專題43直線平面平行的判定與性質(zhì)（原卷版）

專題43直線、平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)梳理考綱要求考點(diǎn)預(yù)測(cè)常用結(jié)論方法技巧題型歸類(lèi)題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：訓(xùn)練二：訓(xùn)練三：訓(xùn)練四：訓(xùn)練五：訓(xùn)練六：強(qiáng)化測(cè)試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b【常用結(jié)論】(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.【方法技巧】1.判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線．3.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．4.解決這種數(shù)值或存在性問(wèn)題的題目時(shí)，注意先給出具體的值或先假設(shè)存在，然后再證明．二、【題型歸類(lèi)】【題型一】直線與平面平行的判定與性質(zhì)【典例1】如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.【典例2】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.【典例3】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【題型二】平面與平面平行的判定與性質(zhì)【典例1】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.【典例2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．【典例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.【題型三】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.【典例2】如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【典例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】(多選)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是()A.A1P∥平面AD1CB.A1P與平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是eq\f(2\r(5),5)C.A1P＋PC的最小值為eq\f(\r(170),5)D.以A為球心，eq\r(2)為半徑的球面與側(cè)面DCC1D1的交線長(zhǎng)是eq\f(π,2)【訓(xùn)練二】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.【訓(xùn)練三】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明.【訓(xùn)練四】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為AB1，A1C1上的點(diǎn)，A1N＝AM.(1)求證：MN∥平面BB1C1C；(2)求MN的最小值．【訓(xùn)練五】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.(1)求eq\f(PF,FD)的值；(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．【訓(xùn)練六】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說(shuō)明理由；(2)求三棱錐F-DCE的體積．四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E∈PC，F(xiàn)∈PB，eq\o(PE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，如圖．若AF∥平面BDE，則λ的值為()A．1 B．3C．2 D．44.設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．45.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形6.已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()A．平行、平行B．異面、平行C．平行、相交D．異面、相交7.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG8.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1∥平面AMN，則PA1的長(zhǎng)度范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【多選題】9.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若m⊥α，m⊥n，則n∥αB．若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥nC．若m?α，n?α且m∥β，n∥β，則α∥βD．若直線m，n與平面α所成的角相等，則m∥n10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，下列四個(gè)推斷中正確的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D111.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各條棱的長(zhǎng)度均相等，D為AA1的中點(diǎn)，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足BM＝C1N，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是()A．在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段B．平面DMN⊥平面BCC1B1C．三棱錐A1-DMN的體積為定值D．△DMN可能為直角三角形12.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的為()A．若PD＝3，則滿足條件的P點(diǎn)有且只有一個(gè)B．若PD＝eq\r(3)，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧C．若PD∥平面ACB1，則DP長(zhǎng)的最小值為2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝eq\r(3)，則平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為eq\f(9π,4)【填空題】13.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)等于________．14.在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)足條件：(1)條件：a∥b，b∥c，c?α，______，結(jié)論：a∥α；(2)條件：α∩β＝b，a∥b，a?β，______，結(jié)論：a∥α.15.在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．16.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：(1)AD1所在的直線與平面BCC1的位置關(guān)系是______；(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是______．【解答題】17.已知在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點(diǎn).(1)求證：BQ∥平面PAD；(2)若PD＝3，BC＝eq\r(2)，BC⊥BD，試在線段PC上確定一點(diǎn)S，使得三棱錐S－BCD的體積為eq\f(2,3).18.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.19.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，求證：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD