選修2-3獨(dú)立性檢驗(yàn)

3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)選修2-3

第三章統(tǒng)計(jì)案例授課教師：胡周明獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。吸煙有害健康！正常人的肺吸煙者的肺

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來考察這個(gè)問題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)

H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；

|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）

若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。判斷是否成立的規(guī)則如果，就判斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義

上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論“成立”錯(cuò)判成“不成立”的概率不會(huì)差過即有99%的把握認(rèn)為不成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對(duì)的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說明假設(shè)不合理的程度為1%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？

這僅需要確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值k大。此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為P().思考：

利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的等高條形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？表1-112x2聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d

若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過等高條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。在等高條形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大。

在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值；(3)如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立性檢驗(yàn)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表0.1%把握認(rèn)為A與B無關(guān)1%把握認(rèn)為A與B無關(guān)99.9%把握認(rèn)A與B有關(guān)99%把握認(rèn)為A與B有關(guān)90%把握認(rèn)為A與B有關(guān)10%把握認(rèn)為A與B無關(guān)沒有充分的依據(jù)顯示A與B有關(guān)，但也不能顯示A與B無關(guān)第一步：設(shè)H0：吸煙和患病之間沒有關(guān)系

患病不患病總計(jì)吸煙aba+b不吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d第二步：列出2×2列聯(lián)表

獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟第三步：計(jì)算第四步：查對(duì)臨界值表，作出判斷。P(k≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0