現(xiàn)實(shí)復(fù)雜條件下sirs型傳染病模型的穩(wěn)定性與控制

現(xiàn)實(shí)復(fù)雜條件下sirs型傳染病模型的穩(wěn)定性與控制

染相分離的最佳組合策略傳染病動(dòng)態(tài)研究不僅在預(yù)防疾病方面發(fā)揮著重要作用，而且在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也發(fā)揮著巨大的作用，比如由人類因素引起的集體行為。在傳染病動(dòng)力學(xué)中,假設(shè)群內(nèi)個(gè)體總量為常數(shù)的傳染病研究,人們已經(jīng)取得相當(dāng)豐碩和完整的成果。然而,種群內(nèi)一般都存在出生、(自然和非自然)死亡、外來(lái)個(gè)體遷入等情況發(fā)生,這些經(jīng)常導(dǎo)致種群總量并不固定。因此,部分文獻(xiàn)轉(zhuǎn)向了種群數(shù)量不定情形下的傳染病模型研究,如文獻(xiàn)研究個(gè)體會(huì)死亡的傳染病模型;文獻(xiàn)研究了含有脈沖生育的傳染病模型;文獻(xiàn)則聯(lián)合考慮了傳染密度與出生和死亡有關(guān)的傳染病模型;文獻(xiàn)研究存在外來(lái)遷入情形的傳染病模型;文獻(xiàn)[10-12]研究通過(guò)垂直傳播的傳染病模型;文獻(xiàn)研究了具有隔離干預(yù)的SIRS傳染病模型;文獻(xiàn)則聯(lián)合考慮了生育、死亡、外來(lái)遷入以及疾病垂直傳播等因素的傳染病模型。上述文獻(xiàn)均通過(guò)模型的穩(wěn)定性定理獲得一些有意義的疾病控制定性策略。然而,到目前為止,在一個(gè)模型中同時(shí)考慮個(gè)體出生與死亡、遷入、疾病水平和垂直傳播、實(shí)施隔離措施卻不完全到位等這些復(fù)雜而又具有廣泛現(xiàn)實(shí)代表性的SIRS型傳染病模型的相關(guān)研究,并不多見。從疾病控制角度來(lái)看,由單純考慮生育(或死亡,或外來(lái)遷入等)的傳染病模型推導(dǎo)出來(lái)的疾病控制策略(如控制疾病垂直傳播、滅絕染病個(gè)體、隔離染病個(gè)體等),往往具有極端傾向性,要么違背人道主義,要么不計(jì)較成本代價(jià),都無(wú)法勝任現(xiàn)實(shí)復(fù)雜情形下的傳染病控制。顯然,組合策略是必須的。然而,組合策略中各種純策略的輕重緩急該如何考慮,組合策略中的人道主義、救治代價(jià)與傳染病控制效果又該如何折衷等等,這些問題都亟待解決。本文研究的SIRS型傳染病模型,就是考慮到現(xiàn)實(shí)世界中的傳染病傳播和控制過(guò)程中可能存在下列情形:1)疾病可通過(guò)水平和垂直傳播;2)群內(nèi)個(gè)體會(huì)生育;3)群內(nèi)個(gè)體有死亡(自然和非自然);4)對(duì)染病個(gè)體采取隔離措施但不完全到位;5)群外易感個(gè)體遷入。首先對(duì)此復(fù)雜情形下的SIRS類型傳染病的傳播機(jī)理建立數(shù)學(xué)模型,證明該傳染病模型的無(wú)病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的存在性以及漸近穩(wěn)定性,繼而從基本再生數(shù)以及折衷考慮人道主義、救治代價(jià)與疾病控制效果的原則,針對(duì)流行于人類的傳染病,提出“優(yōu)先隔離染病個(gè)體、提高疾病治愈率以及控制傳染病垂直傳播”的傳染病綜合控制策略。該策略的新穎之處在于,它既不茍同于“不計(jì)成本地提高疾病治愈率”建議,也相異于“不顧人道主義精神、滅絕染病個(gè)體或剝奪染病個(gè)體生育權(quán)”策略;而是通過(guò)優(yōu)先采取控制傳染源、提高疾病治愈率、控制傳染病垂直傳播等措施,既迅速地控制住傳染病傳播,又降低控制疾病傳播代價(jià)。最后,對(duì)模型穩(wěn)態(tài)結(jié)論及傳染病控制策略進(jìn)行數(shù)值仿真。本研究有助于深入理解傳染病的傳播機(jī)理和制定量化的疾病控制策略。1傳染病模型及其穩(wěn)定性分析1.1模型的兼容性將所研究的種群分為易感個(gè)體、染病個(gè)體以及康復(fù)個(gè)體,并以S=S(t),I=I(t),R=R(t)分別表示三類個(gè)體的數(shù)量。在建立模型之前,先做如下基本假設(shè):(1)假設(shè)傳染病既可通過(guò)有效接觸傳播,也可通過(guò)垂直傳播。(2)β(N)是傳染病通過(guò)有效接觸進(jìn)行傳播的傳播系數(shù),N為某時(shí)刻種群數(shù)量,β(N)I為傳染率。假定β(N)是連續(xù)可微、非負(fù)函數(shù),且β′(N)≤0,[Nβ(N)]′≥0。(3)假設(shè)對(duì)染病個(gè)體采取隔離措施,并以ε∈表示隔離率,因此,染病個(gè)體I被細(xì)分為I1(未被隔離染病個(gè)體)和I2(被隔離染病個(gè)體)。(4)允許外界易感個(gè)體遷入到種群中,并假設(shè)易感個(gè)體的輸入率為大于0的常數(shù)SA。但原則上禁止外界染病個(gè)體遷入群內(nèi)。(5)以b>0表示群體的自然生育率。假設(shè)傳染病會(huì)對(duì)患者的生育能力造成影響,并用1-δ(0≤δ≤1)表示染病者的生育能力。假設(shè)染病個(gè)體生產(chǎn)的新生個(gè)體不一定全部染病,并以ρ(0≤ρ≤1)表示新生個(gè)體中非染病的比例。(6)d∈表示種群的自然死亡率;d∈為染病個(gè)體的死亡率。(7)γ∈表示治愈率。σ∈表示康復(fù)個(gè)體失去免疫力轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘袀€(gè)體的幾率,從而σ=0表示康復(fù)個(gè)體具有永久免疫力(即SIR模型),σ=1則表示康復(fù)個(gè)體等同于易感個(gè)體(即SIS模型)。因此,本文研究的模型具有兼容性。根據(jù)上述假設(shè)以及均勻場(chǎng)理論,建立如下傳染病數(shù)學(xué)模型式中,S≥0,I=I1+I2,I1≥0,I2≥0,R≥0。1.2d>b時(shí)無(wú)病平衡及模型的構(gòu)建下面僅討論種群的自然死亡率大于種群自然的生育率情況,即d>b。至于其他情形,如d=b以及d<b可類似討論,限于篇幅,不贅述。若以N(t)=S(t)+I(t)+R(t)表示種群成員總數(shù)量,并簡(jiǎn)記為N,則由式(1)可得從而因此,易知集合?={(S,I,R)S,I,R≥0;S+I+R≤N0}為模型(1)的正不變集。以下定理均在此集合內(nèi)討論。定理1當(dāng)d>b時(shí),模型(1)在正不變集?內(nèi)總存在唯一無(wú)病平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0)=(N0,0,0),其中N0=As(d-b);當(dāng)N*是方程在(0,N0)上的唯一解;證明:在平衡點(diǎn)處應(yīng)有S′=0,I1′=0,I2′=0和R′=0,即:(1)若I1=0和I2=0,則式(4)可簡(jiǎn)化為當(dāng)d>b時(shí),直接計(jì)算得到無(wú)病平衡點(diǎn)(2)若I1≠0或I2≠0,即I≠0,則首先合并式(4)的第二、三個(gè)等式得由式(4)的第三個(gè)等式以及I=I1+I2分別得從而式(A2)可簡(jiǎn)化為由式(4)的第四個(gè)等式得由式(4)中四個(gè)等式相加并整理得將S=N-I-R代入式(6)得令上式左邊為F(N),則由假設(shè)(2)(β′(N)≤0和[Nβ(N)]′≥0)以及d>b,知F′(N)≥0。又因?yàn)?上式成立是因?yàn)棣?0)>0,d>b以及0≤ρ,δ≤1)(上式成立是因?yàn)镹0=As(d-b)以及假設(shè)0R>1),由中值定理知,方程F(N)=0在(0,N0)上有唯一解N*。從而,當(dāng)0R>1時(shí),模型(1)存在唯一地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,R*)。[證畢]定理2對(duì)于模型(1),當(dāng)d>b和0R≤1,無(wú)病平衡點(diǎn)0P是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)d>b和0R>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的。證明:對(duì)模型(1)進(jìn)行變量代換N=S+I+R,得到等價(jià)模型相應(yīng)地,模型(1)的平衡點(diǎn)就變換為方程(7)的平衡解P′0(S0,I0,I10,N0)=(N0,0,0,N0)以及P′*(S*,I*,I1*,N*),其中N0=As(d-b),N*由式(3)確定,下面分別分析無(wú)病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。(1)模型(7)在平衡點(diǎn)0P′處的Jacobian矩陣為容易看出,(b-d-σ)和(b-d)均為J(P0′)的負(fù)特征根;其余2個(gè)特征根則由決定。由(上式成立是因?yàn)?R<1),知K(P′0)的2個(gè)特征根均具有負(fù)實(shí)部。從而,當(dāng)d>b和0R<1時(shí),J(P0′)的4個(gè)特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此,模型(7)的平衡點(diǎn)P′0是局部漸近穩(wěn)定的。這等價(jià)于模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)0P也是局部漸近穩(wěn)定的。又由于在正不變集內(nèi),(2)模型(7)在平衡點(diǎn)P′*處的Jacobian矩陣分別為決定。由于(a)J′(P′*)的所有奇數(shù)階順序主子式(上式成立,是因?yàn)閐>b,β(N)≥0,β′(N)≤0以及(b)J′(P′*)的所有偶數(shù)階順序主子式知J′(P′*)為負(fù)定矩陣。進(jìn)而知J(P′*)所有4個(gè)特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此,當(dāng)0R>1時(shí),模型(7)的平衡點(diǎn)P′*是局部漸近穩(wěn)定的。這等價(jià)于模型(1)的地方病平衡點(diǎn)P*也是局部漸近穩(wěn)定的?！咀C畢】2“復(fù)配”的效果注意到模型(1)推導(dǎo)出的基本再生數(shù)其中N0=AS(d-b)。根據(jù)定理2,知當(dāng)d>b時(shí)(即種群的自然死亡率大于種群自然的生育率),要控制此類傳染病傳播并最終消滅它(即達(dá)到無(wú)病平衡點(diǎn)0P),就要使0R≤1,即因此,通過(guò)直接分析式(8),可得到如下傳染病控制策略:(1)增大ε,并盡可能地使ε→1,即在傳染病傳播期間,對(duì)染病人群采取及時(shí)有效的強(qiáng)制隔離措施(即控制傳染源)。(2)考慮到“對(duì)所有染病個(gè)體進(jìn)行完全有效的隔離”措施也不太切合實(shí)際,而且種群的自然死亡率d以及種群正常的生育率b不可能在短時(shí)間內(nèi)有太大變化,我們注意到(8)式的左邊含有β(N0)N0,而[β(N)N]′N≥0,N0=AS(d-b),從而減小SA(即控制外來(lái)易感人群的遷入),N0減小,從而降低疾病接觸傳播的平均幾率β(N0)N0。(3)提高染病個(gè)體的死亡率,比如捕殺疫區(qū)的染病個(gè)體;然而,對(duì)于染病人類,滅絕措施是非人道的,則可考慮采取提高染病人群的治愈率γ。(4)控制染病個(gè)體的生育率(即增大δ)以及提高醫(yī)療技術(shù)水平降低新生個(gè)體中染病幾率(即增大ρ),來(lái)減少產(chǎn)生新的染病個(gè)體。注意到參數(shù)σ(表示康復(fù)個(gè)體失去免疫力重新轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘袀€(gè)體的幾率)并沒有進(jìn)入(8)式,這表明通過(guò)改變參數(shù)σ對(duì)控制傳染病傳播并最終消滅它并不能發(fā)揮重要作用。然而,提高σ,對(duì)于改善群體整體健康水平大有幫助。不難發(fā)現(xiàn),上述四種傳染病控制措施,在人們斗爭(zhēng)SARS、禽流感、甲型HINI流感等傳染病的實(shí)踐中均被采納過(guò);然而,它們都不是以單純策略的形式出現(xiàn)。在現(xiàn)實(shí)世界中,控制傳染病的策略往往要綜合考慮人道主義、無(wú)條件救治代價(jià)與疾病控制效果:對(duì)于那些可以盡快得到治愈的傳染傳染病,對(duì)染病個(gè)體優(yōu)先采取隔離措施,總比采取滅絕措施要人道的多;但如果傳染病治愈花費(fèi)高昂且存在極大的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn),則應(yīng)考慮提高染病個(gè)體死亡率,必要時(shí)可放棄治療或人為滅殺染病個(gè)體,既減少不必要的全力救助代價(jià),又避免引起社會(huì)恐慌。3數(shù)值模擬3.1理論與仿真結(jié)果對(duì)SIRS模型(1)進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí),取初始群體為2000,并任意設(shè)置易感人群總數(shù)為500,占總體25.%;感染人群總數(shù)為50,占2.5%,期初無(wú)染病個(gè)體隔離;其余為康復(fù)人群。任意選擇滿足β′(N)≤0和[Nβ(N)]′≥0約束條件的表達(dá)式,如β(N)≡1N45;并取如下2組參數(shù):代入式(4)中,得基本再生數(shù)0R=0.9980和0R=2.8523。由定理1和定理2知,參數(shù)組(1)對(duì)應(yīng)于唯一無(wú)病平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0)=(50,0,0);參數(shù)組(2)對(duì)應(yīng)于唯一地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,R*)=(16,149,74)。仿真結(jié)果(見圖1)與理論計(jì)算結(jié)果一致。由圖1(a)和(b)不難看出,盡管初始感染人群僅占總?cè)后w的2.5%,但病毒在均勻混合的SIR群體中得到快速傳播:圖1(a)顯示染病個(gè)體最高峰為213人,圖1(b)則顯示染病個(gè)體一度達(dá)到1200人;不同的是,圖1(a)顯示傳染病迅速得到控制,代價(jià)是絕大多數(shù)個(gè)體死亡(包括正常和非正常);而圖1(b)顯示,盡管短期內(nèi)傳染病爆增,但隨后逐漸減少,直至形成穩(wěn)定的地方病狀態(tài)。圖1的仿真結(jié)果驗(yàn)證了定理1和定理2。3.2傳染病防控策略針對(duì)流行于人類的傳染病,前文第2節(jié)建議“折衷考慮人道主義、無(wú)條件救治代價(jià)與疾病控制效果”的傳染病綜合控制策略,提出“優(yōu)先隔離染病個(gè)體、提高疾病治愈率以及控制傳染病垂直傳播”的措施。本節(jié)并對(duì)此綜合策略進(jìn)行效果仿真。仿真時(shí)取下面參數(shù)組:得到圖2所示的傳染病動(dòng)態(tài)傳播過(guò)程。圖2顯示,采取綜合控制策略后,盡管穩(wěn)態(tài)結(jié)果是地方病(388,80,357)狀態(tài),但傳染病在整個(gè)動(dòng)態(tài)傳播過(guò)程中,既沒有惡性地爆發(fā)到如同圖1(b)所示的1200人染病高峰值(本次仿真結(jié)果的染病個(gè)體最高峰值為301人);地方病的穩(wěn)態(tài)結(jié)果也優(yōu)于圖1(b)(低于圖1(b)顯示的穩(wěn)定染病個(gè)體數(shù)為149);更為重要的是,本次仿真的總存活群體數(shù)量825人,要遠(yuǎn)大于仿真圖1(b)顯示的240人,這表明采取綜合控制策略,沒有發(fā)生如同圖1(b)那樣的嚴(yán)重個(gè)體死亡現(xiàn)象。與第2節(jié)提出的純策略相比較,綜合策略的優(yōu)越性表現(xiàn)為:它既不需要對(duì)全體染病個(gè)體實(shí)施最嚴(yán)格的隔離措施(即要求ε=1,從而導(dǎo)致控制成本過(guò)高),也不要求完全禁止外來(lái)易感個(gè)體自由進(jìn)入群內(nèi)(即要求SA=0),更不需要完全剝奪染病個(gè)體的生命權(quán)和生育權(quán)利(即要求d=1,δ=1,從而導(dǎo)致社會(huì)恐慌);而是通過(guò)優(yōu)先采取隔離染病個(gè)體(ε=0.9)、提高疾病治愈率(γ=0.9)以及適當(dāng)控制傳染病垂直傳播(ρ=0.5,δ=0.1)等措施,既迅速地控制住了傳染病傳播,又降低了傳染病控制代價(jià)。綜合控制策略的成功之處,在于折衷考慮人道主義、疾病控制代價(jià)(如隔離成本、傳染病救治成本、社會(huì)恐慌代價(jià)等等)以及傳染病控制效果。4對(duì)傳染病控制策略的價(jià)值本文研究的現(xiàn)實(shí)復(fù)雜情形(包含非線性