重難點突破01 數(shù)列的綜合應用 （十三大題型）（原卷版）

重難點突破01數(shù)列的綜合應用目錄1、解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關鍵2、新定義問題的解題思路遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決．3、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質、圖象研究數(shù)列問題．②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性．4、數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉化為研究最值問題來解決．利用等價轉化思想將其轉化為最值問題.恒成立；恒成立.5、現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？紤]用數(shù)列的知識去解決．（1）數(shù)列實際應用中的常見模型①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第項與第項的遞推關系還是前項和與前項和之間的遞推關系．在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結論；二是從一般入手，找到遞推關系，再進行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系．（2）解決數(shù)列實際應用題的3個關鍵點①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；②利用數(shù)列知識準確求解模型；③問題作答，不要忽視問題的實際意義．6、在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標，目標可從要證的結論中去查找.題型一：數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應用例1．（2023·河南·河南省內鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實施第次運算的結果為，若，且均不為1，則（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4例2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例3．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數(shù)為（

）A．561 B．595 C．630 D．666變式1．（2023·全國·高三專題練習）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復上述操作，當進行三次操作后形成如圖3的曲線.設線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（

）

A．2 B． C． D．3變式2．（2023·全國·高三專題練習）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，則此數(shù)列的前34項和為（

）

A．959 B．964 C．1003 D．1004變式3．（2023·全國·高三專題練習）南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項是（

）．A． B． C． D．【解題方法總結】（1）解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關鍵（2）解答數(shù)列應用題需過好“四關”題型二：數(shù)列中的新定義問題例4．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎獢?shù)列的通項，如果把數(shù)列的奇數(shù)項都去掉，余下的項依次排列構成新數(shù)列為，再把數(shù)列的奇數(shù)項又去掉，余下的項依次排列構成新數(shù)列為，如此繼續(xù)下去，……，那么得到的數(shù)列（含原已知數(shù)列）的第一項按先后順序排列，構成的數(shù)列記為，則數(shù)列前10項的和為（

）A．1013 B．1023 C．2036 D．2050例5．（2023·人大附中?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結論中正確的個數(shù)是（

）①若，則為“回旋數(shù)列”；②設為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；③設為等差數(shù)列，當，時，若為“回旋數(shù)列”，則；④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4例6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構成數(shù)列的一個逆序對.若，則恰有2個逆序對的數(shù)列的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式4．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列命題正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，且首項，則是“和有界數(shù)列”B．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列”C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列”D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比變式5．（2023·全國·高三專題練習）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第n項，則數(shù)列滿足：.，記，則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．變式6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項為（

）A．173 B．171 C．155 D．151【解題方法總結】（1）新定義數(shù)列問題的特點通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的．（2）新定義問題的解題思路遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決．題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例7．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，則的最小值為.例8．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？寄M預測）設數(shù)列的前項和為，且，若恒成立，則的最大值是.例9．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為．變式7．（2023·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)n，都有．若正整數(shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，則整數(shù)k的最小值為．【解題方法總結】（1）數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質、圖象研究數(shù)列問題．②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性．（2）數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉化為研究最值問題來解決．利用等價轉化思想將其轉化為最值問題.恒成立；恒成立.題型四：數(shù)列在實際問題中的應用例10．（2023·全國·高三專題練習）根據(jù)市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量（萬件）近似地滿足關系式，按此預測，在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是.例11．（2023·高三課時練習）某研究所計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設備費，且每個實驗室的裝修費都一樣，設備費從第一到第十實驗室依次構成等比數(shù)列.已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1700萬元，則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要萬元.例12．（2023·全國·高三專題練習）冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運動造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第天收入達到最高.變式8．（2023·全國·高三專題練習）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款．變式9．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）一件家用電器，現(xiàn)價2000元，實行分期付款，一年后還清，購買后一個月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款數(shù)相同，共付12次，月利率為0.8%，并按復利計息，那么每期應付款元．（參考數(shù)據(jù)：，，，）變式10．（2023·全國·高三專題練習）在第七十五屆聯(lián)合國大會一般性辯論上，習近平主席表示，中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，從2021年起，每年發(fā)放的電動型汽車牌照按前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時規(guī)定，若某年發(fā)放的汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.那么從2021年至2030年這十年累計發(fā)放的汽車牌照數(shù)為萬張．【解題方法總結】現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．（1）數(shù)列實際應用中的常見模型①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第項與第項的遞推關系還是前項和與前項和之間的遞推關系．在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結論；二是從一般入手，找到遞推關系，再進行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系．（2）解決數(shù)列實際應用題的3個關鍵點①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；②利用數(shù)列知識準確求解模型；③問題作答，不要忽視問題的實際意義．題型五：數(shù)列不等式的證明例13．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.例14．（2023·全國·高三專題練習）證明不等式．例15．（2023·全國·高三專題練習）已知，，的前n項和為，證明：．變式11．（2023·全國·高三專題練習）已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．(1)證明：．(2)證明：．(3)記為數(shù)列的前n項和，證明∶．變式12．（2023·全國·高三專題練習）證明：．（注：．）變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．(1)求的通項公式；(2)證明：．變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知各項為正的數(shù)列滿足，，．證明：(1)；(2)．變式15．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，．(1)若，求實數(shù)a的值；(2)設，若，證明：．變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，，．(1)證明：．(2)設是數(shù)列的前n項和，證明：．【解題方法總結】（1）構造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式（2）放縮法證明不等式在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標，目標可從要證的結論中去查找.方法1：對進行放縮，然后求和.當既不關于單調，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時，就應考慮對進行放縮，使目標變成可求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧椣嘞驂嚎s等比的數(shù)列.證明時要注意對照求證的結論，調整與控制放縮的度.方法2：添舍放縮方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含n的式子看作是一個數(shù)列的前n項的和或者積，求出該數(shù)列通項后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有n的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標不等式的加強不等式，再予以證明.方法4：單調放縮題型六：公共項問題例16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┮阎?，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.例17．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于.例18．（2023·全國·高三專題練習）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.變式17．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）將數(shù)列與的公共項由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項的和為．變式18．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列與的所有公共項由小到大構成一個新的數(shù)列，則.變式19．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）有兩個等差數(shù)列及由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為.題型七：插項問題例19．（2023·全國·高三對口高考）在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項公式為.例20．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為.例21．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知數(shù)列的首項，，.(1)設，求數(shù)列的通項公式；(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項和，求.變式20．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)在相鄰兩項中間插入這兩項的等差中項，求所得新數(shù)列的前2n項和.變式21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）為數(shù)列的前項和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.變式22．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的首項為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，得到一個新數(shù)列.設是數(shù)列的前項和，試求.變式23．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．題型八：蛛網(wǎng)圖問題例22．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列若（且），若對任意恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是.例23．（2023?虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，，前項和為，則下列選項錯誤的是（參考數(shù)據(jù)：，A．是單調遞增數(shù)列，是單調遞減數(shù)列 B． C． D．例24．（2023?浙江模擬）數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列前項和，則下列選項中錯誤的是A．若，則 B．若，則遞減 C．若，則 D．若，則變式24．（2023?浙江模擬）已知數(shù)列滿足：，，前項和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項中錯誤的是A．是單調遞增數(shù)列，是單調遞減數(shù)列 B． C． D．變式25．（2023?下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C． D．題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）例25．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和是，且．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)證明：(3)為數(shù)列的前n項和，設，是否存在正整數(shù)m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．例26．（2023·全國·高三專題練習）設是各項為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列(1)證明：依次成等比數(shù)列；(2)是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；(3)是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由．例27．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.變式26．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，點均在函數(shù)圖象上.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)問中是否存在不同的三項能構成等差數(shù)列？說明理由.變式27．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求通項公式；(2)設，在數(shù)列中是否存在三項（其中）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，說明理由．變式28．（2023·全國·高三專題練習）在①，，②，為的前n項和，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答下列問題．已知數(shù)列滿足______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對大于1的正整數(shù)n，是否存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．變式29．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預測）設正項等比數(shù)列的前項和為，若，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中是否存在不同的三項構成等差數(shù)列？請說明理由．題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題例73．（2022?龍泉驛區(qū)校級一模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則A． B． C．2 D．3例74．（2022?日照模擬）已知數(shù)列的通項公式，則A．150 B．162 C．180 D．210例76．（2022秋?仁壽縣月考）設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則下列結論中正確的是A．， B．， C．， D．，題型十一：數(shù)列與導數(shù)的交匯問題例79．（2022?全國模擬）函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線在軸上的截距為．（1）求；（2）討論的單調性；（3）設，，證明：．例80．（2022?棗莊期末）已知函數(shù)，，曲線在點，（1）處的切線在軸上的截距為．（1）求；（2）討論函數(shù)和的單調性；（3）設，，求證：．題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題例28．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┘?、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調遞增，并根據(jù)你的理解說明該結論的實際含義.例29．（2023·全國·高三專題練習）馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關，與第次狀態(tài)是“沒有任何關系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求的期望.例30．（2023·全國·高三專題練習）雅禮中學是三湘名校，學校每年一屆的社團節(jié)是雅禮很有特色的學生活動，幾十個社團在一個月內先后開展豐富多彩的社團活動，充分體現(xiàn)了雅禮中學為學生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學社舉辦了詩詞大會，在選拔賽階段，共設兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，若不能正確回答出下可得0分.(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學期望；(2)已知恰有甲?乙?丙?丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團體有相同的機會搶答下一問題.記第次回答的是甲的概率是，若.①求和；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.變式30．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學校?？茧A段練習）一對夫妻計劃進行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概率為;③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學期望;(2)設在第n天時,由丈夫駕車的概率為,求數(shù)列的通項公式．變式31．（2023·全國·高三專題練習）某中學舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內正確回答出下句得0分．(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．①求P2，P3；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。兪?2．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學校考模擬預測）某校為減輕暑假家長的負擔，開展暑期托管，每天下午開設一節(jié)投籃