高中化高三大題練習(xí)解題2不等式與線性規(guī)劃第3練“三個二次”的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用

高中化學(xué)教學(xué)同步課件專題2不等式與線性規(guī)劃第3練“三個二次”的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用題型分析·高考展望“二次函數(shù)、二次方程、二次不等式”是高中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，在高考中雖然一般不直接考查，但它是解決很多數(shù)學(xué)問題的工具,如函數(shù)圖象問題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題等.“三個二次”經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，相輔相成，是一個有機(jī)的整體.如果能很好的掌握三者之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用方法，會有利于解決上述有關(guān)問題，提升運(yùn)算能力.?？碱}型精析高考題型精練題型一函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化題型二函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化題型三方程與不等式的轉(zhuǎn)化?？碱}型精析題型一函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化例1是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.即f(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可.f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，檢驗：(1)當(dāng)f(－1)＝0，a＝1時，f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a≠1.點評二次函數(shù)零點問題或二次函數(shù)圖象與直線交點個數(shù)問題，一般都需轉(zhuǎn)化為二次方程根的存在性及根的分布來解決，解決的方法是列出判別式和有關(guān)函數(shù)值的不等式(組)，或用數(shù)形結(jié)合方法解決.變式訓(xùn)練1

設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)＝

則關(guān)于x的函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數(shù)為________.解析由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝

或f(x)＝1，如圖畫出f(x)的圖象，由f(x)＝

知有4個根，由f(x)＝1知有3個根，故函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1共有7個零點.7題型二函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化例2已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.若對任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，則當(dāng)x>3時，x2＋y2的取值范圍是____________.解析由函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).所以不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0可化為f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)＝f(－y2＋8y).又因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，故必有x2－6x＋21<－y2＋8y，即x2－6x＋21＋y2－8y<0，配方，得(x－3)2＋(y－4)2<4.它表示的區(qū)域為如圖所示的半圓的內(nèi)部.而x2＋y2表示該區(qū)域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點距離的平方.由圖可知，x2＋y2的最小值在點A處取得，但因為該點在邊界的分界線上，不屬于可行域，故x2＋y2>32＋22＝13，而最大值為圓心(3,4)到原點的距離與半徑之和的平方，但因為該點在圓的邊界上，不屬于可行域，故x2＋y2<(5＋2)2＝49，故13<x2＋y2<49.答案(13,49)點評不等式是解決函數(shù)定義域、值域、參數(shù)范圍等問題的有效工具，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為不等式解決是解答此類問題的常規(guī)思路.而二次不等式的解的確定又要借助二次函數(shù)圖象，所以二者關(guān)系密切.函數(shù)單調(diào)性的確定是抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練2已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>}，則f(10x)>0的解集為(

)A.{x|x<－1或x>lg2} B.{x|－1<x<lg2}C.{x|x>－lg2} D.{x|x<－lg2}由指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，知一定有10x>－1，即10x<10－lg2.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x<－lg2，故選D.答案D題型三方程與不等式的轉(zhuǎn)化例3已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；解由條件，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖所示，(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.點評“三個二次”是一個整體，不可分割.有關(guān)“三個二次”問題的解決辦法通常是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來將其轉(zhuǎn)化，其中用到的方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，其最基本的理念可以說是嚴(yán)格按照一元二次不等式的解決步驟來處理.變式訓(xùn)練3

(2015·四川)如果函數(shù)f(x)＝

(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間

上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為(

)A.16 B.18C.25 D.解析令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6.即2n＋m≤18，得m＝9(舍去)，∴mn最大值為18，選B.答案B高考題型精練1.若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝?，則實數(shù)p的取值范圍是(

)A.p>－4

B.－4<p<0C.p≥0 D.R解析當(dāng)A＝?時，Δ＝(p＋2)2－4<0，∴－4<p<0.123456789101112高考題型精練當(dāng)A≠?時，方程x2＋(p＋2)x＋1＝0有兩負(fù)根，123456789101112綜上所述，p>－4.答案

A2.已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2－x)>0的解集為(

)A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－2<x<2}C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4}解析f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b.∵f(x)是偶函數(shù)，∴b－2a＝0，即b＝2a.高考題型精練123456789101112∴f(x)＝ax2－4a，又f(2)＝0，x∈(0，＋∞)時，f(x)為增函數(shù).∴f(2－x)>f(2)或f(2－x)>f(－2).∴2－x>2或2－x<－2，即x<0或x>4.答案C高考題型精練1234567891011123.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上的最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為(

)A.[1，＋∞)

B.[0,2]

C.(－∞，－2] D.[1,2]高考題型精練解析∵f(x)＝(x－1)2＋2，其對稱軸為x＝1，當(dāng)x＝1時，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.綜上可知1≤m≤2.123456789101112D高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112x∈[－1,1].答案D5.若f(x)＝x2－ax＋1有負(fù)值，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.a≤－2 B.－2<a<2C.a>2或a<－2 D.1<a<3高考題型精練解析∵f(x)＝x2－ax＋1有負(fù)值，∴Δ＝(－a)2－4>0，則a>2或a<－2.123456789101112C6.已知函數(shù)f(x)＝

若關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是(

)A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,3)高考題型精練123456789101112解析設(shè)t＝f(x)，則方程為t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a.如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，由函數(shù)圖象，可知f(x)＝0的解有兩個，故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5個不同的解，則方程f(x)＝a的解必有三個，此時0<a<1.所以a的取值范圍是(0,1).高考題型精練123456789101112答案A7.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，則(

)A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)＝f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定高考題型精練123456789101112解析f(x)的對稱軸為直線x＝－1，又∵x1＋x2＝1－a，高考題型精練123456789101112∴x1離對稱軸的距離小于x2離對稱軸的距離.又∵a>0，∴f(x1)<f(x2).答案

A高考題型精練1234567891011128.若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(

)A.(a，b)和(b，c)內(nèi)

B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)

D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)高考題型精練123456789101112高考題型精練解析由于a<b<c，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋0>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.答案A1234567891011129.(2015·湖北)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝|x2－ax|在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a).當(dāng)a＝________時，g(a)的值最小.解析(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，故g(a)＝f(1)＝1.(2)當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，故g(a)＝f(1)＝1－a.高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112(4)當(dāng)1≤a<2時，函數(shù)f(x)的圖象如圖(3)所示，高考題型精練123456789101112(5)當(dāng)a≥2時，函數(shù)f(x)的圖象如圖(4)所示，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，故g(a)＝f(1)＝a－1.高考題型精練12345678910111210.若關(guān)于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a的取值范圍是__________.解析因為不等式等價于(－a＋4)x2－4x＋1<0，其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a>0，且有4－a>0，高考題型精練123456789101112則一定有{1,2,3}為所求的整數(shù)解集.高考題型精練1234567891011121