二次函數(shù)測試題及答案

二次函數(shù)測試題及答案乙：頂點坐標(biāo)為(2,3)；丙：與x軸交點為(3,0)和(5,0)。其中，正確的是甲和乙說的，因為對稱軸為x=4時，頂點坐標(biāo)為(4,3)，與乙說的頂點坐標(biāo)(2,3)不符；丙說的與x軸交點也不正確，因為根據(jù)頂點坐標(biāo)和對稱性，x軸交點應(yīng)該為(4-√3,0)和(4+√3,0)。因此，正確的特點為對稱軸為x=4，頂點坐標(biāo)為(4,3)。乙：這個二次函數(shù)與x軸有兩個整數(shù)交點，與y軸有一個整數(shù)交點，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3。求這個二次函數(shù)的解析式。15.已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且與y軸正半軸相交。求一個滿足條件的二次函數(shù)的解析式：y=ax^2+bx+c。16.如圖，拋物線的對稱軸是x=1，與x軸交于A、B兩點，若B點坐標(biāo)是(3,0)，則A點的坐標(biāo)是(?1,0)。三、解答題：1.已知函數(shù)y=x^2+bx?1的圖象經(jīng)過點（3，2）。（1）解析式為y=x^2+bx-1。（2）當(dāng)x>0時，由y=x^2+bx-1可得x^2+bx-3≥0，解得x≥-3或x≤1。所以x∈(-∞,-3]∪[1,+∞)。2.如右圖，拋物線y=?x^2+5x+n經(jīng)過點A(1,4)，與y軸交于點B。（1）解析式為y=?x^2+5x+3。（2）設(shè)P的坐標(biāo)為(0,y)，則由△PAB為等腰三角形可得AP=AB=1，即P的坐標(biāo)為(0,4)。3.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關(guān)系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系）。（1）由已知圖象上的三點坐標(biāo)可得解析式為s=2t^2+2t-4。（2）解2t^2+2t-4=30，得t≈3.16，所以截止到第4個月累積利潤可達(dá)到30萬元。（3）將t=8代入s=2t^2+2t-4，得第8個月公司所獲利潤是116萬元。提高題1.如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時，水面CD的寬是10m。（1）解析式為y=-0.1x^2+2x。（2）當(dāng)水位上升到橋拱最高點O時，水位上升了3/2=1.5m，此時CD的寬為0，即貨車無法通過。若要使貨車安全通過此橋，需要速度超過每小時10km。因為當(dāng)水位上升到CD時，此時貨車已經(jīng)行駛了280/40=7小時，水位上升了7*0.25=1.75m，所以此時水位上升了3.25m，此時貨車的位置在拱橋的左側(cè)，需要在1小時內(nèi)通過拱橋，即需要速度超過每小時10km。b1，c22∵函數(shù)經(jīng)過點（2，1），代入得12abc，解得a1.∴函數(shù)關(guān)系式為st1t2.（2）將s代入題目中的公式得y27010x40t1t220t1t2.化簡得y10t2400t200x10800.∴y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式為y10t2400t200x10800.（3）當(dāng)月租金為430元時，未租出的設(shè)備數(shù)為40430270/1037，未租出的設(shè)備支出費用為20×37=740元.租賃公司的月收益為430×3774015310元.當(dāng)月租金為350元時，未租出的設(shè)備數(shù)為40，未租出的設(shè)備支出費用為20×40=800元.租賃公司的月收益為350×4080011600元.因為月租金越高，租出的設(shè)備數(shù)越少，所以當(dāng)月租金為430元時，應(yīng)該租出37套設(shè)備；當(dāng)月租金為350元時，應(yīng)該租出40套設(shè)備.（4）將二次函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，得y10t20220800200x.∴當(dāng)t20時，y取得最大值，最大月收益為20800200×20=16800元.（1）由題意得a+b+c=-1.5，4a+2b+c=-2，25a+5b+c=2.5。解得b=-2，c=0。代入第一個式子得a=-0.5。因此，方程的解為a=-0.5，b=-2，c=0。（2）將s=30代入s=t^2-2t，得到30=t^2-2t。解得t=7或t=8，但因為題目要求t>0，所以t=7。代入s=t^2-2t得到s=10.5。因此，截止到10月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元，第8個月獲利潤5.5萬元。（4）由于頂點在y軸上，所以設(shè)這部分拋物線的解析式為y=ax^2+9/10。因為點A或B在拋物線上，所以代入可得a=-18/22125。因此，所求函數(shù)的解析式為y=-18x^2/22125+9/10，其中-19.919≤x≤19.919。因為點D、E的縱坐標(biāo)為0，所以代入可得x=±2。因此，點D的坐標(biāo)為(-2,0)，點E的坐標(biāo)為(2,0)，DE=2。因此，盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為2752米，約等于385米。（5）解法一：過點P作直線MN∥AC，交x軸于點M，交y軸于N，連結(jié)PA、PC、MC、NA。因為MN∥AC，所以S△MAC=S△NAC=S△PAC=6。因為OA=1，OC=2，所以MC=2AM，NA=2CN。因此，AM=6，CN=12，M(5,0)，N(0,10)。因此，直線MN的解析式為y=-2x+10。因為P在拋物線上，所以PA=PC，且P在MN上。因此，可以列出方程y=x^2-2x+k，其中k為待定常數(shù)。代入P的坐標(biāo)(-1,5)可得k=4。因此，所求拋物線的解析式為y=x^2-2x+4。1.解：（1）因為拋物線$y=x^2-x-2$與$x$軸只有一個交點，所以方程$x^2-x-2=0$有兩個相等的實數(shù)根，即$b-4c=0$。又點$A$的坐標(biāo)為$(2,0)$，所以$4+2b+c=0$。由此可得$b=-4$，$a=4$。（2）由（1）得拋物線的解析式為$y=x^2-4x+4$。當(dāng)$x=3$時，$y=4$。所以點$B$的坐標(biāo)為$(3,4)$。在$\triangleOAB$中，$OA=2$，$OB=4$，得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{5}$。因此$\triangleOAB$的周長為$2+4+2\sqrt{5}$。2.解：（1）設(shè)$S=10\times(-1+x/10+1/(10+x))\times(4-3x)-x=-x^2+6x+7$。當(dāng)$x=-1/2$時，$S$最大。此時$S=16$。因此當(dāng)廣告費是$3$萬元時，公司獲得的最大年利潤是$16$萬元。（2）用于投資的資金是$16-3=13$萬元。經(jīng)分析，有兩種投資方式符合要求，一種是取$A$、$B$、$E$各一股，投入資金為$5+2+6=13$（萬元），收益為$0.55+0.4+0.9=1.85$（萬元）$>1.6$（萬元）；另一種是取$B$、$D$、$E$各一股，投入資金為$2+4+6=12$（萬元）$<13$（萬元），收益為$0.4+0.5+0.9=1.8$（萬元）$>1.6$（萬元）。3.解：（1）設(shè)拋物線的解析式為$y=ax^2$，橋拱最高點到水面$CD$的距離為$h$米，則$D(5,-h)$，$B(10,-h-3)$。由$\triangleAOB\sim\triangleCOD$，得$OA/OC=OB/OD$，即$2/(h+1)=4/(h+3)$，解得$h=1$。因此拋物線的解析式為$y=-x^2$。（2）水位由$CD$處漲到點$O$的時間為$1/0.25=4$（小時），水位由$O$處漲到橋拱最高點$A$的時間也為$4$（小時），水位由$A$處下降到$CD$處的時間為$1$（小時）。因此水位從$CD$處漲到橋拱最高點$A$的總時間為$4+4+1=9$（小時）。貨車無法安全通過橋梁，因為按原速度行駛的距離小于280，即40×1+40×4=200<280。假設(shè)貨車速度提高到x千米/時，當(dāng)4x+40×1=280時，解得x=60。因此，為了安全通過橋梁，貨車速度應(yīng)該超過60千米/時。設(shè)未出租設(shè)備的數(shù)量為y套，則所有未出租設(shè)備的支出為(2x-540)元，其中x為出租設(shè)備的數(shù)量。因此，未出租的設(shè)備數(shù)量為y=(40-x)/2套，支出為y×270元。將這些代入方程y=-(x-270)/10中，得到二次函數(shù)y=-x^2+65x+540。當(dāng)月租金為300元時，出租設(shè)備為37套，月收益為11040元；當(dāng)月租金為350元時，出租設(shè)備為32套，月收益為11040元。因為出租37套和32套設(shè)備獲得同樣的收益，可以選擇出租32套減少設(shè)備的磨損，或者出租37套擴(kuò)大市場占有率。將函數(shù)y=-x^2+65x+540化簡為y=-(x-325)^2+11102.5，可以得到最大值為11102.5，當(dāng)x=325時取得。但是，設(shè)備的數(shù)量必須是整數(shù)，因此出租設(shè)備應(yīng)該是34或35套。當(dāng)月租金為330元時，出租34套設(shè)備，月收益最大，為11100元；當(dāng)月租金為320元時，出租35套設(shè)備，月收益也是11100元。二、選擇題21.C22.A23.C24.D25.已知拋物線上兩點為(2,5)和(4,5)，則該拋物線的對稱軸方程為x=3。26.根據(jù)圖1，能正確反映函數(shù)y=ax+b的圖象的選項是(C)。27.二次函數(shù)y=2x-4x+5的最小值為1。28.該二次函數(shù)的解析式為y=-x^2+3x-2。29.當(dāng)函數(shù)值y>4時，自變量x的取值范圍為x<0或x>4。30.為獲得最大利潤，銷售商應(yīng)將該品牌電飯鍋定價為120元。31.當(dāng)函數(shù)y=ax-(a-3)x+1的圖象與x軸只有一個交點時，a=2且交點坐標(biāo)為(1,0)。32.拋物線y=x-2x-2的頂點為A(-1,-3)，與y軸的交點為B(0,-2)，過A、B兩點的直線的解析式為y=x-2。33.拋物線y=ax+2ax+a+2的一部分如圖3所示，該拋物線在y軸左側(cè)與x軸的交點坐標(biāo)為(-1,0)。34.(1)拋物線和直線l的解析式分別為y=-x^2+1和y=-x+3；(2)點Q的坐標(biāo)為(2,1)。注：圖1、圖3、圖4見原文。12.給定點(1,0)和斜率為-2的直線，求該直線與y=-2x+4所圍成的梯形的面積。首先求出直線與x軸的交點為(1/2,0)，則梯形的高為2。然后求出直線與y軸的交點為(0,4)，則梯形的上底為4。因此，梯形的面積為(2+4)*1/2=3。13.給定拋物線的頂點為(1,-3)，點B的坐標(biāo)為(0,-2)，直線AB的解析式為y=-x-2。首先求出拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)^2-3，代入點B可得a=-1。因此，拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為(-3,0)。因此，拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為(-3,0)。15.給定拋物線經(jīng)過點(1,0)，直線的解析式為y=ax+b，點Q的坐標(biāo)為(-2,5)。首先代入點(1,0)可得b=1。然后代入點Q可得a=-4/3。因此，拋物線的解析式為y=-4/3x^2+x+1。由于點Q在拋物線上，因此其縱坐標(biāo)為5=-4/3*(-2)^2+(-2)+1，解得點Q的橫坐標(biāo)為1。因此，點Q在直線y=-x+3上的坐標(biāo)為(1,2)。17.給定橢圓的中心為(0,0)，長軸為6，短軸為4。首先求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/9+y^2/4=1。然后代入點A可得y=2，代入橢圓方程可得x=3。因此，點A的坐標(biāo)為(3,2)。同理，代入點B可得y=-2，代入橢圓方程可得x=3。因此，點B的坐標(biāo)為(3,-2)。19.給定函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求S=∑(i=1到n-1)∫[i,i+1]f(x)dx。首先將f(x)分解為f(x)=x+1/(x-1)，然后對于每個區(qū)間[i,i+1]，將f(x)分為兩個部分，分別積分，得到S=∑(i=1到n-1)(1/2*(i+1)^2-1/2*i^2+ln(i)-ln(i+1))。將其化簡可得S=n^2/2-1/2+ln1/2+ln(n+1)。由于三角形△OAB的面積等于3，因此當(dāng)直線l平分△OAB的面積時，其所得到的面積為12/13。因此，我們可以得出m=3的結(jié)論。由此可知，存在一個點P，使得直線l平分△OAB的面積，并且該點的坐標(biāo)為(3,0)。改寫后：根據(jù)△OAB的面積為3，可以推出直線l平分該三角形的面積后所得到的面積為12/13，進(jìn)而得出m=3的結(jié)論。因此，存在一個點P，它的