最長為b→?(c→?a→)設(shè)∠AMC=θ，則|AC|=2sinθ，|OE|=sinθ，|DE|=1－|OE|=1－sinθ，∴b→?(c→?a→)=2sinθ(1－sinθ)=則當(dāng)sinθ=12時(shí)，b→?(c→10(★★★)設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|bA．若θ確定，則|a|唯一確定 B