人教A-選修2-3課件3.2獨立性檢驗的思想及應用(一)1

3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）高二數(shù)學選修2-3

第三章統(tǒng)計案例9/4/2023鄭平正制作獨立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。在日常生活中，我們常常關心分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。9/4/2023鄭平正制作問題:數(shù)學家龐加萊每天都從一家面包店買一塊1000g的面包，并記錄下買回的面包的實際質量。一年后，這位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設“面包份量足”，則一年購買面包的質量數(shù)據(jù)的平均值應該不少于1000g；“這個平均值不大于950g”是一個與假設“面包份量足”矛盾的小概率事件；這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結果。9/4/2023鄭平正制作一:假設檢驗問題的原理假設檢驗問題由兩個互斥的假設構成，其中一個叫做原假設，用H0表示；另一個叫做備擇假設，用H1表示。例如，在前面的例子中，原假設為：H0：面包份量足，備擇假設為：H1：面包份量不足。這個假設檢驗問題可以表達為：

H0：面包份量足←→H1：面包份量不足9/4/2023鄭平正制作二:求解假設檢驗問題考慮假設檢驗問題：H0：面包分量足←→H1：面包分量不足在H0成立的條件下，構造與H0矛盾的小概率事件；如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。求解思路：9/4/2023鄭平正制作吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965為了調查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了9965人，得到如下結果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究9/4/2023鄭平正制作不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關：9/4/2023鄭平正制作不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例。9/4/2023鄭平正制作

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關”，為此先假設

H0：吸煙與患肺癌沒有關系.不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關系”等價于“吸煙與患肺癌獨立”，即假設H0等價于P(AB)=P(A)P(B).9/4/2023鄭平正制作因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強。不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應該有9/4/2023鄭平正制作

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分析，我們構造一個隨機變量-----卡方統(tǒng)計量（1）若H0成立，