理論力學之虛位移原理

內(nèi)容提要17-1.約束的分類約束的定義雙面約束與單面約束定常約束與非定常約束完整約束與非完整約束17-2.自由度與廣義坐標自由度廣義坐標17-3.虛位移與虛功虛位移虛功17-4.理想約束理想約束的定義光滑接觸面連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩質(zhì)點的無住重剛桿虛位移原理117-1.約束的分類(1)約束的定義當質(zhì)點或質(zhì)點系中的某些質(zhì)點運動時,受到某些事先給定的幾何上或運動學上的限制條件,這些限制條件稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的約束.例17-1.圓盤C在粗糙的平面上作純滾動.約束是指事先給定的限制條件.它與作用力,起始條件以及運動的其他條件無關.Cy=R表示圓盤C受到幾何上的限制.vc=R

表示圓盤C受到運動學上的限制.(xc=R)..2受有約束的質(zhì)點系為非自由質(zhì)點系.約束加于質(zhì)點或質(zhì)點系的限制條件,可以利用幾何學和運動學知識,寫成具體的數(shù)學表達式,這樣的數(shù)學表達式稱為約束方程.例18-2.曲柄連桿機構(gòu)的約束方程為:

x12+y12=r2(x1-x2)2+y12=l2

y2=0yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl

不受任何約束的質(zhì)點系為自由質(zhì)點系,它可以在主動力作用下作空間任意運動3右圖中擺錘A的約束方程為

x2+y2=l2在約束方程中用嚴格的等號表示的約束為雙面約束.這種約束如能限制物體向某一方向運動,則必能限制向相反方向運動.在約束方程中用不等號表示的約束為單面約束.這種約束只能限制物體某個方向的運動,而不能限制相反方向的運動.左圖中擺錘A的約束方程為

l2x2+y2xyOA(x,y)l

OyxA(x,y)l

(2)雙面約束與單面約束4如果約束方程中僅包含坐標或坐標與時間的,或包含坐標對時間的導數(shù)但能積分成有限形式的(P2:xc=R

),則這種約束稱為完整約束.如上面所舉各例.完整約束方程的一般形式為?

(x1,y1,z1,…xn,yn,zn,t)=0(

=1,2,…,s)如果在約束方程中不顯含時間t,既約束不隨時間而改變,這種約束稱為定常約束.如上面所舉二例.如左圖圓周的半徑隨時間改變,約束方程為x2+y2=(r+at)2如果在約束方程中顯含時間t,既約束隨時間而改變,這種約束稱為非定常約束.如上面舉例.(4)完整約束與非完整約束O(3)定常約束與非定常約束R5如果約束方程中不僅含有坐標,還含有坐標對時間的導數(shù),且這種含有坐標導數(shù)的方程不能積分成有限形式,則這種約束稱為非完整約束.其一般形式為因為完整約束方程中僅含坐標,它表現(xiàn)為對質(zhì)點系的幾何位置起限制作用,所以這種約束又稱為幾何約束.因為非完整約束方程中包含有速度投影量,它僅表現(xiàn)為對質(zhì)點速度所加的限制,所以這種約束又稱為運動約束.?

(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn;t)=0(

=1,2,…,s)本單元內(nèi)容只涉及定常的,雙面的完整約束.6解:由質(zhì)點距離不變的條件寫出M1

和M2的約束方程(x1-x2)2+(y1-y2)2=l2

由點C的速度vc必須沿桿的方向的條件寫出約束方程或oxycM1(x1,y1)M2(x2,y2)vc

圖1-6例題17-3.平面上兩個質(zhì)點M1和M2

質(zhì)量相等.由一長為l不計質(zhì)量的剛

性桿連接,運動中桿中點C的速度

只可以沿著桿的方向如圖所示.寫出

質(zhì)點M1和M2及中點C的約束方程.yc=(y1+y2)/2xc=(x1+x2)/2tg

=(y1-y2)/(y1-y2)(非完整約束}717-2.自由度與廣義坐標(1)自由度在完整約束的條件下,用來確定質(zhì)點系在空間的位置所需獨立坐標的個數(shù),稱為質(zhì)點系的自由度.一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系在平面內(nèi)的位置,在直角坐標系中需用2n個坐標來確定.如果質(zhì)點系受有s個完整約束,則質(zhì)點系的2n個坐標必須滿足s個約束方程.因此質(zhì)點系只有k=2n-s個坐標是獨立的.例題17-4.確定右圖所示系統(tǒng)的自由度.yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl

xo=0yo=0yB=0xA2+yA2=r2(xA-xB)2+yA2=l2

k=2

3-5=18例題17-5.求右圖所示雙擺的自由度.系統(tǒng)由3個質(zhì)點組成,受4個約束xO=0yO=0xA2+yA2=l12(xA-xB)2+(yA-yB)2=l22k=23-4=2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)

1

29(2)廣義坐標唯一地確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù),稱為廣義坐標.例題17-4.確定右圖的廣義坐標.xA

=l1sin

1yA

=l1cos1xB

=l1sin1+l2sin2yB

=l1cos1+l2cos2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)

1

2解:可取

1和

2為廣義坐標來確定系統(tǒng)的位置.這時A和B點的直角坐標與廣義坐標的關系為:10在一般情況下,若一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系,受s個定常的完整約束,則系統(tǒng)具有k=2n-s個自由度.如以q1,q2,…,qk

表示所選定的廣義坐標,則質(zhì)點系中任一質(zhì)點Mi的直角坐標可以表示為廣義坐標的函數(shù).x

i=xi

(q1,q2,…,qk)yi

=yi

(q1,q2,…,qk)

(i=1,2,…,n)ri=ri(q1,q2,…,qk)

(i=1,2,…,n)顯然質(zhì)點Mi的矢徑ri也可表示為廣義坐標的函數(shù)11例題領17炒-5已.準分別釋確定易下列喇結(jié)構(gòu)乘的自小由度櫻和廣雅義坐梯標.雄(孕1)徐長為l的剛濤桿.測(死2)蹦用三工根長漸為l的剛腥桿鉸矛接的酬三角鋪形賠結(jié)構(gòu)意.(撈3)揪用四棋根長看為l的剛飯桿鉸延接的思四邊構(gòu)形結(jié)資構(gòu).解:xyAB

(1爆)約初束方賢程為(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2自由索度為偷:k=2

2陜-1卡=評3廣義矛坐標狼為:x,y,

rA=xi+yjrB=模(x+lco謹s

)i+疼(y+lsi皆n

)jxy12(2險)約束方程舍為(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xC)2+(yA-yC)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由而度為長:k=才23-3腐=麻3廣義綱坐標岔為:x,y,

rA=xi+yjrB=狠(x+lco漸s

)i+繭(y+lsi擱n

)jrC=蒙[x+lco萍s(+膚60o)]i+素[y+lsi襯n(+覆60o)]j顯然斯用三勢根長韻為l的剛?cè)U鉸支接的擁三角屑形結(jié)系構(gòu)可寸以視勻為一財根剛浸桿.

xyABCxy13(3據(jù))約束方程卷為(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xD)2+(yA-yD)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由度為:k=24-4=4廣義丈坐標榆為:x、前y、、說

rA=xi+yjrB=戒(x+lco邁s

)i+遮(y+lsi瘡n

)jrC=芒[x+l(c土os

狡-厭si塑n停)]i+耍[y+l(s伐in+絕co頃s)]j(xC-xD)2+(yC-yD)2=l2rD=路(x-lsi到n

)i+架(y+lco垂s

)j

xyABCDxy1417墳-3借.虛覺位移嘉與虛沸功(一跨)虛平位移質(zhì)點羨或質(zhì)牌點系挖在給角定瞬問時,層為約曠束所美容許洋的任個何微小的固位移自,稱螺為質(zhì)騾點或瞇質(zhì)點汽系的蘇虛位襪移.帆記為r選.虛位姓移只毀是一消個幾械何概蝴念,付它完替全由瘋約束消的性日質(zhì)及其限圣制的偽條件墳所決型定.攔它只蠢是約幕束所艦容許布的可公能發(fā)明生而實辮際不代一定千發(fā)生恢的位雹移,孤它與券作用唇力無勇關,貧與時非間無關.斥它可兇以有辟多種物不同準的方凍向,陣它必娃須是仇微小頸量.實位框移是估質(zhì)點氧或質(zhì)刻點系瓣在力灰的作橋用下脅,在肆一定秩時間間隔王內(nèi)實蛇際發(fā)吉生的霸位移建.它冊有確憐定的仁方向老,它趨可以博是微小量嘴,也禽可以遭是有焰限量慎.15xy

AMO例題17岸-6.鉸叉接于挺光滑輔水平毯面上龍的直叨桿OA受力震如圖懷所示悄.畫丸出點A的實飯位移倘和虛球位移孕.drd

r1

1

2

r2在定韻常的拐幾何冬約束邀的情永形下拔,區(qū)約右束的宿性質(zhì)菠與時間裂無關受,龍微筍小的責實位搜移是譽虛位調(diào)移之擺一.xy

AMO16BA

r

r對于懼非定版常約遣束號,濕由于賴它的裹位置掏或形服狀隨傷時間而流改變稿,袍而虛過位移持與時郵間無疊關姐,域?qū)嵨讳N移卻誰與時間有早關悟,所脂以微湊小的奸實位罰移不殿再是桌虛位陡移之駕一.BAdr例題17忌-7俘.物址塊B擱置孩于三炸棱體A上,君摩擦慎不計霸.畫支出系絡統(tǒng)由繪靜止紐奉開始婚運動賓后物伐塊B的實姿位移緒和虛泡位移愈.171)幾何法在定浮常約禿束條騰件下刻,街微考小的撥實位患移是疾虛位壯移之軌一.領可以用勵求實判位移鋒的方韻法來坡建立挑質(zhì)點庭虛位助移之灶間的妄關系鄭.I

1

rB

rA

2

2例題萬17傍-8支.盼求四圖示亡機構(gòu)A點和B點的前虛位居移解:搭應北用幾犬何學之和運塊動學襯來求A點和B點的哲虛位集移

rA和

rBOA桿作說定軸廈轉(zhuǎn)動

rA=

1

(1)

AB桿作滾平面吼運動環(huán),I為瞬竊心

rA

=

2

(2)OAB18

2

=

1

rB

=

2

=

1當然也可魯以取

1的轉(zhuǎn)堅向為秘順時漢針轉(zhuǎn)壘向,峰畫出茄虛位基移圖巡壽得出蜂的紹

rA和rB的表削達式娃與轉(zhuǎn)慈向為框逆時掙針是鳴一致店的.由(幕1)逐(2滴)式得:I

1

rB

rA

2

2OAB19OAB2)解析法利用票廣義偽坐標尊的概蜂念,生可以余得到宣任意本質(zhì)點陣系中情各質(zhì)趁點的虛狂位移幅表示園為廣胸義坐沒標的票變分怨的關墳系式活.即獄解析柴法.解:xA=l1co賞s

yA=l1si籌n

xB=l1co岔s

+l2co蔑s

l1si球n

=l2si握n

xy

例題溉17你-9主.求億圖示柏機構(gòu)A點和B點的唐虛位白移.OA=l1紛;AB=l2宰.

xA=鉤-l1si賢n

城

yA=l1co串s

勸

變分混與微映分相驅(qū)似20

rA=i

xA+j

yA=l1(-isi編n

副+jco窮s)解

棍

rB=i

xB=i(-l1si賴n

鋼)[勺

模+眾c計tg漸

杏tg蘭

信

克]l1co斷s

團=l2co洗s

南

xB=憐-l1si別n

做-l2si掏n

疼

可以息證明莫用幾該何法絨和解丘析法鈔所得米的結(jié)峰果是塊一致血的.OABxy

21(二雄)虛功1)航力封作虛毅功

W=F

r=Fx

x+Fy

y2)前力矩昨或力寨偶矩蠶作虛儉功

W=MO(F)蘇

W=m

例題潛17倡-1笛0.枕計域算上噴圖中拍力偶垮矩作晨的虛象功解:

W=M

1

W=識-M

2

W=MI(F)甘

xy

AMO

r1

1

2

r22217-4.理進想約攤束以Ni表示藝質(zhì)點介系中貨質(zhì)點Mi的約斜束反碧力的閉合力君,

ri表示攪該質(zhì)仁點的決虛位跡移形,寶則質(zhì)討點系獄的理敘想約束跑條件賣可表糾示為

Ni·

ri=0(1酒)理林想