《線性代數(shù)》全套教學(xué)課件

線性代數(shù)

1第1章行列式.pptx2第2章矩陣.pptx3第3章線性方程組.pptx4第4章矩陣的特征值與特征向量.pptx5第5章二次型.pptx全套可編輯PPT課件行列式第一章在經(jīng)濟(jì)生活、工程技術(shù)和科學(xué)管理活動(dòng)中，經(jīng)常遇到有關(guān)若干變量之間線性關(guān)系的問題，而這些問題往往都可以歸結(jié)為求解線性方程組．求解線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，行列式是解線性方程組的重要工具．本章將介紹狀階行列式的定義、性質(zhì)及其運(yùn)算，并介紹求解狀元線性方程組的克拉默（Ｃｒａｍｅｒ）法則．全套可編輯PPT課件第一章1.1二階與三階行列式一、二階行列式行列式的概念源于用消元法求解線性方程組．設(shè)二元線性方程組（１）其中是未知量，是未知量的系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．用加減消元法，在方程組（１）的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程的兩端分別乘與，然后兩式相減，消去未知量，得到用同樣的方法消去，得到全套可編輯PPT課件第一章1.1二階與三階行列式一、二階行列式稱為二階行列式．其由四個(gè)數(shù)，，，，排成兩行兩列，數(shù)稱為行列式的元素，簡稱為元。它的第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，表示元素位于行列式的第行；它的第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo)，表示元素位于行列式的第列.此二階行列式表示算式，即有二階行列式的定義本身也給出了它的計(jì)算方法：主對角線上的兩元素之積取正號，次對角線上的兩元素之積取負(fù)號.這種計(jì)算法稱為二階行列式的對角線法則.第一章1.1二階與三階行列式二、三階行列式與二階行列式類似，為了簡單地表達(dá)三元線性方程組的解，引入三階行列式.設(shè)有9個(gè)數(shù)排成三行三列的數(shù)表引入記號稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式，且有第一章1.1二階與三階行列式二、三階行列式由（６）式右端可見，三階行列式含６（３?。╉?xiàng)，每一項(xiàng)均為自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積，再冠以正負(fù)號，其計(jì)算規(guī)律仍遵循對角線法則（圖１-１）：即每條實(shí)線（共三條）所連接的三個(gè)元素的乘積前面加上正號，每條虛線（共三條）所連接的三個(gè)元素的乘積前面加上負(fù)號（對角線法則同樣適用于三階行列式）．第一章1.2

n階行列式一、排列與逆序定義１若在某個(gè)

階排列

中，有較大的數(shù)排在較小的數(shù)的前面，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序．一個(gè)

階排列中逆序的總數(shù)稱為它的逆序數(shù)，記作

．逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列．第一章1.2

n階行列式二、ｎ階行列式先來研究二階行列式、三階行列式的結(jié)構(gòu)：容易看出：（１）二階行列式表示的代數(shù)和的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的兩個(gè)數(shù)的乘積，每一項(xiàng)除符號外可以寫成

（這里行標(biāo)按自然序排列，列標(biāo)是一個(gè)二階排列）．（２）當(dāng)列標(biāo)

取遍所有的二階排列（12，21）時(shí)，就得到二階行列式的所有的項(xiàng)，共2!＝2項(xiàng)．（３）每一項(xiàng)的符號是：當(dāng)這一項(xiàng)的行標(biāo)按自然序排列時(shí)，如果對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則該項(xiàng)取正號，是奇排列則該項(xiàng)取負(fù)號．第一章1.2

n階行列式二、ｎ階行列式定義2設(shè)有

個(gè)數(shù)

排成

行（橫排為行）

列（縱排為列），組成的符號（1）稱為

階行列式．它表示一個(gè)算式，這個(gè)算式是所有可能取自不同行不同列的

個(gè)數(shù)的乘積的代數(shù)和．每一項(xiàng)的符號是由該項(xiàng)行標(biāo)排列和列標(biāo)排列逆序數(shù)之和的奇偶性所決定：當(dāng)其行標(biāo)按自然序排列（自然序排列的逆序數(shù)是０），那么該項(xiàng)的符號就由其相應(yīng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)決定．如果相應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號，是奇排列則取負(fù)號．第一章1.3

n階行列式的性質(zhì)一、對換定義

在

階排列中，將任意兩個(gè)元素對調(diào)，其余的元素不動(dòng)，稱為對排列的一次對換．將相鄰兩個(gè)元素對換稱為相鄰對換．例如五階排列25413中的5與3對換，得到新的五階排列23415．τ（25413）=6，25413為偶排列，而τ（23415）=3，23415為奇排列．顯然經(jīng)過一次對換就改變了排列的奇偶性．這一結(jié)論具有一般性．定理

一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，則排列的奇偶性改變．推論

將奇排列變成自然序排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，將偶排列變成自然序排列的對換次數(shù)為

偶數(shù)．第一章1.3

n階行列式的性質(zhì)二、ｎ階行列式的性質(zhì)記稱

為

的轉(zhuǎn)置行列式．性質(zhì)１行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即．性質(zhì)２互換行列式的任意兩行（列），行列式僅改變符號．推

論

行列式中兩行（列）對應(yīng)元素相同，那么這個(gè)行列式等于零．第一章1.3

n階行列式的性質(zhì)二、ｎ階行列式的性質(zhì)性質(zhì)３行列式中某一行（列）中所有元素都乘同一個(gè)數(shù)ｋ，等于用數(shù)犽乘此行列式．推論１行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論２行列式中某一行（列）的所有元素全為零，那么這個(gè)行列式等于零．性質(zhì)４行列式中有兩行（列）對應(yīng)元素成比例，那么這個(gè)行列式等于零．性質(zhì)５若行列式的某一行（列）的各元素是兩數(shù)之和，則可將行列式寫成兩個(gè)行列

式之和．性質(zhì)６把行列式的某一行（列）的各元素乘同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）對應(yīng)元素上

去，行列式的值不變．第一章1.４行列式按行（列）展開一、余子式和代數(shù)余子式定義在

階行列式中，把

元

所在的第

行第

列元素劃去后，留下的元素保持原來相對位置不變組成的

階行列式稱為元素

的余子式，記作

；記

，

稱為

元

的代數(shù)余子式．引理一個(gè)

階行列式，如果其中第

行所有元素中除

元

外，其余元素全為０，則該行列式等于

與其代數(shù)余子式的乘積，即

．第一章1.４行列式按行（列）展開二、行列式按行（或列）展開定理定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和．即或推論行列式中，任一行（列）的各元素與另一行（列）相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零．即第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開定理下面用

階行列式來求解含有

個(gè)未知量

個(gè)方程的線性方程組．設(shè)含有

個(gè)未知量

個(gè)方程的線性方程組（１）類似于二元、三元線性方程組，它的解可以用狀階行列式表示，即有克拉默法則，亦稱克萊姆法則．第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開定理在使用克拉默法則解線性方程組時(shí)，要注意有兩個(gè)條件必須滿足：（１）方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等；（２）系數(shù)行列式

．當(dāng)方程組（１）右端的常數(shù)項(xiàng)

全為零時(shí)，則（２）稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組．第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開定理

顯然是齊次線性方程組（２）的解，稱為齊次線性方程組（２）的零解．如果齊次線性方程組（２）除了零解外，還有不全為零的解，稱為齊次線性方程組（２）的非零解．根據(jù)克拉默法則，不難得到如下結(jié)論．推論１如果齊次線性方程組（２）的系數(shù)行列式

，則它只有唯一零解．由此可知，是齊次線性方程組（２）有非零解的必要條件，后面還可以證明這個(gè)條件也是充分的．于是有推論２齊次線性方程組（２）有非零解的充要條件為系數(shù)行列式

為零．THANKS演示完畢感謝觀看延時(shí)符線性代數(shù)

矩陣第二章矩陣是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，不僅僅可以解線性方程組，其理論與方法還貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)方面，且在數(shù)學(xué)的許多分支都有重要應(yīng)用．本章將介紹矩陣的概念及其運(yùn)算、逆矩陣、分塊矩陣、矩陣的初等變換及相應(yīng)的初等矩陣等有關(guān)理論．第二章２.1矩陣的概念一、引例引例某物流公司向三個(gè)超市配送四種商品，設(shè)

表示某物流公司向第

，個(gè)超市配送第

種商品的數(shù)量，發(fā)貨方案見表2-1．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念定義１由

個(gè)數(shù)

排成的

行

列的矩形數(shù)表，稱為

矩陣．矩陣通常用大寫黑體英文字母表示，記作（１）也簡記為

．其中

稱為矩陣的第

行第

列的元素，簡稱為矩陣

的

元．為標(biāo)明矩陣的行數(shù)

和列數(shù)

，矩陣

也記作或．如果矩陣

的元素是實(shí)數(shù)，則稱

是實(shí)矩陣；如果矩陣

的元素是復(fù)數(shù)，則稱

是復(fù)矩陣．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作

或

．如果矩陣

只有一行，即

，則稱為行矩陣，或稱行向量．同樣，如果矩陣只有一列，即，則稱為列矩陣，或稱列向量．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念若矩陣A、B，對應(yīng)的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱它們?yōu)橥途仃?。定義２若矩陣和矩陣為同型矩陣，且對應(yīng)的元素相等，即，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作．注意矩陣和行列式是不同的兩個(gè)概念，不要混淆了它們的實(shí)質(zhì)及表現(xiàn)形式．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡稱數(shù)乘）１．矩陣的加（減）法定義１設(shè)矩陣，，則由它們的對應(yīng)元素相加，所得到的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記作，即注意只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡稱數(shù)乘）１．矩陣的加（減）法定義２設(shè)矩陣，則定義矩陣犃的負(fù)矩陣為，即只需把矩陣犃的每個(gè)元素改變符號即可．于是矩陣的減法也可以看作矩陣加法的逆運(yùn)算．，即矩陣減矩陣可以看作矩陣加上矩陣的負(fù)矩陣．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡稱數(shù)乘）１．矩陣的加（減）法矩陣的加法運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律：設(shè)

，

，

都是同型矩陣，則有（１）交換律

；（２）結(jié)合律

；（３）

（其中

與

為同型矩陣）；（４）

．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡稱數(shù)乘）２．?dāng)?shù)與矩陣相乘定義３設(shè)

矩陣，以數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣，稱為數(shù)乘矩陣，記作，即第二章２.2矩陣的運(yùn)算二、矩陣的乘法定義４設(shè)矩陣，矩陣，定義與的乘積是一個(gè)矩陣，且的第行第列元素

．為了使讀者看得更加清楚，我們進(jìn)一步寫出乘積矩陣的表達(dá)式：第二章２.2矩陣的運(yùn)算二、矩陣的乘法這里強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（１）只有當(dāng)（左矩陣）的列數(shù)等于（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，與才能相乘．（２）乘積矩陣的第行第列元素等于將左矩陣的第行元素與右矩陣第列元素對應(yīng)相乘以后再求和．即（３）乘積矩陣是矩陣，行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)．第二章２.2矩陣的運(yùn)算三、矩陣的轉(zhuǎn)置定義５設(shè)是矩陣，將的行與列依次互換，得到矩陣，則稱此矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或，即設(shè)第二章２.2矩陣的運(yùn)算四、對稱矩陣與反對稱矩陣定義６若階方陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣相等，即，則稱為對稱矩陣．由定義可知，對于對稱矩陣有．反之亦然．若階方陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣互為負(fù)矩陣，即，則稱為反對稱矩陣．由定義可知，對于反對稱矩陣有．反之亦然．第二章２.2矩陣的運(yùn)算五、方陣的行列式定義７由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或．注意方陣與方陣的行列式是兩個(gè)不同的概念，前者是個(gè)數(shù)按一定次序排列的一張數(shù)表，而后者是個(gè)數(shù)按一定運(yùn)算法則確定的一個(gè)數(shù)值．設(shè)，為階方陣，為數(shù)，方陣的行列式滿足下列規(guī)律：（１）；（２）；（３）．第二章２.3逆矩陣一、逆矩陣的概念定義１設(shè)為階方陣，如果存在階方陣，使得，則稱方陣是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，也簡稱是的逆．如果矩陣是可逆的，那么的逆矩陣是唯一的．事實(shí)上，如若、都是的逆矩陣，則有．于是．由此說明的逆矩陣是唯一的．將可逆矩陣的逆矩陣記為．由定義可知，矩陣與其逆矩陣的地位是平等的，因此也可以稱為可逆矩陣，稱為的逆矩陣，即．第二章２.3逆矩陣二、用伴隨矩陣求逆矩陣第二章２.3逆矩陣三、可逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律從逆矩陣的定義，可以得出可逆矩陣具有下列運(yùn)算規(guī)律：（１）若矩陣可逆，則也可逆，且；（２）若矩陣可逆，數(shù)，則也可逆，且；（３）若階矩陣與都可逆，則可逆，且，一般地，若都可逆，則可逆，且；（４）若矩陣可逆，則也可逆，且；（５）若矩陣可逆，則．第二章２.4分塊矩陣一、分塊矩陣的概念對于行數(shù)和列數(shù)較大的矩陣，為了簡化矩陣的運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)常對矩陣作適當(dāng)?shù)姆謮K，使階數(shù)較高矩陣的運(yùn)算化為階數(shù)較低矩陣的運(yùn)算．所謂矩陣的分塊，即是用若干條縱線和橫線將矩陣分成許多小矩陣，每一小矩陣稱為矩陣的子塊，以子塊作為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．將矩陣化為分塊矩陣往往會使矩陣的結(jié)構(gòu)更加清晰，便于討論及運(yùn)算．第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算５．分塊對角矩陣設(shè)方陣的分塊矩陣其中主對角線上子塊都是方陣，其余子塊都是零矩陣，則稱為分塊對角矩陣．分塊對角矩陣的行列式具有以下性質(zhì)：．第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組已知線性方程組記其中稱為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱為未知數(shù)矩陣（或向量），稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣（或向量），稱為增廣矩陣．增廣矩陣按分塊矩陣的記法，可以寫為

第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組利用矩陣的乘法，此方程組可記為．（２）系數(shù)矩陣是矩陣，若按行分為塊，每一行稱為矩陣的行向量．若第行記作

，則矩陣可記為

則線性方程組可記為第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組克拉默法則設(shè)含有個(gè)未知量的個(gè)線性方程的方程組如果線性方程組（５）的系數(shù)行列式那么方程組（５）存在唯一解第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組其中是把系數(shù)行列式中第列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)列代替后所得到的階行列式，即第二章２.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換定義１設(shè)，則稱下面三種變換為矩陣的初等行變換：（i）對調(diào)變換：即對換兩行（對換，兩行，記作）；（ii）數(shù)乘變換：即以數(shù)（）乘某一行的所有元素（第行乘數(shù)，記作）；（iii）倍加變換：即把某一行所有元素的倍加到另一行對應(yīng)元素上（第行的倍加到第行上，記作）．第二章２.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換定義２如果矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣，就稱矩陣與行等價(jià)；如果矩陣經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣，就稱矩陣與列等價(jià)；如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價(jià)，記作．矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有以下性質(zhì)：（i）反身性；（ii）對稱性若，則；（iii）傳遞性若，則．用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣與行最簡形矩陣．第二章２.5矩陣的初等變換二、初等矩陣１．三種初等矩陣定義１對單位矩陣施以一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對應(yīng)有三種初等矩陣．（１）第一種初等矩陣（對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列）（２）第二種初等矩陣（以數(shù)乘某行或某列）（３）第三種初等矩陣（以數(shù)乘某行（或列）加到另一行（或列）上去）第二章２.5矩陣的初等變換二、初等矩陣２．初等矩陣有關(guān)定理及應(yīng)用定理１設(shè)是一個(gè)矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘相應(yīng)的階初等矩陣．定理２方陣可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣，使．推論１方陣可逆的充分必要條件是．推論２矩陣與等價(jià)的充分必要條件是存在犿階可逆矩陣及階可逆矩陣，使第二章２.6矩陣的秩一、矩陣秩的概念及有關(guān)定理定義１設(shè)是一個(gè)矩陣，在中任取行列，將位于這些行列交叉處的個(gè)元素，按照原來相對位置構(gòu)成的一個(gè)階行列式，稱為矩陣的階子式．矩陣的階子式共有個(gè)．定義２矩陣中不為０的子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩，記作，并規(guī)定零矩陣的秩為０．定理１若，則.推論設(shè)可逆矩陣，使，則．第二章２.6矩陣的秩二、用初等行變換求矩陣的秩根據(jù)上述定理，若求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩．THANKS演示完畢感謝觀看線性代數(shù)

線性方程組第三章工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中的許多理論問題、實(shí)際問題都可歸結(jié)為線性方程組的求解問題，線性方程組的理論和方法不僅是線性代數(shù)理論的重要組成部分，并且在其他領(lǐng)域也具有廣泛的應(yīng)有．本章將介紹一般的線性方程組的解法，討論線性方程組有解、無解的充分必要條件；還將介紹向量組的線性相關(guān)性的有關(guān)理論，并研究線性方程組解的結(jié)構(gòu)．第三章3.1解線性方程組的消元法一、高斯消元法設(shè)有個(gè)未知量，個(gè)方程的線性方程組其系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別是其矩陣方程為第三章3.1解線性方程組的消元法一、高斯消元法其中，未知矩陣（向量）與常數(shù)項(xiàng)矩陣（向量）分別為第三章3.1解線性方程組的消元法二、非齊次線性方程組的解的討論設(shè)有個(gè)未知量，個(gè)方程的線性方程組其系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別是第三章3.1解線性方程組的消元法二、非齊次線性方程組的解的討論定理１元線性方程組有解的充分必要條件是，且有：（１）當(dāng)時(shí)，線性方程組（１）有唯一解；（２）當(dāng)時(shí)，線性方程組（１）有無窮多組解；（３）當(dāng)時(shí)，線性方程組（１）無解．第三章3.1解線性方程組的消元法三、齊次線性方程組的解的討論設(shè)有個(gè)未知量個(gè)方程的齊次線性方程組其系數(shù)矩陣是其矩陣方程為定理２元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是．第三章3.1解線性方程組的消元法四、用初等行變換求解矩陣方程對于求解矩陣方程，有以下定理：定理３矩陣方程有解的充分必要條件是．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性一、向量組及其線性組合１．維向量定義１由個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量．其中第個(gè)數(shù)稱為這個(gè)維向量的第個(gè)分量．分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．定義２設(shè)數(shù)域上維向量的集合，如果非空，且定義在中的向量，的加法及數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果和仍是中向量，且滿足上面的(i)至(viii)條運(yùn)算法則（，，為中的向量，，），則稱是上的維向量空間．實(shí)數(shù)域上的維向量空間記作．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性一、向量組及其線性組合２．線性組合與線性表出定義３給定向量組，對于任何一組實(shí)數(shù)，則稱表達(dá)式為向量組的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定理１設(shè)向量則向量是向量組線性組合的充分必要條件是方程組（１）有解．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性一、向量組及其線性組合２．線性組合與線性表出推論向量是向量組線性組合的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩．定義４設(shè)有兩個(gè)向量組及，若組中的每個(gè)向量都可由向量組線性表出，則稱向量組能由向量組線性表出．若向量組與向量組能相互線性表出，則稱向量組與向量組等價(jià)．定理２設(shè)維向量組及維向量組，依次構(gòu)成矩陣組及，則向量組能由向量組線性表出的充分必要條件是第三章３.２向量組的線性相關(guān)性一、向量組及其線性組合２．線性組合與線性表出推論向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是．定理３設(shè)維向量組及維向量組，依次構(gòu)成矩陣及，若向量組能由向量組線性表出，則.第三章３.２向量組的線性相關(guān)性二、向量組的線性相關(guān)性１．線性相關(guān)與線性無關(guān)定義５給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)，使則稱向量組線性相關(guān)，否則稱向量組線性無關(guān)（或線性獨(dú)立）．換言之，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式才能成立，則稱向量組線性無關(guān)．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性二、向量組的線性相關(guān)性１．線性相關(guān)與線性無關(guān)當(dāng)時(shí)，即向量組只含有一個(gè)向量，顯然一個(gè)零向量線性相關(guān)，一個(gè)非零向量必線性無關(guān)．當(dāng)時(shí)，即向量組只含有兩個(gè)向量，，則至少有一個(gè)零向量的向量組，線性相關(guān)．一般情況下，向量組，線性相關(guān)的充分必要條件是，的對應(yīng)分量成比例，其幾何意義是兩向量共線．當(dāng)時(shí)，向量組，，線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面．當(dāng)時(shí)，讀者可自行證明：（１）含有零向量的向量組必線性相關(guān)；（２）若向量組的一個(gè)部分向量組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性二、向量組的線性相關(guān)性１．線性相關(guān)與線性無關(guān)定理４向量組線性相關(guān)的充分必要條件是以向量組為系數(shù)列向量的齊次線性方程組（1）有非零解，并且（1）的一個(gè)非零解（）就是一組不全為零的組合系數(shù)．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性二、向量組的線性相關(guān)性１．線性相關(guān)與線性無關(guān)推論１向量組線性相關(guān)的充分必要條件是：以向量組構(gòu)成的矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)；或向量組線性無關(guān)的充分必要條件是

.推論２個(gè)維向量組成的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是：向量組所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，即．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性二、向量組的線性相關(guān)性１．線性相關(guān)與線性無關(guān)推論３個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是：行列式或個(gè)維向量線性無關(guān)的充分必要條件是行列式第三章３.２向量組的線性相關(guān)性二、向量組的線性相關(guān)性２．向量間線性關(guān)系的性質(zhì)定理５向量組線性相關(guān)的充分必要條件是在該向量組中至少有一個(gè)向量能由其余向量線性表出．推論向量組線性無關(guān)的充分必要條件是該向量組中每一個(gè)向量都不能由其余向量線性表出．定理６若向量組線性無關(guān)，而向量組，線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表出，且表示法唯一．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性三、向量組的秩１．最大線性無關(guān)組定義６若向量組的部分向量組滿足條件：（i）線性無關(guān)；（ii）在部分向量組中再添加中任意的第個(gè)向量（如果中有個(gè)向量的話）都線性相關(guān)．則稱部分向量組是向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組．定理７向量組與它的最大無關(guān)組等價(jià)．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性三、向量組的秩２．向量組的秩定義７向量組的最大無關(guān)組中所含有向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩，記作．定理８矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．定義８矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩，記作．定理９設(shè)向量組能由向量組線性表出，則向量組的秩不大于向量組的秩．第三章３.２向量組的線性相關(guān)性三、向量組的秩２．向量組的秩推論１等價(jià)向量組的秩相等．推論２設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分向量組，且滿足（i）向量組線性無關(guān)；（ii）向量組的每一個(gè)向量都可由向量組線性表出．則向量組是向量組的最大無關(guān)組．第三章３.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)第三章３.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)容易證明齊次線性方程組的解具有以下性質(zhì)：性質(zhì)１若為（2）的解，則也是（2）的解．證由，可得．故也是（2）的解．性質(zhì)２若為（2）的解，為實(shí)數(shù)，則也是（2）的解．證由，可得．故也是（2）的解．第三章３.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理１設(shè)為矩陣，且，則元齊次線性方程組的解集的秩．前面已經(jīng)指出，當(dāng)時(shí)，方程組（1）只有零解，即解集中只含一個(gè)零向量，這時(shí)，解集沒有基礎(chǔ)解系．當(dāng)時(shí)，由定理1知，因此方程組（1）的任何個(gè)線性無關(guān)的解向量都可以組成的最大無關(guān)組，由此可知方程組（1）的基礎(chǔ)解系不是唯一的，進(jìn)而可知通解的表達(dá)形式也不是唯一的．第三章３.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)非齊次線性方程組（3）

記，則（3）式可寫為向量方程．（4）第三章３.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的解與其導(dǎo)出組的解有如下關(guān)系：性質(zhì)３設(shè)及是非齊次線性方程組（4）的任意兩個(gè)解，則是其導(dǎo)出組的解．證由，說明是其導(dǎo)出組的解．性質(zhì)４設(shè)是非齊次線性方程組（4）的解，而是其導(dǎo)出組的解，則仍是非齊次線性方程組（4）的解．證由，說明是非齊次線性方程組（4）的解．第三章３.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理２若是非齊次線性方程組（4）的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組的全部解，則是非齊次線性方程組（4）的全部解．THANKS演示完畢感謝觀看線性代數(shù)

矩陣的特征值與特征向量第四章本章主要討論方陣的特征值與特征向量、方陣的相似對角化等問題，然后介紹向量空間、基與維數(shù)，以及向量的內(nèi)積、長度及正交等知識．第四章4.1方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量定義１設(shè)是階矩陣，如果存在數(shù)和維非零列向量，使得（1）成立，則稱數(shù)是方陣的特征值，稱非零向量為的對應(yīng)于特征值的特征向量．（１）式也可以寫為．（2）定義２設(shè)是階矩陣，則含有的矩陣稱為的特征矩陣．行列式是的次多項(xiàng)式，記作，稱為方陣的特征多項(xiàng)式．方程稱為方陣的特征方程．顯然，特征方程的根（特征根）就是的特征值．第四章4.1方陣的特征值與特征向量二、特征值和特征向量的簡單性質(zhì)定理１階矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值．定理２階矩陣可逆的充分必要條件是其任一特征值不等于零．定理３設(shè)是方陣的個(gè)特征值，依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果各不相等，則線性無關(guān)．即的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)．第四章4.2

n維向量空間一、向量空間與子空間第四章4.2

n維向量空間一、向量空間與子空間定義２設(shè)有向量空間，若，則稱是維向量空間的子空間．任何由維向量空間所組成的向量空間，都是的子空間．例１本身是維向量空間的子空間；只有一個(gè)零向量構(gòu)成的空間也是維向量空間的子空間．定義３設(shè)為向量空間，如果向量組滿足：（i）線性無關(guān)；（ii）中任一向量都可由線性表出．則稱向量組為向量空間的一個(gè)基（或一組基），一個(gè)基中向量的個(gè)數(shù)稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間．第四章4.2

n維向量空間二、向量的內(nèi)積定義４設(shè)有維向量

，稱為向量與的內(nèi)積．定義５設(shè)維向量，則稱為維向量的長度．第四章4.2

n維向量空間二、向量的內(nèi)積定義６設(shè)，是兩個(gè)非零的維向量，則定義，之間夾角的余弦為

．因此夾角為．第四章4.2

n維向量空間三、向量正交定義７若中兩個(gè)非零向量，之間的夾角等于90°(即)，則稱與正交（或垂直），記作．零向量與任何向量都正交．定理１中兩個(gè)非零向量，正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于零．定理２設(shè)是一組兩兩正交的維非零向量，則線性無關(guān)．定義８設(shè)維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩相交，且都是單位矩陣，則稱是的一個(gè)規(guī)范正交基．第四章4.2

n維向量空間四、正交矩陣定義９如果階矩陣滿足，則稱為正交矩陣，簡稱正交陣．第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對角化一、相似矩陣定義１設(shè)，都是階矩陣，若有可逆矩陣，使，則稱矩陣與相似，記作，或稱是的相似矩陣．對進(jìn)行運(yùn)算，稱為對進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣．定理１若階矩陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．推論若階矩陣與對角陣相似，則是的個(gè)特征值．第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對角化一、相似矩陣定理２階矩陣相似于對角陣（即矩陣可對角化）的充分必要條件是矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．推論若階矩陣有個(gè)不同的特征值，則矩陣與對角陣相似．證設(shè)有個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量．根據(jù)§4.1定理3，向量組線性無關(guān)，所以由定理2可知，與對角陣相似，其中第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對角化二、對稱矩陣的對角化定理３對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)．定理４設(shè)，是對稱矩陣的兩個(gè)特征值，，是對應(yīng)的特征向量，若，則與正交．定理５設(shè)為階對稱矩陣，則必有正交矩陣，使