陶杰版材料科學(xué)基礎(chǔ)-第1章-晶體學(xué)基礎(chǔ)

第一章晶體學(xué)基礎(chǔ)1.1晶體的周期性和空間點陣1.2布拉菲點陣1.3晶向指數(shù)與晶面指數(shù)1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理1.5晶體的對稱性1.6極射投影一、晶體的基本概念二、晶體的基本性質(zhì)三、晶體學(xué)的主要研究內(nèi)容§1.1晶體的基本概念與性質(zhì)

凡是具有（非人工琢磨而成）幾何多面體形態(tài)的固體都稱之為晶體？一、晶體的基本概念無色水晶水晶晶簇黃鐵礦石鹽冰州石石榴石綠柱石金剛石螢石玻璃電氣石(碧璽)石墨人造剛玉

多晶晶體？軟玉晶體？翡翠1912年，X射線晶體衍射實驗成功，對晶體的研究從晶體的外部進(jìn)入到晶體的內(nèi)部。食鹽現(xiàn)已證明，一切晶體不論其外形如何，它的內(nèi)部質(zhì)點（原子、離子、分子）都在三維空間有規(guī)律排列。晶體：晶體是內(nèi)部質(zhì)點（原子、離子或分子）在三維空間呈周期性重復(fù)排列的固體。有些固體如玻璃、琥珀、松香等，它們的內(nèi)部質(zhì)點不作規(guī)則排列，稱為非晶體。即原子無規(guī)則堆積，也稱為“過冷液體”。

NaCl晶體結(jié)構(gòu)比較圖晶體與非晶體關(guān)系1.晶體與非晶體的區(qū)別：

a.根本區(qū)別：質(zhì)點是否在三維空間作有規(guī)則的周期性重復(fù)排列。

b.熔化時：晶體具有固定的熔點,而非晶體無明顯熔點,只存在一個軟化溫度范圍。

c.性能：晶體具有各向異性,非晶體呈各向同性。2.晶體與非晶體相互轉(zhuǎn)化如：玻璃長時間高溫加熱轉(zhuǎn)化為晶體玻璃；晶體在急冷條件下轉(zhuǎn)化為非晶體。玻璃調(diào)整內(nèi)部結(jié)構(gòu)基元的排列方式——晶體（退玻璃化或晶化）晶體——非晶體（玻璃化或非晶化）3.單晶體與多晶體

a.單晶體：質(zhì)點按同一取向排列。由一個核心（稱為晶核）生長而成的晶體

b.多晶體：通常由許多不同位向的小晶體(晶粒）所組成。

c.晶粒與晶粒之間的界面稱為晶界

d.多晶體材料一般顯示出各向同性——假等向性液晶:介于固態(tài)和液態(tài)之間的各向異性的流體。性質(zhì)上：既具有液體的可流動性、粘滯性，又具有晶體的各向異性結(jié)構(gòu)上：具有一維或二維近似有序晶，即分子按某一從優(yōu)方向排列平移無序或部分平移無序的液晶物質(zhì)的其它聚集形態(tài)準(zhǔn)晶是一種介于晶體和非晶體之間的固體。準(zhǔn)晶具有長程定向有序，然而又不具有晶體所應(yīng)有的平移對稱性，因而可以具有晶體所不允許的宏觀對稱性。物質(zhì)的其它聚集形態(tài)以色列人達(dá)尼埃爾·謝赫特曼以發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體贏得2011年度諾貝爾化學(xué)獎。伊朗某清真寺的建筑設(shè)計，類似準(zhǔn)晶的排列penrose瓷磚1、均勻性2、各向異性3、自限性4、對稱性5、最小內(nèi)能性二、晶體的基本性質(zhì)4、對稱性：在某些特定的方向上所表現(xiàn)出來的物理化學(xué)性質(zhì)完全相同，且具有固定的熔點；是指同一晶體中的相同部分或某種相同的性質(zhì)在不同的方向或位置上作有規(guī)律地重復(fù)。5、最小內(nèi)能性：在相同的熱力學(xué)條件下晶體與同種物質(zhì)的非晶質(zhì)體、液體、氣體相比較，其內(nèi)能最小。晶體學(xué)？1、均勻性：晶體不同部位的宏觀性質(zhì)相同；同一晶體的各部分的物理化學(xué)性質(zhì)相同。2、各向異性：在晶體中不同方向上有不同的性質(zhì)；同一晶體在不同方向上性質(zhì)有所差異。3、自限性：晶體具有自發(fā)地形成規(guī)則幾何外形的特征；是指晶體在適當(dāng)條件下可以自發(fā)地形成封閉的凸幾何多面體的性質(zhì)。云母、排隊、冰晶體生長學(xué)：研究晶體發(fā)生、成長機(jī)理和晶體的合成。幾何結(jié)晶學(xué)：研究晶體外形的幾何規(guī)律。晶體結(jié)構(gòu)學(xué)：研究晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的幾何規(guī)律、結(jié)構(gòu)型式和構(gòu)造的缺陷。晶體化學(xué)：主要研究晶體的化學(xué)成分和結(jié)構(gòu)的關(guān)系，并進(jìn)而探討成分、結(jié)構(gòu)與其性能和生成條件的關(guān)系。晶體物理學(xué)：研究晶體的物理性質(zhì)及其產(chǎn)生機(jī)理。三、晶體學(xué)的主要研究內(nèi)容好好學(xué)習(xí)天天向上本節(jié)重點掌握：1、概念：晶體2、晶體的基本性質(zhì)一、晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣二、單胞（單位平行六面體）三、布拉維點陣§1.2

空間點陣教學(xué)要求：1、掌握晶體空間點陣、晶面和晶向指數(shù)；2、掌握理想晶體和實際晶體的晶體結(jié)構(gòu)；3、了解合金相結(jié)構(gòu)。重點：3種典型的晶體結(jié)構(gòu)及晶體缺陷。

難點：晶體結(jié)構(gòu)與晶體缺陷。學(xué)時：共4學(xué)時。NaNO2一、晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣34

(a)晶體結(jié)構(gòu)

(b)結(jié)構(gòu)單元

(C)空間點陣兩個定義等同點：是指晶體結(jié)構(gòu)中占據(jù)相同位置和具有相同環(huán)境的一系列幾何點。CsCl結(jié)構(gòu)基元：是指晶體結(jié)構(gòu)中重復(fù)排列的基本單位。每個結(jié)構(gòu)基元化學(xué)組成相同、空間結(jié)構(gòu)相同、排列取向相同、周圍環(huán)境相同。1、原子（離子）的剛球模型原子中心位置鋼球模型—用鋼球代表空間排列的原子等。但難看清原子排列的規(guī)律和特點?？芍庇^地看出原子在各個方向的排列都是很規(guī)則的。怎么辦？晶胞

晶格：描述原子或原子團(tuán)在晶體中排列方式的幾何空間格架。

晶胞：從晶格中選取出來的一個能夠完全反映晶格特征的最小幾何單元。

陣點：將構(gòu)成晶體的原子或原子群抽象為純粹的幾何點。

空間點陣：將構(gòu)成晶體的原子等抽象為幾何點，得到一個由無數(shù)幾何點在三維空間規(guī)則排列而成的陣列-是數(shù)學(xué)上的抽象。2、點陣（晶格）模型晶體中原子堆垛、晶格和晶胞示意圖構(gòu)成晶體的基元在三維空間的具體排列方式。晶體結(jié)構(gòu)=空間點陣+基元注意：晶體結(jié)構(gòu)和空間點陣的區(qū)別空間點陣是晶體中質(zhì)點排列的幾何學(xué)抽象，用以描述和分析晶體結(jié)構(gòu)的周期性和對稱性。由于各陣點的周圍環(huán)境相同，它只能有14種類型。晶體結(jié)構(gòu)是晶體中實際質(zhì)點（原子、離子或分子）的具體排列方式。它們能組成各種類型的排列，因此，實際存在的晶體結(jié)構(gòu)類型是無限的。聯(lián)系：晶體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)基元與相應(yīng)空間點陣的結(jié)點在空間排列的周期一致看四種晶體點陣點群與點陣點的位置點群晶體結(jié)構(gòu)空間點陣+結(jié)構(gòu)基元單胞金屬晶體分子晶體原子晶體離子晶體

晶體結(jié)構(gòu)空間點陣單胞定義選取原則表征二、單胞（單位平行六面體）

構(gòu)成空間格子的具有代表性的基本單元（平行六面體）稱為單胞。將單胞作三維的重復(fù)堆砌就構(gòu)成了空間點陣。1、定義所選取的平行六面體應(yīng)能反映整個空間點陣的周期性和對稱性；在上述前提下，平行六面體棱與棱之間的直角應(yīng)最多；在遵循上兩個條件的前提下，平行六面體的體積應(yīng)最小。2、單胞的選取原則具有L44P的平面點陣單胞表征單位平行六面體的三根棱長a、b、c及其夾角α、β、γ是表示它本身的形狀、大小的一組參數(shù)，稱為點陣常數(shù)（或晶格常數(shù)）3、單胞的表征原點：單胞角上的某一陣點坐標(biāo)軸：單胞上過原點的三個棱邊x，y，z點陣參數(shù)：a，b，c，α，β，γXYZabc晶格常數(shù)a，b，c

軸間夾角α，β，γ晶軸X，Y，Z晶胞的幾何特征晶胞

：是指能夠反映整個晶體結(jié)構(gòu)特征的最小結(jié)構(gòu)單位。

由具體的有物理、化學(xué)屬性的物質(zhì)點所組成。

單胞：構(gòu)成空間格子的具有代表性的基本單元。

由不具有任何物理、化學(xué)特性的幾何點構(gòu)成聯(lián)系：一般情況下，晶胞的幾何形狀、大小與對應(yīng)的單胞是一致的，可由同一組晶格常數(shù)來表示。不區(qū)分圖示注意：晶胞與單胞的區(qū)別（了解）空間點陣晶胞單胞大晶胞NaCl晶體的晶胞，對應(yīng)的是立方面心格子晶格常數(shù)a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°空間點陣到底有多少種排列新方形式？按照“每個陣點的周圍環(huán)境相同”的要求，在這樣一個限定條件下，法國晶體學(xué)家布拉菲（A.Bravais）在1848年首先用數(shù)學(xué)方法證明，空間點陣只有14種類型，這14種空間點陣以后就被稱為布拉菲點陣。三、布拉維點陣1、單胞的形狀分類及其格子常數(shù)特點根據(jù)6個點陣參數(shù)間的相互關(guān)系，可將全部空間點陣歸屬7種晶系。晶系單胞形狀格子常數(shù)特點立方晶系

a=b=cα=β=γ=90°四方晶系（正方）

a=b≠cα=β=γ=90°六方晶系

a=b≠cα=β=90°γ=120°三方(菱方)晶系

a=b=cα=β=γ≠90°斜方(正交)晶系

a≠b≠cα=β=γ=90°單斜晶系

a≠b≠cα=γ=90°β＞90°三斜晶系

a≠b≠cα≠β≠γ≠90°Bravais晶系的格子常數(shù)特點根據(jù)平行六面體中結(jié)點的分布情況，又可以分為四種格子類型：原始格子（P）、底心格子（C）、體心格子（I）和面心格子（F）。原始格子底心格子體心格子面心格子2、單胞的結(jié)點分布類型：（P）（C）（I）（F）3、14種布拉維格子具體p1114種布拉菲空間點陣：包括簡單晶胞和復(fù)雜晶胞。三斜P三斜C單斜P正交P立方P立方I立方F六方H三方R四方P四方I正交C正交F正交I晶體結(jié)構(gòu)空間格子(14種)單胞(14種)晶胞晶系(7個)形狀、大小一致找等同點找代表找代表據(jù)點陣參數(shù)晶體劃分為好好學(xué)習(xí)天天向上本節(jié)重點掌握：1、概念：空間點陣；晶胞；點陣常數(shù)2、空間點陣及其要素3、Bravais晶系的格子常數(shù)特點一、晶向指數(shù)二、晶面指數(shù)三、六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)四、晶帶五、晶面間距晶向、晶面§1.3

晶向指數(shù)和晶面指數(shù)晶向：空間點陣中行列的方向代表晶體中原子排列的方向，稱為晶向。通過晶體中任意兩個原子中心連成直線來表示晶體結(jié)構(gòu)的空間的各個方向。晶面：通過空間點陣中任意一組結(jié)點的平面代表晶體中的原子平面，稱為晶面。晶向指數(shù)和晶面指數(shù)是分別表示晶向和晶面的符號，國際上用Ｍiller指數(shù)來統(tǒng)一標(biāo)定。晶面指數(shù)和晶向指數(shù)：表述不同晶面和晶向的原子排列情況及其在空間的位向。

∵不同的晶面和晶向上原子排列的疏密程度不同，原子間相互作用就不同

∴┒力學(xué)性能和理化性能也不同。2、求法1）建立坐標(biāo)系。以晶胞中待定晶向上的某一陣點O為原點，三條棱為坐標(biāo)軸，以晶胞的點陣常數(shù)a、b、c分別為x、y、z軸的長度單位，建立坐標(biāo)系。注意，坐標(biāo)原點的選取應(yīng)便于確定坐標(biāo)值。2）確定坐標(biāo)值。在待定晶向OP上確定距原點最近的一個結(jié)點P的坐標(biāo)值(x,y,z)3）化整并加方括號。將坐標(biāo)的比化為最小整數(shù)比，即x:y:z=u:v:w,把所得最小整數(shù)加以方括號，即得待定晶向OP的晶向指數(shù)[uvw]。如果u、v、w中某一數(shù)為負(fù)值，則將負(fù)號標(biāo)注在該數(shù)的上方。1、晶向指數(shù)：表示晶體中點陣方向的指數(shù)，由晶向上結(jié)點的

坐標(biāo)值決定。一、晶向指數(shù)設(shè)坐標(biāo)，求坐標(biāo)，化整數(shù)，列括號①設(shè)坐標(biāo)②求坐標(biāo)值③將所得坐標(biāo)值約成互質(zhì)整數(shù)（化整數(shù)），再加方括號[]。④若晶向指向坐標(biāo)負(fù)方向，則在晶向指數(shù)的這一數(shù)字之上冠以負(fù)號。[112](1,1/2,0)→求坐標(biāo)、化整數(shù)→晶向為[210][120](1)立方晶系的晶向指數(shù)[uvw]的確定方法A(1,0,1)，B(0,1,1)→求坐標(biāo)、化整數(shù)(-1,1,0)→晶向指數(shù)為例1：在晶胞里①建坐標(biāo)②定坐標(biāo)

③化整并加方括號

例2：（1/3，2/3，1）（1/3，2/3，1）1/3:2/3:1=1:2:3[123]練習(xí)立方晶向、晶面立方晶系一些重要晶向的晶向指數(shù)畫線3、晶向指數(shù)還有如下規(guī)律：（1）某一晶向指數(shù)代表一組在空間相互平行且方向一致的所有晶向。（2）若晶向所指的方向相反，則晶向數(shù)字相同符號相反。例：立方格子中<100>晶向族包括[100]、[010]、[001]、

[00]、[00]、[00]六個晶向。<111>晶向族包括[111]、[11]、[11]、[1]、

[]、[1]、[1]、[11]八個晶向。晶向族:任意交換指數(shù)的位置和改變符號后的所有指數(shù)。

1、晶面指數(shù)：表示晶體中點陣平面的指數(shù)，由晶面與三個

坐標(biāo)軸的截距值決定。2、求法1）建坐標(biāo)。以晶胞的某一陣點O為原點，三條棱為坐標(biāo)軸，以晶胞的點陣常數(shù)a、b、c分別為x、y、z軸的長度單位，建立坐標(biāo)系。注意，坐標(biāo)原點的選取應(yīng)便于確定截距，且不能選在待定晶面上。2）定截距。量出待定晶面在三個坐標(biāo)軸上的截距x,y,z。如果該晶面與坐標(biāo)軸平行，則其截距為∞。3）取倒數(shù)。取截距的倒數(shù)1/x,1/y,1/z。4）化整并加圓括號。將倒數(shù)比化為最小整數(shù)比，即1/x:1/y:1/z=h:k:l,把所得最小整數(shù)加以圓括號，即得待定晶面的晶面指數(shù)（hkl）。如果截距為負(fù)值，則將負(fù)號標(biāo)注在相應(yīng)指數(shù)的上方（hkl

）。密勒指數(shù)二、晶面指數(shù)例1：

晶面指數(shù)圖解(321)2，3，61/2，1/3，1/61/2︰1/3︰1/6=

3︰2︰1①建坐標(biāo)②

定截距③取倒數(shù)④

化整并加圓括號例2：練習(xí)立方1/2，1/3，2/32，3，3/2(463)①建坐標(biāo)②定截距③取倒數(shù)④化整并加圓括號2:3:3/2=4:6:3立方晶系中一些晶面的晶面指數(shù)

練習(xí)計算（1）一晶面在x、y、z軸上的截距分別為2a、3b、6c，求出該晶面的米勒指數(shù)；（2）一晶面在x、y、z軸上的截距分別為a/3、b/2、c，求出該晶面的米勒指數(shù)。練習(xí)：標(biāo)定晶面指數(shù)解：（2）h:k:l=1/1/3:1/1/2:1/1=3:2:1∴該晶面的米勒指數(shù)為（321）解：（1）h:k:l=1/2:1/3:1/6=3:2:1∴該晶面的米勒指數(shù)為（321）3、幾點說明①晶面指數(shù)（hkl）不是指一個晶面，而是代表著一組相互平行的晶面；②平行晶面的晶面指數(shù)相同，或數(shù)字相同而正負(fù)號相反，如(hkl)和（hkl）；1.hkl分別對應(yīng)xyz上的截距，不可互換2.若晶面與對應(yīng)坐標(biāo)平行，則在該坐標(biāo)上的指數(shù)為03.hkl表示沿三個坐標(biāo)單位長度范圍內(nèi)所含該晶面的個數(shù)，即晶面線密度。晶面指數(shù)規(guī)律：（1）某一晶面指數(shù)代表了在原點同一側(cè)的一組相互平行且無限大的晶面。(2)若晶面指數(shù)相同，但正負(fù)符號相反，則兩晶面是以點為對稱中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互相平行。{100}晶面族包括六個等同晶面（組合成立方體的6個面）{110}晶面族包括十二個等同晶面（組合成菱形十二面體的12個面）{111}晶面族包括八個等同晶面（組合成八面體的8個面）作業(yè)例：晶面指數(shù)的標(biāo)注截距——取倒數(shù)——化整數(shù)例：立方晶系晶面指數(shù)的標(biāo)注在晶體內(nèi)凡晶面間距和晶面上原子排列分布情況完全相同，只是空間位向不同的一組晶面的集合稱為晶面族。

在立方結(jié)構(gòu)中若晶面指數(shù)和晶向指數(shù)的指數(shù)和符號相同，則該晶向與晶面必定是互相垂直。如：[111]⊥（111）、[110]⊥（110）、[100]⊥（100）。Total:12{hkl}晶面族：等價晶面晶面族：任意交換指數(shù)的位置和改變符號后的所有結(jié)果。{110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)+(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT)晶面族中等價晶面的個數(shù)用于多晶x射線衍射中多重性因子的表示。立方晶系晶體Total:8Total:24{111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+

(TT1)+(1TT)+(T1T)＋(TTT)立方晶系：再加上以上各指數(shù)均取相反數(shù)的符號。立方晶系：Total:48再加上以上各指數(shù)均取相反數(shù)的符號。六方原始格子組成的大晶胞（由3個底面為菱形的柱體拼成）不能三、六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)

用三個指數(shù)表示晶面和晶向的方法原則上適用于任意晶系。對六方晶系，取

a，b，c為晶軸，而

a

軸與

b

軸的夾角為120°，c

軸與

a，b軸相垂直，如右圖所示。

但是，用三指數(shù)表示六方晶系的晶面和晶向有一個很大的缺點，即晶體學(xué)上等價的晶面和晶向不具有類似的指數(shù)。這一點可以從上圖看出。圖中六棱柱的兩個相鄰表面（紅面和綠面）是晶體學(xué)上等價的晶面，但其密勒指數(shù)（MillerIndices）卻分別是110和(100)。圖中夾角為60°的兩個密排方向D1和D2是晶體學(xué)上的等價方向，但其晶向指數(shù)卻分別是[100]和[110]。

由于等價晶面或晶向不具有類似的指數(shù)，人們就無法從指數(shù)判斷其等價性，也無法由晶面族或晶向族指數(shù)寫出它們所包括的各種等價晶面或晶向，這就給晶體研究帶來很大的不便。為了克服這一缺點，或者說，為了使晶體學(xué)上等價的晶面或晶向具有類似的指數(shù)，對六方晶體來說，就得放棄三指數(shù)表示，而采用四指數(shù)表示。

四指數(shù)表示是基于4個坐標(biāo)軸：a1，a2，a3

和

c軸，其中，a1，a2和

c軸就是原胞的

a，b

和c

軸，而

a3=-(a1+a2)。下面就分別討論用四指數(shù)表示的晶面及晶向指數(shù)。

六方晶系晶面指數(shù)的標(biāo)定原理和方法同立方晶系中的一樣，步驟如下：（1）先找出該面在四個坐標(biāo)軸上的截距長度（以晶胞的點陣常數(shù)a,c為單位長）；

（2）求其倒數(shù)并化為最簡整數(shù)，即得(hkil)指數(shù)，這樣得到的晶面指數(shù)稱為米勒指數(shù)。

六方晶系晶面指數(shù)標(biāo)定根據(jù)六方晶系的對稱特點，對六方晶系采用a1，a2，a3及c四個晶軸，a1，a2，a3之間的夾角均為120度，這樣，其晶面指數(shù)就以(hkil）四個指數(shù)來表示。

根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨立的坐標(biāo)軸最多不超過三個。前三個指數(shù)中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關(guān)系：可以證明:i≡－(h＋k)a3＝一(a1+a2)六方晶體中常見的晶面(1)平移晶向(或坐標(biāo))，讓原點為晶向上一點，取另一點的坐標(biāo);(2)必須滿足u+v+t＝0，或t=－(u+v)。標(biāo)定方法：晶向指數(shù)晶向指數(shù)[uvtw]

四個指數(shù)來表示。(3)化成最小、整數(shù)比u：v：t：w(4)放在方括號中[uvtw]，不加逗號，負(fù)號記在上方

。

六方晶系中，三軸指數(shù)和四軸指數(shù)的相互轉(zhuǎn)化三軸晶向指數(shù)[UVW]四軸晶向指數(shù)[uvtw]三軸晶面指數(shù)(hkl)四軸晶面指數(shù)(hkil)i＝－(h+k)。

指數(shù)變換

三指數(shù)→四指數(shù).

四指數(shù)→三指數(shù)設(shè)一個矢量的3軸下指數(shù)為[UVW],四軸下矢量為[uvtw].由于三軸指數(shù)與四軸指數(shù)描述的為同一個晶向，所以有∵幾何關(guān)系等價性要求or:Forexample:四.晶帶與晶帶符號晶帶和晶帶軸——平行或相交于同一直線的所有晶面構(gòu)成一個晶帶，此直線稱為它們的晶帶軸。屬此晶帶的晶面稱為晶帶面。晶體上彼此交棱相互平行的一組晶面的組合構(gòu)成一個晶帶。[001]如：NaCl的立方體晶體，（010）、（001）、（00）、（00）組成一個晶帶；（001）、（100）、（00）、（00）組成一個晶帶；（100）、（010）、（00）、（00）組成一個晶帶。晶帶軸是指用以表示晶帶方向的一根直線，它通過晶體中心，平行于該晶帶的所有晶面的交棱。晶帶用晶帶軸的晶向符號表示。[uvw]必須注意：雖然晶帶符號與晶向符號是同樣形式的一個符號，但作為晶向符號時，它只代表一個晶棱方向；而作為晶帶符號時，它代表與此晶棱方向平行的一組晶面。通過晶帶定理可以求晶向指數(shù)或晶面指數(shù)：

a)

兩不平行的晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的晶帶軸[uvw]。

b)

二晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]所決定的晶面。晶帶定律(zonelaw)：同一晶帶上晶帶軸[uvw]和該晶帶的晶帶面（hkl）之間存在以下關(guān)系：

hu+kv+lw=0凡滿足此關(guān)系的晶面都屬于以[uvw]為晶帶軸的晶帶，此關(guān)系式稱作晶帶定律。晶帶定律的運算和應(yīng)用

h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

解出：

u:v:w=①由晶面（h1k1l1）和晶面（h2k2l2）求晶帶軸.（h1k1l1）（h2k2l2）[uvw]

如有兩個晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）同屬于某一個晶帶[uvw]，則u、v、w值唯一，也就是說兩個不平行的晶面不可能同屬于兩個晶帶。因為如另有一個晶帶[rst]包含此兩個晶面，那么由晶帶定義，(h1k1l1)與(h2k2l2)有一交線屬于[uvw]晶帶，另有一交線屬于[rst]晶帶，即兩個晶面有兩個交線，這是不可能的，所以它們只能同屬一個晶帶。反過來，同理可得：兩個晶帶不可能同時包含兩個不平行的晶面。

hu1＋kv1＋lw1=0

hu2＋kv2＋lw2=0

解出：h:k:l=②由晶向[u1v1w1]和晶向[u2v2w2]求晶面：[u1v1w1][u2v2w2](hkl)晶向指數(shù)[uvw]、[uvtw]晶向族

<uvw>

晶面指數(shù)（hkl）、(hkil)晶面族

{hkl}

晶帶軸：[uvw]晶帶面網(wǎng)密度：指面網(wǎng)上單位面積內(nèi)結(jié)點的數(shù)目晶面間距：指相鄰兩個平行晶面之間的距離，用dhkl表示(100)(120）(410)(010)五、晶面間距不同晶面族的晶面間距不相同。同一晶面族的原子排列方式相同，晶面間的間距相同。晶面間的面間距越大，該晶面上的原子排列越密集，否則越疏。低指數(shù)的晶面面間距較大，高指數(shù)的晶面間距則較小。晶面間距與點陣常數(shù)的關(guān)系：正交和四方晶系由晶面指數(shù)可求出面間距dhkl更復(fù)雜h、k、l為晶面指數(shù)（hkl），a、b、c為點陣常數(shù)，α、β、γ為晶面法線方向與晶軸夾角。三斜單斜晶面間距推導(dǎo)101如何計算晶面間距？設(shè)ABC是為距原點最近的晶面，其在x、y、z三軸上的截距分別為p、q、r。則有：102由圖可得:連比可得:

或103截距分別表示為:則或104對直角坐標(biāo)系所以，正交晶系的晶面間距計算公式為:對立方晶系，由于a＝b＝c，故上式可簡化為:例某斜方晶體的a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,計算d110和d200。d110=4.11?,d200=3.71?好好學(xué)習(xí)天天向上本節(jié)重點掌握：1、晶向指數(shù)及晶面指數(shù)的標(biāo)定2、六方晶系的晶面指數(shù)的標(biāo)定3、概念：晶向族、晶面族、晶帶、晶面間距一、晶體的宏觀對稱要素二、32種點群三、晶體的理想形狀四、晶體的微觀對稱要素五、230種空間群總結(jié)晶體的

宏觀對稱性晶體的

微觀對稱性§1.4晶體的對稱性對稱的概念：對稱是指物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)不對稱的圖形蝴蝶、花冠和建筑物的對稱對稱的條件：⑴物體或圖形有相同部分；⑵這些相同部分有規(guī)律地重復(fù)。晶體對稱的特點：

晶體是具有對稱性的，晶體外形的對稱表現(xiàn)為相同的晶面、晶棱和角頂作有規(guī)律的重復(fù)，這是晶體的宏觀對稱。

①微觀對稱：由于晶體內(nèi)部都具有格子構(gòu)造，而格子構(gòu)造本身就是質(zhì)點在三維空間周期重復(fù)的體現(xiàn)。因此，所有的晶體都具有晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對稱，即微觀的對稱。

②晶體的對稱受格子構(gòu)造性質(zhì)的限制：也就是說只有符合格子構(gòu)造特征的對稱才能在晶體上體現(xiàn)。因此，晶體的對稱是有限的，它遵循“晶體對稱定律”。

③晶體的對稱不僅體現(xiàn)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和幾何外形上，同時也體現(xiàn)在物理性質(zhì)(如光學(xué)、力學(xué)、熱血、電學(xué)性質(zhì)等)上，也就是說晶體的對稱不僅包含著幾何意義，也包含著物理意義。

基于以上特點，所以晶體的對稱性是晶體的最重要特征，也可以把它作為晶體分類的最好依據(jù)。要素？目錄對稱操作：是指欲使物體或圖形中相同部分重復(fù)

出現(xiàn)的操作（反伸、旋轉(zhuǎn)、反映）。對稱要素：在進(jìn)行對稱操作時所憑借的幾何要素

（點——反演中心線——旋轉(zhuǎn)軸面——對稱面）一、晶體的宏觀對稱要素晶體外形上可能存在的對稱要素：1、對稱面m（P）2、對稱軸n（Ln）3、對稱中心i（C）4、旋轉(zhuǎn)反伸軸n（Lin）5、旋轉(zhuǎn)反映軸（Lsn）例：立方體的九個對稱面對稱面是把晶體平分為互為鏡像的兩個相等部分的假想平面。相應(yīng)對稱操作是對一個平面的反映。

必定過晶體幾何中心。

1、對稱面（m）2、對稱軸（Ln）

對稱軸是通過晶體中心的一根假想直線。相應(yīng)的對稱操作是圍繞一根直線的旋轉(zhuǎn)。例立方體的對稱軸幾個概念旋轉(zhuǎn)一周，晶體的相同部分重復(fù)的次數(shù)稱為軸次（n）；重復(fù)時所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角（α）；n=360°／α。晶體的對稱軸必定通過晶體的幾何中心。晶體外形上可能出現(xiàn)的對稱軸有L1（無實際意義）L2、L3、L4、L6，相應(yīng)的基轉(zhuǎn)角分別為360°、180°、120°、90°、60°。軸次高于2的對稱軸稱為高次軸。軸次定律晶體對稱定律：在晶體中不可能存在五次及高于六次的對稱軸。因為不符合空間格子規(guī)律?！痢痢罜1次對稱軸，習(xí)慣符號位L1（無實際意義），國際符號為1，n=1，α=360°；2次對稱軸，習(xí)慣符號位L2，國際符號為2，n=2，α=180°，晶體旋轉(zhuǎn)180°以后等于部分會重復(fù)，旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)2次；3次對稱軸，習(xí)慣符號位L3，國際符號為3，n=3，α=120°，晶體旋轉(zhuǎn)120°以后等同部分會重復(fù)，旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)3次；4次對稱軸，習(xí)慣符號位L4，國際符號為4，n=4，α=90°，晶體旋轉(zhuǎn)90°以后等同部分會重復(fù)，旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)4次；6次對稱軸，習(xí)慣符號位L6，國際符號為6，n=6，α=60°，晶體旋轉(zhuǎn)60°以后等同部分會重復(fù)，旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)6次。2、對稱軸（Ln）

3、對稱中心（i）

對稱中心：是晶體內(nèi)部的一個假想點，通過該點作任意直線,則在此直線上距對稱中心等距離的兩端，必定可以找到對應(yīng)點。用符號i表示。相應(yīng)對稱操作是對一個點的反伸。對稱中心必然位于晶體中的幾何中心。判據(jù)--所有晶面必然兩兩反向平行相等。

晶體中可以有一個對稱中心，也可以沒有對稱中心。晶體中如果存在對稱中心，則所有晶面必然兩兩反向平行相等。用它可以作為判斷晶體有無對稱中心的判據(jù)。旋轉(zhuǎn)反伸軸是一根假想的直線，當(dāng)晶體圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再對此直線上的一個點進(jìn)行反演，才能使晶體上的相等部分重復(fù)。相應(yīng)的對稱操作是圍繞一根直線的旋轉(zhuǎn)一定角度360°/n，再以軸上的一個中心點作反演的復(fù)合操作。4、旋轉(zhuǎn)-反演軸（Lin）

例：具有Li4的四方四面體旋轉(zhuǎn)-反演軸以Lin表示，n為軸次，i為反演。軸次n可為1、2、3、4、6。相應(yīng)的基轉(zhuǎn)角分別為360°、180°、120°、90°、60°。

除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反演軸都可用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替：

Li1次旋轉(zhuǎn)-反演軸就是對稱中心，用i表示，即Lin＝i；

Li2次旋轉(zhuǎn)-反演軸就是垂直于該軸的對稱面，用m表示，即Li2＝m；

Li3＝L3＋i；

Li6＝L3＋m⊥

Li1＝i；Li2＝m；Li3＝L3＋i；Li4

、Li6＝L3＋m⊥綜上所述，晶體可能存在的獨立的宏觀對稱要素有8個：對稱中心：i(Li1)對稱

面：m(Li2)對稱

軸：L1、L2、L3、L4、L6旋轉(zhuǎn)反伸軸：Li4、Li3、Li6表總結(jié)1、32種點群2、晶體的對稱分類3、點群的國際符號二、32種點群在結(jié)晶多面體中，可以有一個對稱元素單獨存在，也可以有若干對稱元素組合同時存在。對稱元素的組合不是任意的，必須遵循對稱元素的組合規(guī)律。結(jié)晶多面體中全部對稱要素的組合，稱為該結(jié)晶多面體的對稱型。由于在結(jié)晶多面體中，全部對稱要素相交于一點（晶體幾何中心），在進(jìn)行對稱操作時該點不移動，所以對稱型也稱為點群。由八種對稱元素的不同組合可以形成各種晶體的宏觀對稱性，但是，由于晶體不但有對稱性，還具有周期性，所以，根據(jù)結(jié)晶多面體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對稱型共有32種，即32種點群。(見下表）1、32種點群名稱原始式倒轉(zhuǎn)原始式中心式軸式面式倒轉(zhuǎn)面式面軸式n=1L1CL2PL2PCn=2(L2)(L2PC)3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L4PCL44L2L44PLi42L22PL44L25PCn=6L6Li6L6PCL66L2L66PLi63L23PL66L27PC3L24L33L24L33PC3L44L36L23Li44L36P3L44L36L29PC晶體的32種點群晶體是根據(jù)其對稱特點進(jìn)行分類的，方法如下：①根據(jù)點群中有無高次軸及高次軸的多少，把32個對稱型劃分為低、中、高級三個晶族。

低級晶族：無高次軸中級晶族：有且只有一個高次軸高級晶族：有多個高次軸②在每一個晶族中又按照其對稱特點共劃分為7個晶系，即低級晶族有三斜晶系、單斜晶系和斜方晶系；中級晶族有四方晶系、三方晶系和六方晶系；高級晶族只有一個晶系，即等軸晶系。2、晶體的對稱分類32種點群及晶體的分類表無高次軸續(xù)表有且只有一個高次軸續(xù)表(432)單復(fù)六方雙錐晶類偏方復(fù)十二面體有多個高次軸3、點群的國際符號(P7)①晶體的定向②點群的國際符號的表示方法③根據(jù)點群的國際符號判斷所屬晶系

晶體定向：在晶體上通過晶體中心選定坐標(biāo)軸（晶軸）晶軸及軸角六方晶系的晶軸晶軸的選擇原則：應(yīng)符合晶體所固有的對稱性?！琇,⊥P,‖晶棱上述前提下，盡可能使晶軸相互垂直或趨于垂直。①晶體的定向晶系選軸原則等軸晶系以相互垂直的L4、Li4或L2為a、b、c軸四方晶系以L4或Li4為c軸，以垂直c軸并相互垂直的兩個L2或P的法線為a、b軸；當(dāng)無L2或P時，a、b軸平行晶棱選取三、六方晶系以L6、Li6、L3為c軸，以垂直c軸并彼此相交為120°的三個L2或P法線為a、b、d軸；當(dāng)無L2或P時，a、b、d軸平行晶棱選取斜方晶系以相互垂直的3L2為a、b、c，在L22P對稱型中以L2為c軸，以2P法線為a、b軸單斜晶系以L2或P的法線為b軸，以垂直b軸的主要晶棱方向為c及a軸三斜晶系以不在同一平面內(nèi)的三個主要晶棱方向為a、b、c軸各晶系選擇晶軸的原則點群的國際符號是國際上通用的對稱型表示符號，用1到3個方向上所具有的對稱要素來表示，這3個方向稱為3個位。在點群的國際符號中所采用的基本對稱要素為對稱面、對稱軸和旋轉(zhuǎn)反演軸，一般不列出對稱中心。

對稱面：m

對稱軸：1、2、3、4、6

旋轉(zhuǎn)反演軸：1、3、4、6

(其中，1＝C，故常用“1”表示對稱中心)②點群的國際符號的表示方法各晶系點群的國際符號中各序位所代表的方向國際符號中的位序123等軸晶系aa+b+ca＋b三方及六方晶系ca2a＋b四方晶系caa＋b斜方晶系abc單斜晶系b三斜晶系任意方向國際符號中的位序123等

軸平行立方體的棱,即a軸方向（a）平行立方體的對角線，即三次軸方向（a+b+c）平行立方體面的對角線，即a、b軸之間（a+b）三方及六方晶系六次或三次軸，即c軸方向（c）與六次軸垂直的的a軸方向（a）與六次軸垂直，并與位2的方向成30o角（2a+b）四方晶系四次軸，即c軸方向（c）與四次軸垂直的a軸方向（a）與四次軸垂直，并與位2的方向成45o角（a+b）斜方晶系a軸方向（a）b軸方向（b）c軸方向（c）單斜晶系b軸方向（b）三斜晶系任意方向各晶系點群的國際符號中各序位所代表的方向（具體）記記七晶系模型3具體表示方法：寫出與該方向平行的對稱軸或旋轉(zhuǎn)反演軸，或與該方向垂直的對稱面。如果兩類對稱要素在某一方向上同時存在，則寫成分式的形式，例如，（通常寫成4/m）。如果某一個位對應(yīng)的方向上，不存在對稱要素時，則將該位置空著。

優(yōu)點：⑴簡明；⑵對稱要素的空間方位清楚。32種點群及晶體的分類表**下有橫線者為較常見的重要點群2/m2/m2/m*4/m2/m2/m簡化為4/mmm*續(xù)表或L3i32/m續(xù)表*6/m2/m2/m簡化；**2/m3簡化*(432)**單復(fù)六方雙錐晶類偏方復(fù)十二面體4/m32/m⑴高級晶族：第二位是3或的為等軸晶系。⑵中級晶族：首位是4或者為四方晶系；首位是3或者為三方晶系；首位是6或者為六方晶系。⑶根據(jù)低級晶族的對稱特點判斷其晶系，無2或m的為三斜晶系；2或m不多于一個的為單斜晶系；2或m多于一個的為斜方晶系。

③根據(jù)點群的國際符號判斷所屬晶系

三、晶體的理想形狀1、單形

2、聚形

(1)概念:

單形是借助對稱型中全部對稱要素的作用導(dǎo)出的相互重復(fù)的一組晶面?；蛴蓪ΨQ要素聯(lián)系起來的一組晶面的總和注：同一單形的所有晶面在理想生長條件下同形、等大。

常見的單形有：四面體、立方體、八面體、菱形十二面體、五角十二面體、四角三八面體、菱面體、復(fù)三方偏三角面體、三方單錐、三方柱、六方柱、六方雙錐、平行雙面、四方柱、四方雙錐、斜方雙錐、斜方柱等

1、單形(2)單形的推導(dǎo)推導(dǎo)方法：將一個原始晶面置于對稱型中，通過對稱型中全部對稱要素的作用，導(dǎo)出一個單形的全部晶面。冰洲石的菱面體晶體以L22P對稱型為例位置1：原始晶面垂直于L2和2P。通過L2和2P作用不能產(chǎn)生新面，這一晶面就構(gòu)成一個單形——單面。位置2、3：原始晶面平行L2和其中一個P，而垂直另一個P。通過對稱要素的作用——平行雙面。位置4、5：原始晶面與L2及一個P斜交，與另一P垂直——雙面位置6：原始晶面與L2平行，與2P斜交——斜方柱位置7：原始晶面與L2及2P都斜交——斜方單錐用單形形狀命名：如六方柱、三方雙錐用晶面形狀和數(shù)量命名：如菱形十二面體、八面體、四角三八面體等.(3)47種幾何單形單形名稱四十七種幾何單形

a.低級晶族共有7種單形：單面、平行雙面、雙面、斜方柱、斜方四面體、斜方單錐、斜方雙錐。

b.中級晶族共有25種單形，分成六組：柱體組、單錐體組、雙錐體組、四方四面體和復(fù)三方偏三角面體組、菱面體與復(fù)三方偏三角面體組、偏方面體組。

c.高級晶族共有15種單形，分為三組：四面體組、八面體組、立方體組。

低級晶族的單形——共有七種4.斜方柱5.斜方四面體6.斜方單錐7.斜方雙錐1.單面3.雙面2.平行雙面A、單面，晶面為一個平面。

B、平行雙面，晶面為一對相互平行的平面。

C、雙面，又分反映雙面及軸雙面，為一對相交平面。

D、斜方柱，由四個兩兩平行的晶面組成，晶棱平行，橫切面為菱形。

E、斜方單錐，四個全等不等邊三角形組成，晶面相交于一點，底面為菱形，錐頂為L2出露點。

F、斜方四面體，由四個全等不等邊三角形組成，晶面互不平行，每棱的中點為L2出露點，通過晶棱中點的橫切面為菱形。

G、斜方雙錐，由兩個相同的斜方單錐底面對接而成。中級晶族的單形——除垂直高次軸可以出現(xiàn)單面或平行雙面之外，尚可出現(xiàn)25種單形。A、柱類：三方柱、復(fù)三方柱、四方柱、復(fù)四方柱、六方柱、復(fù)六方柱共計六種。8.三方柱10.四方柱12.六方柱9.復(fù)三方柱11.復(fù)四方柱13.復(fù)六方柱橫截面B、單錐類：三方單錐、復(fù)三方單錐、四方單錐、復(fù)四方單錐、六方單錐、復(fù)六方單錐共計6種。

14.三方單錐16.四方單錐18.六方單錐15.復(fù)三方單錐17.復(fù)四方單錐19.復(fù)六方單錐橫截面開形C、雙錐類：三方雙錐、復(fù)三方雙錐、四方雙錐、復(fù)四方雙錐、六方雙錐、復(fù)六方雙錐共計6種。

20.三方雙錐22.四方雙錐25.復(fù)六方雙錐21.復(fù)三方雙錐23.復(fù)四方雙錐24.六方雙錐橫截面D、四方四面體與復(fù)四方偏三角面體26.四方四面體28.復(fù)四方偏三角面體Li42L22PLi42L22P27.菱面體29.復(fù)三方偏三角面體L33L23PcL33L23PcE、菱面體與

復(fù)三方偏三角面體D、四面體類有兩種。四方四面體由四個互不平行的等腰三角形組成，相間二晶面的底相交，棱的中點為L2或Li4的出露點，通過腰中點的橫切面為正方形。

復(fù)四方偏三角面體將四面體的晶面平分為兩個不等邊三角形，對稱要素的分布同四面體，過中心的橫切面為復(fù)四邊形。E、菱面體類有兩種。菱面體，由六個兩兩平行的菱形晶面組成，上下錯開60度。復(fù)三方偏三角面體，將菱面體晶面沿高次軸方向平分成兩個三角形。30.三方偏方面體32.六方偏方面體31.四方偏方面體左形右形左形右形左形右形F、偏方面體類：偏方面體，晶面為偏四方形，與雙錐類似，上下與高次軸各交于上一點，但錯開一定角度，此類有：三方偏方面體，四方偏方面體，六方偏方面體。且分左右形。分別由6、8、12個晶面組成，通過中心橫切面分別為復(fù)三方形、復(fù)四方形和復(fù)六方形。38.八面體39.三角三八面體40.四角三八面體41.五角三八面體42.六八面體左形右形A、八面體類高級晶族的單形（15種）B、八面體組由八個等邊三角形組成，晶面分割方式與四面體組完全相同。有八面體、三角三八面體、四角三八面體、五角三八面體、六八面體。33.四面體34.三角三四面體35.四角三四面體36.五角三四面體37.六四面體左形右形B、四面體類四面體組：晶面為四個等邊三角形或?qū)⒌冗吶切畏指畛扇齻€或六個三角形、四邊形、五邊形、晶面垂直L3，晶棱中點垂直L2或Li4.有四面體，三角三四面體，四角三四面體，五角三四面體，六四面體。C、立方體類43.立方體44.四六面體D、十二面體類45.菱形十二面體46.五角十二面體47.偏方復(fù)十二面體C、立方體組由六個正方形晶面組成，晶棱以直角相交。有立方體及四六面體兩種。D、十二面體組

菱形十二面體，由12個菱形晶面組成，兩平行，相鄰晶面成120度或90度相交。

五角十二面體