2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考全國Ⅱ卷）（學(xué)生版+解析版）

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考H）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（5分）復(fù)數(shù)2L在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（）

l-3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},2={2,3,4},則AACuB

=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

3.（5分）若拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為我，則p=（）

A.1B.2C.2A/2D.4

4.（5分）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地

球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為36000b”（軌道高度是

指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑r為6400hw的球，其上

點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜

止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積S=2n/（1-

cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

5.（5分）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+12A/3B.28MC.因D.28^

33

6.（5分）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,。2）,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.。越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測量中小于為9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測量中結(jié)果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相

等

7.（5分）己知a=log52,Z?=log83,0=看，則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

8.（5分）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+l）為奇函數(shù)，則（)

A./(-A)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

2

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)是符合題目要求的。全選對得5分，選對但不全得2分，有錯誤答案得0分)

9.(5分)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本xi,%2,…，物的離散程度的有()

A.樣本xi,xi,?-?,X”的標(biāo)準(zhǔn)差

B.樣本xi,xi,,,,,初的中位數(shù)

C.樣本xi,X2,…，物的極差

D.樣本xi,%2,…，X”的平均數(shù)

10.(5分)如圖，下列正方體中，。為底面的中點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的

頂點(diǎn)，則滿足MV_LOP的是()

11.(5分)已知直線/：ar+6y-J=0與圓C：/+y2=，，點(diǎn)A(a,b),則下列說法正確的

是()

A.若點(diǎn)4在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

12.(5分)設(shè)正整數(shù)〃=ao?2°+ai?2l+…+以-1+以?2＜其中36{0,1},記3(〃)=

ao+ai則()

A.3(2n)=3(〃)B.3(2〃+3)=3(n)+1

C.3(8〃+5)=3(4〃+3)D.3(2"-1)=〃

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上)

13.（5分）已知雙曲線2￡-工：=1（a>0,b>0）的離心率e=2,則該雙曲線的漸近線

2/

ab

方程為.

14.（5分）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/（x）：.

ay（X1X2）=/（xi）/（X2）;②當(dāng)尤（0,+8）時，f（x）>0；?f（x）是奇函數(shù).

15.（5分）已知向量a+b+c=0，Ial=1，Ibl=Icl=2,貝iJb+b*c+c，a

16.（5分）已知函數(shù)f（犬）=|/-1|,xi<0,x2>0,函數(shù)/（x）的圖象在點(diǎn)4（xi,/（xi））

和點(diǎn)8（X2,/（X2））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則搗+的取

值范圍是.

四、解答題（本題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把答

案填在答題卡上）

17.（10分）記S是公差不為。的等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，若〃3=S5,aia4=S4.

（I）求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式a”；

（II）求使Sn>an成立的n的最小值.

18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊長為a,h,c,b=a+\,c=a+2.

（I）若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

（II）是否存在正整數(shù)a,使得△A8C為鈍角三角形？若存在，求出”的值；若不存在，

說明理由.

19.（12分）在四棱錐。-A8CQ中，底面A8CZ）是正方形，若A￡>=2,QD=QA=y[^,

QC=3.

（I）求證：平面QAOJ_平面ABC￡>；

（II）求二面角B-Q。-A的平面角的余弦值.

20.(12分)已知橢圓C的方程為3一+之一=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為尸(J5，0),且離心

2,2、-

ab

率為近

3

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線/+》2=必(》>0)相切.證明：M,

N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN=?.

21.(12分)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，

經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個

數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X

=z)=pi(z=0,1,2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0.l,求E(X)；

(II)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

po+pix+p2x2+p3/=x的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)時，，p=1,當(dāng)E(X)>1

時，"VI;

(III)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-1)-cvP'+b.

(I)討論/G)的單調(diào)性；

(II)從下面兩個條件中選一個，證明：八x)有一個零點(diǎn).

1」

①。—,b>2a；

22

?0<a<A,bW2a.

2

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考H）

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（5分）復(fù)數(shù)21?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解答］解：2T=（2-i）（l+3i）=2+6i-i-3i2=5+5i1

l-3i(l-3i)(l+3i)-I2+(-3)2

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)上士對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（工，1）,位于第一象限.

l-3i22

故選：A.

2.（5分）若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},2={2,3,4},則ACCuB

=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【解答】解：因?yàn)槿?={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4）,

所以CuB={l,5,6）,

故ACCuB={l,6}.

故選：B.

3.（5分）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為、/，，則p=（）

A.1B.2C.2A/2D.4

【解答】解：拋物線/=2px（p>0）的焦點(diǎn)（20）到直線y=x+l的距離為我，

故選：B.

4.（5分）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地

球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為36000k”（軌道高度是

指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑r為6400A”的球，其上

點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜

止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積S=2TT,2（1-

cosa）（單位：km1）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【解答】解：由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，

衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積S=2TTJ（1-cosa）,

2

那么，S占地球表面積的百分比為空三幺竽電_=旦=42%.

2

471r106

故選：C

5.（5分）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+1273B.28亞C.因D.啰返

33

【解答】解：如圖，ABCO-4BC1D1為正四棱臺，AB=2,481=4,AA\=2.

在等腰梯形A1818A中，過A作AE_L4Bi,可得4￡=生2=1,

2

?E=JAA[2一人送2=^^=唐

連接AC,AiCi,

AC=V4+4=2V2>AICI=116+16=4加,

過A作AG_LAICI,AiG=-紋遮=料,

2

4G=JAA12_A[G2=V^=&,

正四棱臺的體積為:

S上+Sy+qs上，S下

y=-------------------xh

o

2222

_2+4-H72X4乂r

~------------3------------X亞

=2哂

3.

6.(5分)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,。2),則下列結(jié)論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測量中小于為9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測量中結(jié)果落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相

等

【解答】解：因?yàn)槟澄锢砹康臏y量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,。2),

所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差。2越小，則分布越集中，

對于A,。越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)

的概率越大，故選項(xiàng)A正確；

對于8,不管。取何值，測量結(jié)果大于10的概率均為0.5,故選項(xiàng)B正確；

對于C,由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概

率，故選項(xiàng)C正確；

對于￡>,由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10,

10.3)分布在10附近的區(qū)域，

故測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率大于落在(10,10.3)內(nèi)的概率，故選項(xiàng)。錯誤.

故選：D.

7.(5分)已知”=log52,人=log83,c=l,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.h<a<cC.a<c<hD.a<h<c

22

【解答】**elog52<Clog55loggS^logg89'

:?ci<c〈b.

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.F(-工)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f⑷=0

2

【解答】解：由題意，f(x+2)為偶函數(shù)，可得f(x+4)=/(-x),

/(2x+l)為奇函數(shù)，可得/(-2x+l)=-f(2x+l),

令F(尤)=f(2x+l)為奇函數(shù)，

可得F(0)=f(1)=0,

：.f(-1)--f(3)=-7■⑴=0,

即/(-x)=-f(x+2),

：.f(x+4)=-f(x+2),

易知，(x)的周期T=4,其他選項(xiàng)的值不一定等于0.

即/(-1)=0,

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)是符合題目要求的。全選對得5分，選對但不全得2分，有錯誤答案得0分)

9.(5分)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本xi,…，物的離散程度的有()

A.樣本xi,X2,X"的標(biāo)準(zhǔn)差

B.樣本xi,X2,…，物的中位數(shù)

C.樣本xi,X2,…，X”的極差

D.樣本內(nèi)，我，…，X”的平均數(shù)

【解答】解：中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，

方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，

極差是用來表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，

平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，

故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差，極差.

故選：AC.

10.（5分）如圖，下列正方體中，。為底面的中點(diǎn),戶為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的

頂點(diǎn)，則滿足的是（)

D.

【解答】解：對于A,設(shè)正方體棱長為2,設(shè)與OP所成角為。,

則tane=7r」一=返，.?.不滿足MVJ_OP,故A錯誤；

對2

對于B,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則N(2,0,0),M(0,0,2),P(2,0,1),0(1,I,0),

誣=(2,0,-2),而=(1,-1,1),

HN?0P=0，；?滿足MNLOP，故B正確;

對于C,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

貝IJM(2,2,2),N(0,2,0),0(1,1,0),P(0,0,1),

誣=(-2,0,-2),而=(-1,-1,1),

福?而=0,.?.滿足MNLOP,故C正確；

對于￡>,如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則M(0,2,2),N(0,0,0),P(2,1,2),O(1,1,0),

MN=(0,-2,-2),QP=(1,0,2),

，而?而=-4,...不滿足故。錯誤.

故選：BC.

II.(5分)已知直線/：-J=0與圓C：7+丫2=，，點(diǎn)A(a,則下列說法正確的

是()

A.若點(diǎn)4在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)4在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

【解答】解：：點(diǎn)A在圓C上,

?.?圓心C(0,0)到直線/的距離為d」°X；+0Xb+r211r2|二〃

7a2+b2Va2+b2

.?.直線與圓C相切，故A選項(xiàng)正確，

?.?點(diǎn)A在圓C內(nèi)，

|0Xa+0Xb+12

??,圓心C(0,0)到直線/的距離為

a2-+b2

?,?直線與圓C相離，故8選項(xiàng)正確,

???點(diǎn)A在圓。外,

.*.a2+b2>t2,

?.?圓心C(0,0)到直線/的距離為d」°X喧°Xb+「2I=%2|

.?.直線與圓C相交，故C選項(xiàng)錯誤，

???點(diǎn)A在直線/上,

/+廬=/,

?.?圓心C(0,0)到直線I的距離為d」0X：+0Xb+r2|=|/|二〃

7a2+b2Va2+b2

.?.直線與圓C相切，故。選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

12.(5分)設(shè)正整數(shù)〃=ao?2°+ai?2]+…+以一1?2“一1+以?2&,其中的6{0,1},記3(〃)=

QO+〃I+…+以，則()

A.3(2〃)=0)(/?)B.a)(2/t+3)=0)(〃)+1

C.3(8/1+5)=3(4?+3)D.3(2n-1)=n

【解答】解：V2n=ao*2i+a\*21^---+ak-\*2k+ak*2k+],.*.u)(2〃)=u)(〃)=ao+m+…

+kfA對；

當(dāng)九=2時,2n+3=7=l*2°+P2I+P22,Ao)(7)=3.V2=0-2°+P21,(2)=0+1

=1,???3(7)#u)(2)+1,?,?8錯;

?:8n+5=ooe23+6zie24+?+ak?2W+5=1*2°+1?22+tzoe23+aie24+?+以?2k+3,

3(8〃+5)=40?+m?+?+Q什2.：4〃+3=ao?22+6ne23+*+^e2H2+3=1?2°+1?21+〃o?22+a\

?23+?+az2H2,

/.a）（4〃+3）=ao?+m?+?+4k+2=u）（8〃+5）.對；

：2"-1=1?2°+卜21+?+1?2"1,，3（2"-1）=〃，；.￡）對.

故選：ACO.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上）

13.（5分）已知雙曲線/-2匕=1（〃>0,b>0）的離心率e=2,則該雙曲線的漸近線

2,2

ab

方程為y=±\[^x.

22

【解答】解：?.?雙曲線的方程是￥-勺1心>0,b>0），

.?.雙曲線漸近線為y=土電x

a

又???離心率為e=￡=2,可得c=2a

a

:.c2=4/,即c^+b2=4a2,可得〃=

由此可得雙曲線漸近線為y=土遍x

故答案為：y=iVsx

14.（5分）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/G）：f（X）=/.

?f（X1X2）=f（XI）f（X2）；②當(dāng)xW（0,+°°）時，/（x）>0；@f（x）是奇函數(shù).

【解答]解：f（x）=/時，￡（乂1乂2）二（乂1乂2）2=乂1%22二￡（乂1）￡（乂2）；當(dāng)在（0,

+8）時，fG）=2x>0；f（x）=2%是奇函數(shù).

故答案為：/（x）=/.

15.（5分）已知向量之+4+3=1，盲=1,IEI=I3=2,則-9.

2

【角竄答】解：由a+b+c=0得a+b=~c或a+c=-b或b+c=-a，

（a+b）2=（-c）2或（a+c）2=（-b）?或（b+c）2=（-a）2?

又<lal=l，lbl=lcl=2,A5+2a*b=4,5+22￡=4,8+2b?c=b

—?—?]—?—?]—?—?7—?—?—?—?—?Q

.?a?b———，c__,b°c———，.?a?b+a*c^~b*c———?

2222

故答案為：——.

2

16.（5分）已知函數(shù)/（九）=\ex-1|,Xi<0,x2>0,函數(shù)/（x）的圖象在點(diǎn)A（xi,f（xi））

和點(diǎn)B(X2,/(X2))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則的取

iBNl

值范圍是(0,1).

【解答】解：當(dāng)x<0時，/(%)=1導(dǎo)數(shù)為f(x)=

可得在點(diǎn)A(xi,1-e'1)處的斜率為h=-X,

切線AM的方程為y-(1-evl)=-ex[(x-xi),

令x=O可得y=l-』+xiH,即M(0,l-R+xi/),

當(dāng)x>0時，f(x)="-l,導(dǎo)數(shù)為f'(x)=",

可得在點(diǎn)8(A2,-1)處的斜率為22=/2,

令1=0,可得y=/2-1-切/2,即N(0,d2-1-X2，)，

由/(x)的圖象在A,B處的切線相互垂直，可得力七=-"」?"2=-L

即為Xl+X2=0,Xl<0,X2>0,

故答案為：(0,1).

四、解答題(本題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把答

案填在答題卡上)

17.(10分)記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，若〃3=S5,a2a4=S4.

(I)求數(shù)列疑〃｝的通項(xiàng)公式而；

(II)求使〃成立的n的最小值.

【解答】解：(I)數(shù)列S”是公差d不為0的等差數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和，若〃3=S5,42〃4

=54.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，43=55=543,故43=0,

根據(jù)"2〃4=S4可得(〃3-d)(〃3+d)=(43-2d)+(43-d)+43+(。3+〃)，

整理得-d2=-2d,可得d=2(d=0不合題意)，

故an=a3+(〃-3)d=2n-6.

(II)afJ=2n-6,ai=-4,

Sn=-4〃+R(nR).x2=層-5^,

2

Sn>an9即n2-5n>2n-6,

整理可得/-7〃+6>0,

當(dāng)〃>6或時，%>如成立，故〃的最小正值為7.

18.(12分)在△A8C中，角4,B,C所對的邊長為小b,c,b=a+l,c=a+2.

(I)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

(ID是否存在正整數(shù)m使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在,

說明理由.

【解答】解:(/)V2sinC=3sinA,

,根據(jù)正弦定理可得2c=3a,

c=a+2,

，Q=4,b=5,c=6,

222222

在△ABC中，運(yùn)用余弦定理可得c0sC=a+b-c=4+5

2ab2x4x5

Vsin2C+cos2C=1,

?*-sinC=Vl-coS2C=^1-(-j-)2=^Y~，

???SAABCVabsinCu^X4X5X^^=^^,

(//)'：c>b>a,

...△ABC為鈍角三角形時，必角C為鈍角,

a2+b2-c2=a2+(a+l)2-(a+2)2々

cosC=--2^

**?cr-2。-3V0,

???0Vq<3,

???三角形的任意兩邊之和大于第三邊,

*.a+h>c,即〃+〃+1>。+2,即〃>1,

???1VQV3,

???〃為正整數(shù)，

??〃=2.

19.(12分)在四棱錐。-A8C。中，底面ABCO是正方形，若A￡>=2,QD=QA=娓,

gC=3.

(I)求證：平面QAOJ_平面A8CD；

（II）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

【解答】（I）證明：中，8=40=2,QD=?QC=3,所以（7。2+。。2=。。2,

所以CDLQD；

又COJ_AO,ADQQD=D,ADu平面QA。，QOu平面QA。，所以CDJ_平面QA。；

又CDu平面ABCD,所以平面0AO_L平面ABCD.

（II）解：取AQ的中點(diǎn)O,在平面ABC。內(nèi)作。r_LA。,

以00為y軸，OQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示:

1,0),Q(0,0,2),

因?yàn)?。xl.平面ADQ,所以平面ADQ的一個法向量為CL=（1,0.0）,

設(shè)平面8。。的一個法向量為8=(x,y,z),

由血=(-2,2,0),福=(0,-1,2),

得巧,%=0,即「2x+2y=0,

T*DQ=Ol-y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以6=(2,2,1)；

所以cos〈五，~X'=-J，"!！=2+*=2,

Ia6Iix-4+4+13

所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值為2.

3

22

20.（12分）己知橢圓C的方程為2—+2一=1人＞0）,右焦點(diǎn)為尸（血，0）,且離心

2,21

ab

率為返

3

（I）求橢圓C的方程；

（H）設(shè)例，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線x2+y2=〃2（》＞0）相切.證明：

N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN=?.

【解答】（I）解：由題意可得，橢圓的離心率￡=返，又cf歷，

a3

所以。=W，則廿=/-02=1,

2八

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-+y2=1；

3了

（ii）證明：先證明充分性，

若M,N,P三點(diǎn)共線時，設(shè)直線MN的方程為x=my+亞，

則圓心O（0,0）到直線的距離為=1，解得，〃2=1,

'x=iny+亞

聯(lián)乂方程組’1可得即后

x22（m2+3）y2+26'my-l=O4y?+2my-1=0，

+y=1

所以IMN|=V1+m2?":+16=&x^p-=V3;

所以充分性成立;

下面證明必要性,

當(dāng)眼可=?時，設(shè)直線MN的方程為x=ty+m,

此時圓心O（0,0）到直線的距離二1，則n?-e=1,

x=ty+m

聯(lián)立方程組＜2,可得(P+3)y^+ltmy+m2-3=0,

—+y=1

貝!J△=4An2-4(P+3)(加2-3)=12(r2-m2+3)=24,

224

因?yàn)镮MN|=71+t2-V3)

所以?=1,m2=2,

因?yàn)橹本€MN與曲線/+),2=后(x>0)相切，

所以〃?>0,則miR,

則直線MN的方程為乂=1了+亞恒過焦點(diǎn)F(V2-0)，

故M,N,F三點(diǎn)共線，

所以必要性得證.

綜上所述，M,N,尸三點(diǎn)共線的充要條件是|MN=遍.

21.(12分)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，

經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個

數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X

=/)=pi(i=O,1,2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(H)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

po+pix+p2%2+p3/=x的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)W1時，p=1,當(dāng)七(X)>1

時，P<1;

(III)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

【解答】(I)解:由題意,尸0=04Pi=0.3,尸2=0.2,-3=0.1,

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)證明：由題意可知，po+pi+〃2+p3=l,則E(X)=pi+2"2+3p3,

所以po+p=X,變形為po-(1-Pl)X+p2X2+/23X3=0,

所以pO+pT^+pVp-(p()+p2+〃3)冗=0，

即〃0(1-X)+p2X(X-1)+pyx(X-1)(X+1)=0,

即(X-1)[〃3/+(P2+P3)X-po]=O,

令f(%)=j73X2+(〃2+p3)X-pO,

則/(x)的對稱軸為_P^P1<0，

X=2P3

注意到/(O)=-po<O,/(1)=2p3+p2-po=pi+2P2+3p3-1=E(X)-1,

當(dāng)E(X)W1時，WO,/(x)的正實(shí)根xo2l,原方程的最小正實(shí)根p=l,

當(dāng)E(X)>1時，/(I)>0,f(x)的正實(shí)根xo<l,原方程的最小正實(shí)