重難點05解三角形（4種考法）（原卷版）

重難點05解三角形（4種考法）【課程安排細目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點清單三、題型方法一、一、真題搶先刷，考向提前知一．正弦定理（共3小題）1．（2022?上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，則△ABC的外接圓半徑為．2．（2021?上海）已知A、B、C為△ABC的三個內角，a、b、c是其三條邊，a＝2，cosC＝﹣．（1）若sinA＝2sinB，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．3．（2021?上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A＝，求S△ABC．（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC．二．余弦定理（共1小題）4．（2023?上海）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊a＝4，b＝5，c＝6，則sinA＝．三．三角形中的幾何計算（共2小題）5．（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點，曲線CD上任一點到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關于OM對稱，MO⊥AB；（1）若點P與點C重合，求∠POB的大??；（2）P在何位置，求五邊形MQABP面積S的最大值．6．（2023?上海）某公園欲建設一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成夾角為θ．行人每沿著斜坡向上走1m消耗的體力為（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則θ＝．四．解三角形（共1小題）7．（2023?上海）在△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，其中b＝2．（1）若A+C＝120°，a＝2c，求邊長c；（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面積．二、考點清單二、考點清單解三角形1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝三、三、題型方法一．正弦定理（共11小題）1．（2023?嘉定區(qū)校級三模）在△ABC中，已知bsin2A+asinB＝0，則角A的大小為．2．（2023?楊浦區(qū)二模）△ABC內角A、B、C的對邊是a、b、c，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠B＝．3．（2023?黃浦區(qū)模擬）在△ABC中，若，則B＝．4．（2023?寶山區(qū)二模）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin＝bsinA，則B＝．5．（2023?松江區(qū)模擬）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝5，b＝7，B＝60°，則△ABC的面積為．6．（2023?普陀區(qū)校級模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知∠A＝，b＝2c．（1）求tanB；（2）求sin（2C+）．7．（2023?浦東新區(qū)二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，若5acosA＝bcosC+ccosB，則sin2A＝．8．（2023?上海模擬）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2022，依次為邊BC上的點，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2021D2022＝D2022C，設∠BAD1＝α1、∠D1AD2＝α2、…、∠D2021AD2022＝α2022、∠D2022AC＝α2023，則的值為．9．（2023?青浦區(qū)校級模擬）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，則A＝．10．（2023?靜安區(qū)二模）已知△ABC中，sinA＝3sinCcosB，且AB＝2，則△ABC面積的最大值為．11．（2023?閔行區(qū)校級二模）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinB＝bsin（A﹣）．（1）求A；（2）D是線段BC上的點，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面積．二．余弦定理（共7小題）12．（2023?普陀區(qū)校級模擬）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則△ABC最大角的值是．13．（2023?奉賢區(qū)二模）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C等于．14．（2023?普陀區(qū)二模）設△ABC的三邊a，b，c滿足a：b：c＝7：5：3，且S△ABC＝15，則此三角形最長的邊長為．15．（2023?虹口區(qū)二模）在△ABC中，已知AB＝2，，∠ABC＝120°，則BC＝．16．（2023?浦東新區(qū)校級一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且4S＝（a+b）2﹣c2，則cosC＝．17．（2023?浦東新區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求f（B）的取值范圍．18．（2023?松江區(qū)校級模擬）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且2cosA＝a（﹣cosC），c＝2，D為AC上一點，AD：DC＝1：3，則△ABC面積最大時，BD＝．三．三角形中的幾何計算（共9小題）19．（2023?徐匯區(qū)校級三模）克羅狄斯?托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號．根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，則當線段OC的長取最大值時，∠AOC＝．20．（2023?浦東新區(qū)模擬）在△ABC中，AB＝2，D為AB的中點，若，則AC的長為．21．（2023?嘉定區(qū)模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，a2﹣ab+b2﹣c2＝0．（1）求C；（2）若，△ABC的面積是，求△ABC的周長．22．（2023?奉賢區(qū)校級三模）如圖：已知△ABC中，，邊長為1的正方形DEFG為△ABC的內接正方形，則AB+AC的最小值為．?23．（2023?徐匯區(qū)三模）如圖，△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．（1）若3a﹣c＝3bcosC，求角B的大?。唬?）已知b＝3、，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點，求△ADC周長的最大值．24．（2023?閔行區(qū)校級一模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，∠B的平分線交AC于D，若，則a+2c的最小值為．25．（2023?嘉定區(qū)校級三模）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角B；（2）若D是AC邊上的點，且AD＝3DC＝3，∠A＝∠ABD＝θ，求sinθ的值．26．（2023?奉賢區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最值；（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）＝2，b＝2，且，求△ABC的面積．27．（2023?黃浦區(qū)校級三模）在△ABC中，，，BC邊中線．（1）求A的值；（2）求△ABC的面積．四．解三角形（共10小題）28．（2023?浦東新區(qū)校級三模）已知向量＝（sinx，），＝（cosx，﹣1）．（1）當∥時，求cos2x﹣sin2x的值；（2）設函數(shù)f（x）＝2（）?，已知在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范圍．29．（2023?金山區(qū)二模）在△ABC中，角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，已知，C＝45°．（1）若，求c；（2）若B﹣A＝15°，求△ABC的面積．30．（2023?黃浦區(qū)二模）在△ABC中，．（1）求sinC的值；（2）若AB＝4，求△ABC的周長和面積．31．（2023?閔行區(qū)二模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知sinA＝sin2B，a＝4，b＝6．（1）求cosB的值；（2）求△ABC的面積．32．（2023?松江區(qū)二模）在銳角△ABC中，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的最大值．33．（2023?青浦區(qū)二模）如圖所示，要在兩山頂M、N間建一索道，需測量兩山頂M、N間的距離．已知兩山的海拔高度分別是米和米，現(xiàn)選擇海平面上一點A為觀測點，從A點測得M點的仰角∠MAC＝60°，N點的仰角∠NAB＝30°以及∠MAN＝45°，則MN等于米．34．（2023?黃浦區(qū)校級模擬）在△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若△ABC的面積，a+b＝6，，則c＝．35．（2023?徐匯區(qū)二模）已知向量，，函數(shù)．（1）設，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值．36．（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的最大值為f（A）．（1）求角A