矩形菱形和正方形

矩形菱形和正方形精選考點專項突破卷（一）考試范圍：矩形菱形和正方形；考試時間：90分鐘；總分：120分一、單選題（每小題3分，共30分)1．（2018·上海中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC2．（2019·上海中考真題）下列命題中，假命題是（）A．矩形的對角線相等B．矩形對角線交點到四個頂點的距離相等C．矩形的對角線互相平分 D．矩形對角線交點到四條邊的距離相等3．（2011·湖南中考真題）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角互補4．（2019·山東中考真題）如圖，點是正方形的邊上一點，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置．若四邊形AECF的面積為20，DE=2，則AE的長為（）A．4 B． C．6 D．5．（2012·天津中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）A． B． C． D．6．（2015·湖北中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝ D．AF＝EF7．（2012·浙江中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．1 B． C．2 D．＋18．（2015·浙江中考真題）如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60°，則花壇對角線AC的長等于（）A．63米 B．6米 C．33米 D．3米9．（2018·甘肅中考真題）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE=2，則AE的長為（）A．5 B． C．7 D．10．（2018·山東中考真題）矩形ABCD與CEFG，如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，則GH=（）A．1 B． C． D．二、填空題（每小題4分，共28分)11．（2014·廣西中考真題）直角三角形的兩條直角邊長為6，8，那么斜邊上的中線長是____．12．（2016·青海中考真題）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，若EF=2，則菱形ABCD的周長是__．13．（2015·廣西中考真題）如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊△ADE，則∠BED的度數(shù)為_____°．14．（2013·北京中考真題）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為.15．（2015·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標為(10，8），則點E的坐標為.16．（2018·廣東中考真題）如圖，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（3，0），（﹣2，0），點D在y軸上，則點C的坐標是_____．17．（2005·江蘇中考真題）如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB延長線交于點E．則四邊形AECF的面積是．三、解答題一（每小題6分，共18分)18．（2013·山東中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE=CE．19．（2018·遼寧中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O．過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E．（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面積是．20．（2013·江蘇中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若（1）中所作的角平分線交AD于點E，AF⊥BE，垂足為點O，交BC于點F，連接EF．求證：四邊形ABFE為菱形．四、解答題二（每小題8分，共24分)21．（2015·湖北中考真題）如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點D．（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．22．（2015·甘肅中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①當AE=cm時，四邊形CEDF是矩形；②當AE=cm時，四邊形CEDF是菱形；（直接寫出答案，不需要說明理由）23．（2015·湖南中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，現(xiàn)按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，a為半徑（a＞AC）作弧，兩弧分別交于M，N兩點；②過M，N兩點作直線MN交AB于點D，交AC于點E；③將△ADE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180°，設(shè)點D的像為點F．（1）請在圖中直線標出點F并連接CF；（2）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；（3）當∠B為多少度時，四邊形BCFD是菱形．五、解答題三（每小題10分，共20分)24．（2013·湖南中考真題）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．（1）求證：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．25．（2018·吉林中考真題）在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結(jié)BE．（感知）如圖①，過點A作AF⊥BE交BC于點F．易證△ABF≌△BCE．（不需要證明）（探究）如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC于點F，交AD于點G．（1）求證：BE=FG．（2）連結(jié)CM，若CM=1，則FG的長為．（應(yīng)用）如圖③，取BE的中點M，連結(jié)CM．過點C作CG⊥BE交AD于點G，連結(jié)EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為。矩形菱形和正方形精選考點專項突破卷（一）參考答案1．B【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【詳解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確；B、∠A=∠C不能判定這個平行四邊形為矩形，錯誤；C、AC=BD，對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確，故選B．【點睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、有三個角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵.2．D【解析】利用矩形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.【詳解】、矩形的對角線相等，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等，正確，是真命題；、矩形的對角線互相平分，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到一組對邊的距離相等，故錯誤，是假命題.故選.【點睛】本題考查了命題與定理的知識.解題的關(guān)鍵是了解矩形的性質(zhì)，難度不大.3．A【詳解】菱形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線相等互相平分.則菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是：對角線互相垂直故選A4．D【解析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案．【詳解】繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置．四邊形的面積等于正方形的面積等于20，，，中，故選：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，正確利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．D【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，M為邊AD的中點，∴DM=DC=1?！唷！郙E=MC=∴ED=EM－DM=。∵四邊形EDGF是正方形，∴DG=DE=。故選D。6．D試題分析：∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴選項A正確；∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴選項B正確；設(shè)BE=x，則CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后點C與點A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性質(zhì)得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，過點E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴選項C正確；由已知條件無法確定AF和EF的關(guān)系，故選D．考點：翻折變換（折疊問題）．7．B【解析】先根據(jù)四邊形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作點P關(guān)于直線BD的對稱點P′，連接P′Q，PC，則P′Q的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當點Q與點C重合，CP′⊥AB時PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用銳角三角函數(shù)的定義求出P′C的長即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵∠A=120°，

∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，

作點P關(guān)于直線BD的對稱點P′，連接P′Q，P′C，則P′Q的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當點Q與點C重合，CP′⊥AB時PK+QK的值最小，

在Rt△BCP′中，

∵BC=AB=2，∠B=60°，∴故選B．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．A分析：本題考查的是菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)解決即可.解析：因為菱形周長為24米，所以邊長為6米，因為∠BAD=60°，所以∠BAO=30°，∴OA=33米,∴AC=63故選A.9．D【解析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案．【詳解】∵把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，故選D．【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，正確利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．C分析：延長GH交AD于點P，先證△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，從而得出答案．詳解：如圖，延長GH交AD于點P，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中點，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，則GH=PG=×=，故選：C．點睛：本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點．11．5．【詳解】試題分析：∵直角三角形的兩條直角邊長為6，8，∴由勾股定理得，斜邊=10.∴斜邊上的中線長=×10=5．考點：1.勾股定理；2.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．12．16試題分析：先利用三角形中位線性質(zhì)得到AB=4，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)計算菱形ABCD的周長．∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，∴EF為△ABD的中位線，∴AB=2EF=4，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周長=4×4=16．考點：（1）菱形的性質(zhì)；（2）三角形中位線定理．13．試題分析：根據(jù)正方形及等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAD=90°，∠DAE=∠ADE=60°，AB=AE，即可求得∠BEA的度數(shù)，從而求得結(jié)果.∵正方形，等邊△∴∠BAD=90°，∠DAE=∠ADE=60°，AB=AE∴∠BAE=150°∴∠BEA=15°∴.考點：正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)點評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學生熟練掌握正方形及等邊三角形的性質(zhì)，即可完成.14．20?！驹斀狻俊逜B＝5，AD＝12，∴根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理，得AC＝13.∵BO為Rｔ△ABC斜邊上的中線∴BO＝∵O是AC的中點，M是AD的中點，∴OM是△ACD的中位線∴OM＝∴四邊形ABOM的周長為：＋＋6＋5＝20故答案為：2015．（10，3）【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后設(shè)EC=x，則EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點E的坐標．【詳解】∵四邊形AOCD為矩形,D的坐標為(10,8),∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中,OF==6，∴FC=10?6=4，設(shè)EC=x，則DE=EF=8?x，在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，即(8?x)2=x2+42，解得x=3，即EC的長為3.∴點E的坐標為(10,3).16．（﹣5，4）．【解析】首先由A、B兩點坐標，求出AB的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD=AB，從而可得到點C的橫坐標；接下來在△AOD中，利用勾股定理求出DO的長，結(jié)合上面的結(jié)果，即可確定出C點的坐標.【詳解】由題知A（3,0），B（-2,0），D在y軸上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，由菱形鄰邊相等可得AD=AB=5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD==4，由菱形對邊相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5,4）.故答案為（﹣5，4）．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及坐標與圖形的性質(zhì)，運用勾股定理求出OD的長是解答本題的關(guān)鍵.17．16【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，∴△AEB≌△AFD，∴S△AEB=S△AFD，∴它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積=正方形的面積=16．18．證明見解析.【解析】過點B作BF⊥CE于F，根據(jù)同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=CE，再證明四邊形AEFB是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得AE=BF，從而得證.【詳解】證明：如圖，過點B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中,∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四邊形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE.19．（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）欲證明四邊形OCED是矩形，只需推知四邊形OCED是平行四邊形，且有一內(nèi)角為90度即可；（2）由菱形的對角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∠COD=90°，∴平行四邊形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四邊形OCED是矩形，則CE=OD=1，DE=OC=2．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面積為：AC?BD=×4×2=4，故答案為4．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定及性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20．解：（1）如圖所示：（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠AEB，進而得出△ABO≌△FBO，進而利用AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，得出即可。分析：（1）根據(jù)角平分線的作法作出∠ABC的平分線即可。（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠AEB，進而得出△ABO≌△FBO，進而利用AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，得出即可。解：（1）如圖所示：（2）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EAF。∵∠EBF=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE?！逜O⊥BE，∴BO=EO?！咴凇鰽BO和△FBO中，∠ABO=∠FBO，BO=EO，∠AOB=∠FOB，∴△ABO≌△FBO（ASA）。∴AO=FO?！逜F⊥BE，BO=EO，AO=FO?！嗨倪呅蜛BFE為菱形。21．（1）證明見解析（2）-1【解析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，從而得出BE=CF；（2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AEB=∠ABE，根據(jù)平行線得性質(zhì)得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【詳解】（1）∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，△ACF≌△ABEBE=CF.（2）∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=．考點：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．勾股定理；3．菱形的性質(zhì)．22．（1）證明見解析；（2）①當AE＝3．5cm時，四邊形CEDF是矩形．②當AE＝2cm時，四邊形CEDF是菱形．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中點，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形；(2)①當時，平行四邊形CEDF是矩形，理由是：過A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形，故答案為；②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5,AE=2,∴DE=3，∵CD=3,∠CDE=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE=DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是菱形，故答案為2.考點：1．平行四邊形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．矩形的判定；4．菱形的判定．23．見解析；見解析；60°試題分析：（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）首先根據(jù)作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可；（3）得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可試題解析：（1）如圖所示：（2）∵根據(jù)作圖可知：MN垂直平分線段AC，∴D、E為線段AB和AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，∵將△ADE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180°，點D的像為點F，∴EF=ED，∴DF=BC，∵DE∥BC，∴四邊形BCFD是平行四邊形；（3）當∠B=60°時，四邊形BCFD是菱形；∵∠B=60°，∴BC=AB，∵DB=AB，∴DB=CB，∵四邊形BCFD是平行四邊形，∴四邊形BCFD是菱形．考點：菱形的判定；平行四邊形的判定；作圖-旋轉(zhuǎn)變換24．解：（1）證明：如圖，∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，∴∠2=∠5，4=∠6．∵